Теорема Піфагора. Способи доведення теореми Піфагора

Міністерство  освіти і науки, молоді і спорту України

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

Теорема Піфагора.

Способи доведення  теореми Піфагора

 

 

 

Учниці 8 класу

Жданівської загальноосвітньої 

школи І – ІІІ ступенів

Чухно Оксани Володимирівни

Учитель

Мішкова Тетяна Анатоліївна

 

 

 

 

Ждани 2011

 

ЗМІСТ

ВСТУП _______________________________________________________3

Розділ 1. Теорема Піфагора ______________________________________4

Розділ 2 Доведення теореми Піфагора_____________________________5

2.1. Алгебраїчне доведення_______________________________________5

2.2 За подібністю трикутників  ____________________________________5

2.3 Доведення Евкліда  ___________________________________________6

2.4 Доведення Леонардо да Вінчі __________________________________7

2.5 Доведення Хоукінса  _________________________________________ 8

2.6 Доведення Вальдхейма _______________________________________ 9

2.7 Доведення методом розкладання ______________________________ 9

2.8 Доведення  Ейнштейна _______________________________________ 10

2.9 Доведення  Перігаля _________________________________________ 11

2.10 Доведення Гутхейля ________________________________________11

2.11 Доведення 9 століття до н.е __________________________________12

2.12 Доведення  методом доповнення ______________________________13

2.13 Інші доведення  методом віднімання __________________________14

Висновок ______________________________________________________16

Список використаної літератури _________________________________17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Мабуть, найпопулярнішою з усіх теорем є теорема Піфагора. Причинами такої популярності є  простота, краса, значення. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двох суперечностей і надає їй особливої привабливості. Окрім цього, теорема Піфагора має велике значення: вона використовується на кожному кроці, той факт, що існує близько 500 різних доказів цієї теореми доводить велику кількість її реальних реалізацій. Відкриття теореми Піфагором оточене ореолом красивих легенд. Прокл, коментуючи останнє продовження першої книги “Начал” Евкліда, пише: “Якщо послухати тих, хто повторює давні легенди, то доводиться сказати, що ця теорема  походить від Піфагора; розповідають, що він у честь цього відкриття приніс у жертву бика”.

І хоча ще Цицерон помітив, що будь-яке кровопролиття було проти закону піфагорійського ордену, легенда ця зрослася з теоремою Піфагора і через більш ніж 2000 років продовжувала викликати гарячі відгуки.

Сьогодні теорема Піфагора виявлена у різних часткових задачах  та кресленнях: і в єгипетському трикутнику в папірусі часів фараона Аменемхета першого (біля 2000р. до н. е.), і у вавилонських клинописних табличках епохи царя Хаммурапі (XVIII ст. до н. е.), і в давньоіндійському трактаті VII-V ст. до н. е. “Сульва сутра”. У найдавнішому китайському трактаті “Чжоу-бі суань цзинь” час створення якого точно не відомо, стверджується, що в XII ст. до н. е. Китайці знали властивості єгипетьського трикутника, а до VI ст. до н. е.- й загальний вигляд теореми. Не дивлячись на це, ім’я Піфагора щільно злилося з теоремою Піфагора. Сьогодні прийнято вважати, що Піфагор першим довів теорему, яка носить його ім’я. На жаль,  його доказ не дійшов до нашого часу. 

 

 

 

 

 

Розділ 1. Теорема Піфагора

 

Теорема Піфагора — одна із головних теорем евклідової геометрії, котра встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа.

Теорема звучить наступним  чином:

В прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Позначивши довжину  гіпотенузи трикутника як c, а довжини катетів як a та b, отримаємо наступну формулу:

 

 

Таким чином, теорема  Піфагора встановлює співвідношення, яке дозволяє визначити сторону  прямокутного трикутника, знаючи довжини  двох інших. Теорема Піфагора є окремим  випадком теореми косинусів, котра визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.

Також доведено зворотне твердження (називають також зворотною до теореми Піфагора):

Для будь-яких трьох додатних чисел a, b і c, таких  що aІ + bІ = cІ, існує прямокутний трикутник  з катетами a та b і гіпотенузою c.

 

 

2. Доведення теореми  Піфагора

 

2.1 Алгебраїчне  доведення

 

 

Відомо понад сто доведень теореми Піфагора. Тут представлено доведення засноване на теоремі існування площі фігури:

1. Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.
2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів , а розгорнутий кут — .
3. Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною «a + b», а з іншої — сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

 

 

Що і необхідно було довести.

 

2.2 За подібністю трикутників

 

Нехай ABC — прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на рисунку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину з стороною AB. Утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: Якщо BC = a, AC = b, and AB = c , тоді

Це можна записати у вигляді a²= с*HB and b² = c* AH

Якщо додати ці дві рівності, отримаємо

a² + b²=c * HB + c* AH = c* ( HB + AH ) = c²

Іншими словами, Теорема  Піфагора: a² + b² = c²

 

 

 

 

2.3 Доведення  Евкліда

 

В Евклідових «Началах», теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, C вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону протилежну до гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

1. Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.
2. Кути CAB і BAG — прямі; відповідно точки C, A і G — колінеарні. Так само B, A і H.
3. Кути CBD і FBA — обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.
4. Трикутник ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом.
5. Оскільки точки A, K і L — колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB2)
6. Аналогічно міркуюючи отримаєм CKLE = ACIH = AC2
7. З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC2, або AB2 + AC2 = BC2.

 

 

2.4 Доведення Леонардо  да Вінчі

 

Головні елементи докази - симетрія і  рух. Розглянемо креслення, як видно із симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (так як трикутники ABC і JHI рівні з побудови).

Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки навколо  точки A, ми вбачаємо рівність заштрихованих  фігур CAJI і DABG.

Тепер ясно, що площа заштрихованої  нами фігури дорівнює сумі половин  площ маленьких квадратів (побудованих  на катетах) і площі вихідного  трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі великого квадрата (побудованого на гіпотенузі) плюс площа вихідного трикутника. Таким чином, половина суми площ маленьких квадратів дорівнює половині площі великого квадрата, а отже сума площ квадратів, побудованих на катетах дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.

 

 

2.5 Доведення Хоукінса

 

Наведемо ще один доказ, що має обчислювальний характер, проте  сильно відрізняється від всіх попередніх. Воно опубліковано англійцем Хоукінсом  у 1909 році; чи було воно відоме до цього-важко  сказати.

Прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C повернемо на 90 °  так, щоб він зайняв положення A'CB '. Продовжимо гіпотенузу A'В ' за точку A' до перетину з лінією АВ в точці D. Відрізок В'D буде висотою трикутника В'АВ. Розглянемо тепер заштрихований чотирикутник A'АВ'В. Його можна розкласти на два рівнобедрених трикутника САA 'і СВВ' (або на два трикутника A'В'А і A'В'В).

 

SCAA '= b І / 2

SCBB '= a І / 2

SA'AB'B = (a І b І) / 2

 

Трикутники A'В'А і A'В'В  мають загальну підставу с і висоти DA і DB, тому:

 

SA'AB'B = c * DA / 2 c * DB / 2 = c (DA DB) / 2 = c І / 2

 

Порівнюючи два отримані вирази для площі, отримаємо: a І+ b І = c І .

Теорема доведена.

2. 6 Доведення Вальдхейма:

 

 

Це доказ також має  обчислювальний характер. Можна використовувати  малюнки для доказу заснованого на обчисленні площ двома способами.

Для того щоб довести  теорему користуючись перший малюнком достатньо тільки висловити площа  трапеції двома шляхами.

 

S _{трапеціі} = (ab) І / 2  S _{трапеціі} = a І b І c І / 2

 

Урівняв праві частини  отримаємо: a І b І = c І

Теорема доведена.

 

2.7 Доведення методом розкладання

 

Існує цілий ряд доказів  теореми Піфагора, в яких квадрати, побудовані на катетах і на гіпотенузі, розрізаються так, що кожної частини  квадрата, побудованого на гіпотенузі, відповідає частина одного з квадратів, побудованих на катетах. У всіх цих випадках для розуміння докази достатньо одного погляду на креслення; міркування тут може бути обмежене єдиним словом: "Дивись!", Як це робилося у творах древніх індуських математиків. Слід, однак, зауважити, що насправді доказ не можна вважати повним, поки ми не довели рівності всіх відповідних один одному частин. Це майже завжди досить важко зробити, однак може (особливо при великій кількості частин) вимагати досить тривалої роботи.

 

2.8 Доведення Ейнштейна

 

Почнемо з доказу Ейнштейна.  Його перевагою є те, що тут у якості складових частин розкладання фігурують виключно трикутники. Щоб розібратися в кресленні, зауважимо, що пряма CD проведена перпендикулярно прямий EF.

Розкладання на трикутники можна зробити і більш наочним, ніж на малюнку.

 

 

2.9 Доведення Перігаля

 

У підручниках нерідко  зустрічається розкладання вказане  на малюнку (так зване "колесо з  лопатями"; це доказ знайшов Перігаль). Через центр O квадрата, побудованого на великий катет, проводимо прямі, паралельну і перпендикулярну гіпотенузі. Відповідність частин фігури добре видно з креслення.

 

2.10 Доведення Гутхейля

 

Зображене на малюнку  розкладання належить Гутхейлю; для  нього характерно наочне розташування окремих частин, що дозволяє відразу побачити, які спрощення спричинить за собою випадок рівнобедреного прямокутного трикутника.

 

 

 

 

2.11 Доведення 9 століття н.е.

 

 

Раніше були представлені тільки такі докази, в яких квадрат, побудований на гіпотенузі, з одного боку, і квадрати, побудовані на катетах, з іншого, складалися з рівних частин. Такі докази називаються доказами за допомогою додавання ("адитивними доказами") або, частіше, доказами методом розкладання. До цих пір ми виходили з звичайного розташування квадратів, побудованих на відповідних сторонах трикутника, тобто поза трикутника. Однак у багатьох випадках більш вигідно інше розташування квадратів.

 

 

На малюнку квадрати, побудовані на катетах, розміщені ступенями  один поряд з іншим. Цю фігуру, яка  зустрічається в доказах, що датуються не пізніше, ніж 9 століттям н. е.., індуси називали "стільцем нареченої". Спосіб побудови квадрата зі стороною, рівною гіпотенузі, ясний з креслення. Загальна частина двох квадратів, побудованих на катетах, і квадрата, побудованого на гіпотенузі, - неправильний заштрихований п'ятикутник 5. Приєднавши до нього трикутники 1 і 2, отримаємо обидва квадрата, побудовані на катетах; якщо ж замінити трикутники 1 і 2 рівними їм трикутниками 3 та 4, то отримаємо квадрат, побудований на гіпотенузі. На малюнках нижче зображено два різних розташування близьких до того, який дається на першому малюнку.

 

2.12 Доведення методом доповнення

 

Доведення перше.

Поряд з доказами методом  складання можна навести приклади доказів за допомогою віднімання, званих також доказами методом доповнення. Загальна ідея таких доказів полягає в наступному.

 

 

Від двох рівних площ потрібно відняти рівновеликі частини  так, щоб в одному випадку залишилися два квадрати, побудовані на катетах, а в іншому-квадрат, побудований на гіпотенузі. Адже якщо в рівностях В-А = С і В1-А1 = С1 частина А рівновелика частини А1, а частина У рівновелика В1, то частини С і С1 також рівновеликі.

Пояснимо цей метод  на прикладі. На рис. до звичайної піфагорова фігурі приставлені зверху і знизу трикутники 2 і 3, рівні вихідного трикутнику 1. Пряма DG обов'язково пройде через C. Зауважимо тепер (далі ми це доведемо), що шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі. Якщо ми від першого з них віднімемо трикутники 1 і 2, то залишаться квадрати, побудовані на катетах, а якщо від другого шестикутника віднімемо рівні трикутники 1 і 3, то залишиться квадрат, побудований на гіпотенузі. Звідси випливає, що квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах.

Залишається довести, що наші шестикутники рівновеликі. Зауважимо, що пряма DG ділить верхній шестикутник на рівновеликі частини; те саме можна сказати про пряму CK і нижньому шестикутнику. Повернемо чотирикутник DABG, що становить половину шестикутника DABGFE, навколо точки А за годинниковою стрілкою на кут 90; тоді він співпаде з чотирикутником CAJK, що становить половину шестикутника CAJKHB. Тому шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі.

2.13 Інше доведення методом віднімання

 

 

Познайомимося з іншим  доказом методом віднімання. Знайомий нам креслення теореми Піфагора укладемо в прямокутну рамку, напрями сторін якої збігаються з напрямками катетів трикутника. Продовжимо деякі з відрізків фігури так, як вказано на малюнку, при цьому прямокутник розпадається на кілька трикутників, прямокутників і квадратів. Викинемо з прямокутника спочатку кілька частин так щоб залишився лише квадрат, побудований на гіпотенузі. Ці частини наступні:

1. трикутники 1, 2, 3, 4;

2. прямокутник 5;

3. прямокутник 6 і квадрат  8;

4. прямокутник 7 і квадрат 9;

Потім викинемо з прямокутника частини так, щоб залишилися тільки квадрати, побудовані на кататись. Цими частинами будуть:

1. прямокутники 6 і 7;

2. прямокутник 5;

3. прямокутник 1 (заштрихований);

4. прямокутник 2 (заштрихований);

Нам залишилося лише показати, що відібрані частини рівновеликі. Це легко бачити в силу розташування фігур. З малюнка ясно, що:

1. прямокутник 5 рівновеликий  самому собі;

2. чотири трикутники 1,2,3,4 рівновеликі двом прямокутникам  6 і 7;