Способы нахождения квадратов натуральных чисел

МБОУ «Джалильская средняя общеобразовательная школа №1 с углубленным изучением отдельных предметов»

 

 

 

 

 

 

 

Научно-исследовательская  работа на тему:

«Способы нахождения квадратов

натуральных чисел»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила : Хафизова Регина

ученица 10"Б" класса

Руководитель:

Каюмова Муниба Абелкарамовна

учитель математики МБОУ «Джалильская СОШ№1 с углубленным изучением отдельных предметов»

 

 

 

 

 

 

2012-2013 уч.год. 
Содержание

 

 

Введение ……………………….……………….……………………….……….   1. Из истории счисления ………………………………………………………..   2. Цели и задачи исследования …………………………………….…………..   3. Методы исследования .……………………………………………………...   4. Алгоритмы вычисления квадратов чисел…………………………………..   4.1 Первый метод………………………………..………………………………   4.2 Второй метод………………………………………………………………   Заключение………………………………..…………………..…………….........   Список литературы……………………………………………………………....

3   4   6   6   7   7   10   13   14

 

 

Введение

Математика - это наука о числах и фигурах. Чтобы уметь быстро выполнять действия с числами надо знать приемы устного счета. Счёт в уме является самым древним и простым способом вычисления. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты. В современном мире бытует мнение, что вычислительная работа принадлежит компьютерам, а человек должен отойти от этого занятия. Я учусь в 10- м классе и через год я сдаю ЕГЭ. На экзамене запрещено пользоваться калькулятором. И поэтому я решила изучить приёмы устных вычислений.

Устный счет развивает  у учащихся внимательность, наблюдательность, сообразительность, инициативу, укрепляет волю, повышает дисциплину и интерес к работе. Устные упражнения не бесполезны также лицам, уже закончившим учебу и работающим на производстве, в сельском хозяйстве, в различных учреждениях, если им по роду своей деятельности приходится иметь дело с расчетами.

Постоянное применение современной вычислительной техники  приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Из истории счисления.

Изучение истории развития первобытного общества показывает, что  распределение пищи, распределение  изготовленной одежды и оружия, необходимость учесть свою силу и силу врага поставили первобытного человека-охотника перед необходимостью счета. Устные вычисления развивались раньше письменных. Человек нашел способы ведения счета, был создан предметный счет. Первичными предметами для счета были пальцы рук и ног, камешки, ветки, узелки на шнуре. Первобытный человек-охотник либо производили обмен одного предмета на один, ему равноценный, либо менял один предмет на два или три, равноценных одному. В последнем случае при помощи пальцев рук, камешков или веток он указывал, сколько предметов он хочет получить за один обмениваемый им предмет. На этой стадии развития человек не нуждался в запоминании чисел на длительное время. Для запоминании того, сколько у него имеется тех или иных предметов в хозяйстве, было достаточно небольшого числа камешков или узлов на шнуре.

При помощи пальцев рук  и ног считают и сейчас некоторые  племена Африки и островов Тихого океана.

Когда первобытный человек  стал заниматься скотоводством и  земледелием, его потребности в счете стали значительно большими. Счет при помощи пальцев или камешков не мог уже удовлетворить человека. Вместо предметов счета стал возникать словесный счет. Постепенно возникли слова, обозначающие то или иное количество предметов. Торговля-обмен между племенами, которые говорили на разных языках, требовали изобретения «международных слов» один, два, три, четыре и т. п. , понятных многим племенам. Но торговля-обмен требует не только сравнения, но и складывания, умножения и деления. Применение этих действий помогло образованию новых слов для словесного счета. Так, слово десять произошло от «двакан», что обозначает «две руки». Все числа свыше десяти образовались по тому же принципу: два на десять-двенадцать, три десятка-тридцать.

 Для обозначения  десяти десятков понадобилось слово «сто», для обозначения десяти сотен «тысяча».

От счета на пальцах  человек сделал переход к вычислениям  на счетных приборах: счет при помощи зерен, камешков, костей, счет при помощи абака, счет при помощи жетонов.

 

2. Цели и задачи исследования

Цель:

Разработать алгоритмы  вычисления квадратов двузначных чисел  для практического применения без использования счетных машин.

Задачи:

1) Собрать информацию по рассматриваемой теме;

2) Выделить некоторые закономерности разработки алгоритма вычисления квадратов двузначных чисел;

3) Показать на конкретных примерах использование упрощенных приёмов вычислений;

 

3. Методы исследования

1. Изучение литературных сведений.

2. Выявление закономерностей, анализ и систематизация.

3. Классификация в алгоритм.

 

Объект исследования:

 Квадраты двузначных  чисел.

 

Предмет исследования:

Приемы упрощенных вычислений, позволяющих избежать трудоемких вычислительных процессов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Алгоритмы вычисления квадратов чисел

4.1 Первый метод

1.Квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 1.

Записать последнюю цифру числа1,затем  последовательно, справа налево результат  произведения цифры из разряда десятков на 2;и наконец, квадраты цифры из разряда десятков. а²+2а+1²;

 

11²=1²+2*1+1²=121  

21²=2²+2*2+1²=441

31²=3²+2*3+1²=961

41=4²+2*4+1²=1681

51²=5²+2*5+1²⁼2601

61²=6²+2*6+1²=3721

71²=7²+2*7+1²=5041

81²=8²+2*8+1²=6561

91²=9²+2*9+1²=8281

101²=10²+2*10+1²=10201

2.Квадрат двузначного  числа, оканчивающегося цифрой 2.

Записать последнюю  цифру числа 4. Затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда десятков на 4 (если произведение больше 9,то на соответствующем месте запишем цифру единиц, а к квадрату прибавим 1);и наконец, квадрат цифры из разряда десятков. а²+4а+2²;

 

12²=1²+4*1+2²=144

22²=2²+4*2+2²=484

32²=3²+4*3+2²=1024

42²=4²+4*4+2²=1764

52²=5²+4*5+2²=2704

62²=6²+4*6+2²=3844

72²=7²+4*7+2²=5184

82²=8²+4*8+2²=6724

92²=9²+4*9+2²=8464

102²=10²+4*10+2²=10404

 

3.Квадрат двузначного числа,  оканчивающегося цифрой 3.

Записать последнюю  цифру числа 9, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда десятков на 6 (если произведение больше 9, то на соответствующем месте запишем цифру единиц, а к квадрату прибавим 1); и наконец, квадрат цифры из разряда десятков. а²+6а+3²;

 

13²=1²+6*1+3²=169

23²=2²+6*2+3²=529

33²=3²+6*3+3²=1089

43²=4²+6*4+3²=1849

53²=5²+6*5+3²=2809

63²=6²+6*6+3²=3969

73²=7²+6*7+3²=5329

83²=8²+6*8+3²=6889

93²=9²+6*9+3²=8649

103²=10²+6*10+3²=10609

 

4.Квадрат двузначного   числа,  оканчивающегося цифрой 4.

Записать последнюю  цифру числа 6,затем последовательно, справа налево результат суммы 1 и  произведения цифры из разряда десятков на 8 (если произведение больше 9, то на соответствующем месте запишем цифру единиц, а к квадрату прибавим 1);и наконец, квадрат цифры из разряда десятков. а²+8а+4²;

 

14²=1²+8*1+4²=196

24²=2²+8*2+4²=576

34²=3²+8*3+4²=1156

44²=4²+8*4+4²=1936

54²=5²+8*5+4²=2916

64²=6²+8*6+4²=4096

74²=7²+8*7+4²=5476

84²= 8²+8*8+4²=6056

94²=9²+8*9+4²=8836

104²=10²+8*10+4²=10806

5.Квадрат двузначного  числа, оканчивающегося цифрой 5.

Записать последние  цифры числа 25, затем последовательно, справа налево результат суммы квадрата  цифры из разряда десятков на цифру  десятков . (а²+а)+5²;

 

15²=(1²+1)+5²=225

25²=(2²+2)+5²=625

35²=(3²+3)+5²=1225

45²=(4²+4)+5²=2025

55²=(5²+5)+5²=3025

65²=(6²+6)+5²=4225

75²=(7²+7)+5²=5625

85²=(8²+8)+5²=7225

95²=(9²+9)+5²=9025

105²=(10²+10)+5²=11025

 

6 Квадрат двузначного  числа, оканчивающегося цифрой 6.

Записать последнюю цифру числа 6,затем последовательно, справа налево результат суммы 3 и произведения цифры из разряда десятков на следующую за ним число;и наконец, произведение цифры из разряда десятков на следующую за ним число. (а²+а)+2а+6²;

 

16²=(1²+1)+2*1+6²=256

26²=(2²+2)+2*2+6²=676

36²=(3²+3)+2*3+6²=1296

46²=(4²+4)+2*4+6²=2116

56²=(5²+5)+2*5+6²=3136

66²=(6²+6)+2*6+6²=3356

76²=(7²+7)+2*7+6²=5776

86²=(8²+8)+2*8+6²=7396

96²=(9²+9)+2*9+6²=9216

106²=(10²+10)+2*10+6²=11236

 

7.Квадрат двузначного  числа, оканчивающегося на 7.

Записать последнюю  цифру числа 9,затем последовательно, справа налево результат суммы  и  произведения цифры из разряда десятков на 4;и наконец, сумма квадратов  цифры из разряда десятков на цифру  десятков (если сумма больше 9,то на соответствующем месте запишем цифру единиц, а к следующему разряду прибавим 1) . ( а²+а)+4а+7²;

 

17²=(1²+1)+4*1+7²=289

27²=(2²+2)+4*2+7²=729

37²=(3²+3)+4*3+7²=1369

47²=(4²+4)+4*4+7²=2209

57²=(5²+5)+4*5+7²=3249

67²=(6²+6)+4*6+7²=4489

77²=(7²+7)+4*7+7²=5929

87²=(8²+8)+4*8+7²=7569

97²=(9²+9)+4*9+7²=9409

107²=(10²+10)+4*10+7²=11449

 

8.Квадрат двузначного  числа, оканчивающегося цифрой 8.

Записать последнюю  цифру числа 4,затем последовательно, справа налево результат суммы 6 и  произведения цифры разряда десятков  и квадрата  цифры из разряда десятков   на цифру десятков (если сумма больше 9, то на соответствующем месте запишем цифру единиц, а к следующему разряду прибавим 1); ( а²+а)+6а+8^2;

 

18²=(1²+1)+6*1+8²=324

28²=(2²+2)+6*2+8²=784

38²=(3²+3)+6*3+8²=1444

48²=(4²+4)+6*4+8²=2304

58²=(5²+5)+6*5+8²=3304

68²=(6²+6)+6*6+8²=4624

78²=(7²+7)+6*7+8²=6084

88²=(8²+8)+6*8+8²=7744

98²=(9²+9)+6*9+8²=9604

108²=(10²+10)+6*10+8²=11664

 

9 Квадрат двузначного  числа, оканчивающегося цифрой 9.

Записать последнюю  цифру 1,затем последовательно, справа налево результат суммы цифры десятков и произведения десятков на8;и наконец, квадрат цифры из разряда десятков (если сумма больше 9,то на соответствующем месте запишем цифру единиц, а к следующему разряду прибавим 1). (а²+а)+8а+9²;

 

19²=(1²+1)+8*1+9²=361

29²=(2²+2)+8*2+9²=841

39²=(3²+3)+8*3+9²=1521

49²=(4²+4)+8*4+9²=2401

59²=(5²+5)+8*5+9²=3481

69²=(6²+6)+8*6+9²=4761

79²=(7²+7)+8*7+9²=6251

89²=(8²+8)+8*8+9²=7921