Системы счисления

Система счисления(далее СС) — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

 Для начала проведём границу  между числом и цифрой:

Число — это некоторая абстрактная  сущность для описания количества.

Цифры — это знаки, используемые для записи чисел.

Цифры бывают разные: самыми распространёнными  являются арабские цифры, представляемые известными нам знаками от нуля (0) до девяти (9); менее распространены римские цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов или  в обозначении века (XIX век).

Итак запомним:

число — это абстрактная мера количества;

цифра — это знак для записи числа.

Поскольку чисел гораздо больше чем цифр, то для записи числа  обычно используется набор (комбинация) цифр. Только для небольшого количества чисел — для самых малых  по величине — бывает достаточно одной  цифры.

Существует много способов записи чисел с помощью цифр. Каждый такой  способ называется системой счисления.

Величина числа может зависеть от порядка цифр в записи, а может  и не зависеть. Это свойство определяется системой счисления и служит основанием для простейшей классификации таких  систем.

История.

В древнем Вавилоне делили час на 60 мин., угол на 360 градусов, англосаксы начали делить год на 12 месяцев, сутки  на два периода по 12 часов, продолжительность  года 360 суток.

В Риме семь чисел обозначают буквами. 1-I, 5-V, 10-X, 50- L,100-C, 500-D, 1000-M

IV (4=5-1)      VI (6=5+1)

Славяне числа кодировали буквами  а=1, В=2, Г=3; чтобы избежать путаницы ставился специальный знак ~  титло  АЛФАВИТНАЯ  система счисления. Славянская нумерация сохранялась до конца  XVII века.

При ПетреI возобладала т.называемая арабская нумерация. Славянская нумерация сохранилась в богослужебных книгах.

Десятичная  система пришла из Индии, где она появилась не позднее  VI века, европейцы заимствовали ее у арабов, назвав ее арабской. Из арабского языка заимствовано слово "цифра". Причина ее возникновения анатомическая-10 пальцев АНАТОМИЧЕСКАЯ система счисления (существовали пятеричные,  двадцатеричные системы счисления)  Напр., 23 -три единицы, два десятка; 32 -две единицы, три десятка ;400 -4 сотни, два 0 вклад в число не дают, нужны для того ,чтобы указывать позицию 4.

Представление о системах счисления.

 Наиболее известна десятичная  СС, в которой для записи чисел  используются цифры 0,1...9. Способов  записи чисел цифровыми знаками  существует бесчисленное множество.  Любая предназначенная для практического  применения СС должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
• единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
• простоту оперирования числами;

 В зависимости от способов  изображения чисел цифрами, системы  счисления делятся на непозиционные  и позиционные. Непозиционной  системой называется такая, в  которой количественное значение  каждой цифры не зависит от  занимаемой ей позиции в изображении  числа (римская система счисления). Позиционной системой счисления  называется такая, в которой  количественное значение каждой  цифры зависит от её позиции  в числе (арабская система счисления). Количество знаков или символов, используемых для изображения  числа, называется основанием  системы счисления.

 Позиционные системы счисления  имеют ряд преимуществ перед  непозиционными: удобство выполнения  арифметических и логических  операций, а также представление  больших чисел, поэтому в цифровой  технике применяются позиционные  системы счисления.

Запись чисел может быть представлена в виде:

 где A(D) - запись числа A в СС D;

 Di - символ системы, образующие базу.

 По этому принципу построены  непозиционные СС.

 В общем же случае системы  счисления: A(B)=a1B1+a2B2 +...+anBn. Если положить, что Bi=q*Bi-1, а B1=1, то получим позиционную СС. При q=10 мы имеем дело с привычной нам десятичной СС.

На практике также используют другие СС:

q	название	цифры
2	двоичная	О,1
8	восьмеричная	0....7
16	шестнадцатеричная	0...9, А..F

 

 Каждая СС имеет свои правила  арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо  операции над числами, надо  помнить о СС, в которой они  представлены.

Если основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10 соответствует знак 'A', цифре 11 - знак 'B' и т.д. В таблице ниже приводятся десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС:

q=10	q=2	q=16
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

 

В позиционной СС число можно  представить через его цифры  с помощью следующего многочлена относительно q:

 A=a1*q0+a2*q1+...+an*qn (1)

 Выражение (1) формулирует правило  для вычисления числа по его  цифрам в q-ичной СС. Для уменьшения количества вычислений пользуются т.н. схемой Горнера. Она получается поочередным выносом q за скобки:

 A=(...((an*q+an-1)*q+an-2)*q+...)*q+a1

 результат вычисления многочлена будет всегда получен в той системе счисления, в которой будут представлены цифры и основание и по правилам которой будут выполнены операции.

Двоичная СС

Двоичная система счисления  используется для кодирования дискретного  сигнала, потребителем которого является  вычислительная техника. Такое положение  дел сложилось исторически, поскольку  двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе  счисления для представления  числа применяются два знака  – 0 и 1.

Восьмеричная СС

Запись числа в двоичной системе  удобна для компьютера, но громоздка  для человека. На помощь приходят системы, родственные двоичной ВОСЬМИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ использует 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Единица, записанная в самом младшем  разряде означает просто единицу (1*8 в нулевой степени), та же единица  в следующем разряде обозначает 8 (1*8 в первой), в следующем 64(1*8 во второй)и т.д.

2 1 0  1- разряды (степени восьмерки)

1008 =1*82 +0*81 +0*80 = 1*64+0+0=6410

8 - это 2 в третьей степени.  При переводе в восьмеричную  систему двоичное число из  трех записывается одной цифрой.

Шестнадцатеричная СС

Еще компактней выглядит запись двоичного  числа в шестнадцатеричной СС

Для первых 10 из 16 шестнадцатеричных  цифр используются привычные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита

 A-10 D-13

 B-11 E-14

 C-12 F-15

Цифра 1 в самом младшем разряде  означает 1, в следующем разряде  означает 16 (в первой степени), в следующем  разряде 16*16 (162)=256, в следующем разряде 1*163 и т.д.

10016 =25610

Цифра F, записанная в самом младшем разряде означает 15 в десятичной системе, F в следующем разряде означает 15*16 в первой степени в десятичной системе и т.д.

2 1 0 - 1 разряды (степени числа  16)

 Число 21016=10*162+15*161+0*160

21016=10*256+240+0*1=2560+240+0=280010

Преобразование чисел  из одной системы счисления в  другую.

 

• ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

Как узнать чему равно девятизначное  двоичное число N=1111101002

Подпишем сверху каждый разряд

87654321010 - 1 разряды (степени двойки)

1111101002 

 В двоичной системе особую  роль играет двойка и ее  степени.

 Т.е.111110100=1*28 +1*27 +1*26 +1*25 +1*24 +0*23 +1*22 +0*21 +0*20 =1*256+1*128+1*64 +1*32 +1*16 +0*8 +1*4 +0*2 +0*1=256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 +0 =500

 

• ПЕРЕВОД В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Пусть нужно перевести в двоичную систему число 234. Будем делить 234 последовательно на 2 и запоминать остатки, не забывая про нулевые.

 Выписав все остатки, начиная  с последнего 3 в обратном порядке,  получим двоичное разложение  числа.

23410 = 111010102

• ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНУЮ:

Исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;

если полученное частное не делится  на основание системы счисления  так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения  прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют  действия, описанные в шаге а);

все полученные остатки и последнее  частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы  счисления, в которую выполняется  перевод;

формируется результирующее число: его  старший разряд - полученное последнее  частное, каждый последующий младший  разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший  разряд полученного числа - первый остаток  от деления, а старший - последнее  частное.

• ИЗ ДВОИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СС -В ДЕСЯТИЧНУЮ

В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.

1)Пример: Выполнить перевод числа  1316 в десятичную систему счисления.  Имеем:

1316 = 1*161 + 3*160 = 16 + 3 = 19.

 Таким образом, 1316 = 19.

2)Пример: Выполнить перевод числа  100112 в десятичную систему счисления.  Имеем:

100112 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16+0+0+2+1 = 19.

 Таким образом, 100112 = 19.

• ИЗ ДВОИЧНОЙ СС В ШЕСТНАДЦАТИРИЧНУЮ

исходное число разбивается  на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4; каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей

1)Пример:Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления.

 Поскольку в исходном двоичном  числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими  нулями до достижения кратности  4 числа цифр. Имеем:

 В соответствии с таблицей 00112 = 112 = 316 и 00012 = 12 = 116.  Тогда 100112 = 1316.

• ИЗ ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СС В ДВОИЧНУЮ:

каждая цифра исходного числа  заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады; незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

• ИЗ ДВОИЧНОЙ СС В ВОСЬМИРИЧНУЮ СС:

Для перевода  из двоичной в восьмиричную число, записанное в двоичной системе делим на триады справа налево

 Например , 11011100011=11 011 100 011 и заменить  каждую группу одной восьмиричной цифрой 2 2 4 2 и получим 22428

• ИЗ ВОСМИРИЧНОЙ СС В ДВОИЧНУЮ:

Для перевода числа из восьмиричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив каждую цифру в виде триады (1 в двоичной системе 1 добавляем до триады впереди 00)6 1 1

110 001 001     001

Правила перевода правильных дробей

Правила перевода правильных дробей -результатом является всегда правильная дробь.

• ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СС В ДВОИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ

Исходная дробь умножается на основание  системы счисления, в которую  переводится (2 или 16);  в полученном произведении целая часть преобразуется  в соответствии с таблицей в цифру  нужной системы счисления и отбрасывается - она является старшей цифрой получаемой дроби;  оставшаяся дробная часть  вновь умножается на нужное основание  системы счисления с последующей  обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б).

процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен  нулевой результат в дробной  части произведения или ни будет  достигнуто требуемое количество цифр в результате;

формируется результат: последовательно  отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

 Пример : Выполнить перевод числа  0,847 в двоичную систему счисления.  Перевод выполнить до четырех  значащих цифр после запятой.

 Имеем:  В данном примере  процедура перевода прервана  на четвертом шаге, поскольку  получено требуемое число разрядов  результата. Очевидно, это привело  к потере ряда цифр.

 Таким образом, 0,847 = 0,11012.

Пример: Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему  счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.

 В данном примере также  процедура перевода прервана. Таким  образом, 0,847 = 0,D8D2.

• ИЗ ДВОИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СС - В ДЕСЯТИЧНУЮ

В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле, причем коэффициенты ai принимают десятичное значение в соответствии с таблицей.