Теорема Штурма

Частному случаю уравнения (1.2) при соответствует уравнение

и" + q(t) u = h(t).                        (1.6)

Если функция  принимает вещественные значения, уравнение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных

, т.е.      (1.7)

при некотором a € J. Функция s = s (t) имеет производную и потому строго монотонна. Следовательно, функция s = s (t) имеет обратную  t= t (s), определенную на некотором s-интервале. После введения новой независимой переменной s уравнение (1.2) переходит в уравнение

   (1.8)

где аргумент  t выражений p(f)q(t) и p(t) h(f)должен быть заменен функцией t = t(s). Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6).

     Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то уравнение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z:

        (1.9)

при некотором a € J. В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к уравнению

   (1.10)

которое имеет вид (1.6).

В силу сказанного выше, мы можем  считать, что рассматриваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения, содержащиеся в следующих упражнениях, будут часто использоваться в дальнейшем.

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.[11,c.65]

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (корень Бринга).[11,c.71]

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными  коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.[5,c.29]

3.РЯД ШТУРМА (СИСТЕМА ШТУРМА)

       Для вещественного многочлена — последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма. Ряд и теорема названы именем французского математика Жака Штурма.[5,c.20]

        Рассмотрим многочлен f(x) с вещественными коэффициентами. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными коэффициентами называется рядом Штурма для многочлена f(x), если выполнены следующие условия: не имеет корней;

если  и , то ;

если  ,

то произведение меняет знак с минуса на плюс, когда x, возрастая, проходит через точку c, т.е. когда существует такое δ > 0, что

 для  и для .

Значением ряда Штурма в точке c называется количество смен знака  в последовательности f0(c),f1(c),...,fs(c) после  исключения нулей.

Теорема Штурма: Пусть f(x) — ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами, f0(x),f1(x),...,fs(x) — некоторый ряд Штурма для него, [a,b] — промежуток вещественной прямой, причём . Тогда число корней многочлена f(x) на промежутке [a,b] равно W(a) − W(b), где W(c) — значение ряда Штурма в точке c.[5,c.76]

Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена. Пусть многочлен f(x), отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно  построить, например, следующим образом:

 

;

;

Если fk(x) (k > 0) имеет корни, то , где — остаток от деления многочлена f(x) на многочлен g(x) в кольце многочленов , иначе s = k.

Для произвольного многочлена, отличающегося от константы, можно  положить , и далее следовать приведенному выше способу. Здесь (f(x),f'(x)) — наибольший общий делитель многочленов f(x) и f'(x). Если многочлен f(x) есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена f0(x) = f(x).

Ряд Штурма используется для определения  количества вещественных корней многочлена на промежутке. Отсюда вытекает возможность  его использования для приближённого  вычисления вещественных корней методом двоичного поиска.

Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена

 

f(x) = (x − 1)(x − 3) = x2 −  4x + 3

 

Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена

 

f(x) = (x − 1)(x − 3) = x² − 4x + 3

 

Многочлен fi(x)	Знак многочлена в точке
		0	1	2	3	4
f0(x) = x2 − 4x + 3
f1(x) = 2x − 4
f2(x) = 1
Значение ряда в точке

 

Таким образом, по теореме Штурма число корней многочлена f(x) равно: 2 − 0 = 2 на промежутке

2 − 0 = 2 на промежутке (0,4)

2 − 1 = 0 на промежутке (0,2)

4.ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ ШТУРМА

Рассмотрим два уравнения:

 

где функции  вещественны и непрерывны на интервале J. и

   .             (3.2)

В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения

   (3.3₂)

или

 и     (3.3₁)

выполняются в некоторой  точке , то уравнение (3.3₂) называется строгой мажорантой Штурма для (3.3₁) на J.[6,c.37]

 

Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3.3₂) является мажорантой Штурма для (3.1₁). Предположим, что функция является решением уравнения (3.1₁) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравнению (3.1₂) и

   (3.4)

при . [Выражение в правой (соответственно левой) части неравенства (3.4) при полагается равным , если (соответственно если ); в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если ] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Более того, имеет по крайней мере n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является строгой мажорантой Штурма для (3.1₁) при .

 

Доказательство. В силу (3.4) можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений

   (3.5)

Тогда справедливы аналоги  соотношения (2.43):

  (3.6_j)

Поскольку непрерывные функции  , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что

 для В частности, из следует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.

Чтобы доказать последнюю  часть теоремы, предположим вначале, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение уравнения (3.6₂), удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3.6₂) однозначно определяется начальными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что потому .  Следовательно, имеет n нулей при .

Рассмотрим теперь тот  случай, когда в (3.4) имеет место равенство, но в некоторой точке из выполняется либо (3.3₁), либо (3.3₂). Запишем (3.6₂) в виде

,

где

Если доказываемое утверждение  неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что при .Поэтому и при Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и .

Следовательно, если при некотором t, то , т. е. .  Если (3.3₁) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3.3₂), и потому (3.3₂) справедливо на некотором подинтервале из .  Но тогда на этом интервале   и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.

Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть уравнение (3.1₂) является мажорантой Штурма для (3.1₁) на интервале J, и пусть - вещественные решения уравнений, (3.3_j). Пусть обращается в нуль в двух точках  интервала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3.1₁) (3.1₂). То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими.[7,c.91]

Заметим, что, последнее утверждение  этой теоремы имеет смысл, поскольку  нули функций  и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения уравнения (3.1₁) единственны, ,  где (так что и не являются линейно независимыми).

       Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполнены условия первой части теоремы 3.1 и функция имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при полагается равным , если (соответственно, )]. Кроме того, при в (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1.[9,c.44]

       Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в следующей цепочке: . Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы 3.1 дает неравенство .

5.ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ШТУРМА К РЕШЕНИЮ ШКОЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Упражнение  1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p₁(t)ºp₂(t)>0, q₂(t)³q₁(t).)

Предположим, что u₁(t)>0 при t₁<t₂<t₃ и утверждение неверно: например, u₂(t)>0 при t₁£ t£t₂. Умножая (p₁(t)u¢)¢+q₁(t)u=0, где u=u₁, на u₂, а (p₂(t)u¢)¢+q₂(t)u=0, где u=u₂, на u₁, вычитая и интегрируя по [t_1,t₂], получаем:

p(t)(u₁¢u₂-u₁u₂¢)³0, при t₁£t£t₂, где p=p₁=p₂. Это означает, что (u₁/u₂)¢³0; поэтому u₁/u₂>0 при t₁<t£t₂, т.е. получается, что u₁(t₂)>0 чего быть не может.

Решение:

(p₁(t)u¢)¢+q₁(t)u=0, u=u₁

(p₁(t)u₁¢)¢+q₁(t)u₁=0.

Умножим левую часть равенства на u₂, получим:

u₂(p₁(t)u₁¢)¢+q₁(t)u₁u₂=0.

Во втором уравнении проделаем соответствующие  операции:

(p₂(t)u¢)¢+q₂(t)u=0, u₂=u

(p₂(t)u₂¢)¢+q₂(t)u₂=0.

Умножим левую часть равенства на u₁, получим:

u₁(p₂(t)u₂¢)¢+q₂(t)u₁u₂=0.

Вычитаем  из первого уравнения второе, получим:

u₂(p₁u₁¢)¢+q₁u₁u₂-u₁(p₂u₂¢)¢-q₂u₁u₂=0, p=p₁=p₂

u₂(pu₁¢)¢+q₁u₁u₂-u₁(pu₂¢)¢-q₂u₁u₂=0

(u₂(pu₁¢)¢-u₁(pu₂¢)¢)+u₁u₂(q₁-q₂)=0

Упростим это уравнение,

u₂(p¢u₁¢+pu₁¢¢)-u₁(p¢u₂¢+pu₂¢¢)+u₁u₂(q₁-q₂)=0

Раскроем скобки, получим:

p¢u₁¢u₂+ pu₁¢¢u₂- p¢u₁u₂¢-pu₁u₂¢¢+u₁u₂(q₁-q₂)=0.

Сравнивая с формулой (2.2), получаем:

(p(u₁¢u₂-u₁u₂¢))¢+u₁u₂(q₁-q₂)=0

(p(u₁¢u₂-u₁u₂¢))¢-u₁u₂(q₂-q₁)=0