Теорема Штурма

(p(u₁¢u₂-u₁u₂¢))¢=u₁u₂(q₂-q₁)=0.

Проинтегрируем  это уравнение по [t₁,t], получим:

[p(u₁¢u₂-u₂¢u₁)]¢dt = u₁u₂(q₂-q₁)dt,  где

u₁u₂>0, q₂-q₁³0.  Значит p(u₁¢u₂-u₁u₂¢)³0.

Т.о. (u₁/u₂)¢³0 Þ u₁/u₂>0.

     Для того, чтобы улучшить понимание определений, теорем и следствий, необходимо вводить их строго аналитическим методом. Таким образом этот аспект тоже рассмотрен в данной работе. На уровне с этим разработаны методические положения, способствующие целостному успешному усвоению знаний.[11,c.54]

Упражнение 2. Проверить, что вещественные решения u(t) ¹0 уравнения u¢¢+m/t²u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при t>0, если m£ , и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m> . В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t=¥.

Решение: функция u=t^l является решением уравнения u¢¢+m/t²u=0 тогда и только тогда, когда l удовлетворяет уравнению l(l-1)+ m=0. Решая его получили : l= ± m.

Если m>1/4, то корни l₁ и  l₂ – комплексные, т.е.

u=t^1/2[cos ( m-1/4 ln t)c₁+c₂sin( m-1/4 ln t)]

имеют бесчисленное множество  нулей. В частности, если положить:

c₁=sinu ,c₂=cosu,

то получим:

u= t^1/2[sin u cos ( m-1/4 ln t)+cos u sin ( m-1/4 ln t)]=

t^1/2 [sin (u+ m-1/4 ln t)].

Если m<1/4, то решение

u=с₁t^1/2+        +c₂t^1/2-

имеют не более одного нуля.

Так же, если m=1/4, то решение

u=c₁t^1/2+c₂t^1/2ln t

имеют не более одного нуля.

 Рассмотрим уравнение  Бесселя:

v¢¢+v¢/t+(1-m²/t²)v=0,                              (3.10)

где m-вещественный параметр. Вариация постоянных u=t^1/2/v переводит уравнение (3.10) в уравнение:

u¢¢+(1-a/t²)u=0, где a=m²-1/4                  (3.11)

Проверим истинность этого утверждения u=t^1/2v, следовательно:

v=u/t^1/2=ut^-1/2.

Найдём первую производную:

v¢=(ut^-1/2) ¢=u¢t^-1/2+u(t^-1/2)¢=u¢t^-1/2-1/2ut^-3/2.

Теперь вторую производную:

v¢¢=(u¢t^1/2) ¢-1/2(ut^-3/2) ¢=u¢¢t^-1/2 +u¢(t^-1/2) ¢-1/2(u¢t^-3/2+u(t^-3/2) ¢)=

=u¢¢t^-1/2 –1/2u¢t^-3/2-1/2u¢t^-3/2+3/4uut^-5/2=

=u¢¢t^-1/2-u¢t^-3/2+3/4ut^-5/2.

Подставляя в уравнение (3.10), получим:

v¢¢+v¢/t+(1-m²/t²)v=0.

u¢¢t^-1/2-u¢t^-3/2+3/4ut^-5/2+1/t(u¢t^-1/2-1/2ut^-3/2)+(1-m²/t²)ut^-1/2=0

t^-1/2(u¢¢-u¢t^-1+3/4ut^-2+u¢t^-1-1/2ut^-2+u(1-m²/t²))=0

u¢¢+1/4ut^-2+u(1-m²/t²)=0

u¢¢+u-m²u/t²+1/4ut^-2=0

u¢¢+u-(m²u-1/4u)/t²=0

u¢¢+u-((m²-1/4)u)/t²=0

u¢¢+u-au/t²=0

u¢¢+(1-a/t²)u=0, где a=m²-1/4.

Покажем, что нули вещественного  решения v(t) уравнения (3.10) образуют при t>0 такую последовательность t₁<t₂<…, что t_n-t_n-1®p при n®¥.[11,c.84]

Так как в уравнении 

u¢¢+(1-a/t²)u=0, т.е. уравнение

u¢¢+(1-(m²-1/4)/t²)u=0

m - постоянное число, то при m³1/4 и при t – достаточно большое, то выражение

1-(m²-1/4)/t²®1, т.е. если уравнение

u¢¢+(1-(m²-1/4)/t²)u=0

сравнить с уравнением u¢¢+u=0, то расстояние между последовательными нулями стремится к p, т.е. t_n-t_n-1®p при n®¥.

Задача: Решить уравнение (найти все корни)

.

Решение.

Отделим графически корни  уравнения

Рассмотрим функцию

Областью определения  данной функции являются все действительные значения аргумента  :

.

 

Очевидно, график функции  пересекается с осью в четырёх точках, абсциссы которых расположены:

1. между -8 и -7;
2. между -1 и 0;
3. примерно в точке 1;
4. между 2 и 3.

Следовательно, уравнение  имеет 4 действительных корня: , , и .

Уточним корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01.

Если функция  непрерывна на отрезке и , то для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку , делим этот отрезок пополам. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем ту из половин или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам и проводим то же рассуждение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения , или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , … таких, что и , позволяющих отделить корень этого уравнения с заданной точностью.[8,c.59]

Результаты расчётов поместим в таблице:

Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .

Аналогичным образом уточним  корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01.

Результаты расчётов поместим в таблице:

Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .

Уточним корень уравнения

.

,

следовательно, можно сделать  вывод, что корень уравнения  . Уточним корень уравнения методом проб (методом половинного деления) с точностью до 0,01. Результаты расчётов поместим в таблице:

 

0	2	3	2,5	39,0625	78,125	100	28,6875
1	2	2,5	2,25	25,62890625	56,953125	81	12,83203125
2	2	2,25	2,125	20,39086914	47,97851563	72,25	7,244384766
3	2	2,125	2,0625	18,09571838	43,8684082	68,0625	4,964126587
4	2	2,0625	2,03125	17,02368259	41,90444946	66,015625	3,943757057
5	2	2,03125	2,015625	16,50588995	40,94484329	65,00390625	3,462451994
6	2	2,015625	2,0078125	16,25146866	40,47058344	64,50097656	3,228888039
7	2	2,0078125	2,00390625	16,12536669	40,23483306	64,25024414	3,113861859
8	2	2,00390625	2,001953125	16,06259161	40,11730198	64,12506104	3,05678568

 

Итак, корень уравнения (то есть уравнения ) принадлежит отрезку . Следовательно, можно сделать вывод, что с точностью корень уравнения .

Ответ: ; ; ; .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

      Итак, в данной работе были изучены элементы высшей алгебры, а именно способы отделения и нахождения корней многочленов, рассмотрены теоремы Штурма, их применение к решению школьных задач, показаны конкретные примеры.[7,c.41]

    Для того, чтобы улучшить понимание определений, теорем и следствий, необходимо вводить их строго аналитическим методом. Таким образом этот аспект тоже рассмотрен в данной работе. На уровне с этим разработаны методические положения, способствующие целостному успешному усвоению знаний.

Математическое моделирование, универсальность математических методов  обуславливают огромную роль математики в самых различных областях человеческой деятельности.

Основой любой профессиональной деятельности являются умения:

• строить и использовать математические модели для описания, прогнозирования и исследования различных явлений;
• осуществить системный, качественный и количественный анализ;
• владеть компьютерными методами сбора, хранения и обработки информации;
• владеть методами решения оптимизационных задач.

Материал, представленный в данной работе может быть использован всредних школах и школах с математической специализацией. Кроме того, он может быть рекомендован учащимся старших классов средних школ, желающим усовершенствовать свою математическую подготовку перед выпускными и вступительными экзаменами в вузы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. «Математика» Большой  справочник для школьников и  поступающих в вузы - Дрофа 2011, 864стр.

2. «Математика» Задачи  М. И. Сканави с решениями  – Минск, 2009, 448стр.

3. Бугров Я.С. Высшая  математика.- Ростов - на – Дону, 2010

4. Винберг В.А. Алгебра.- Москва, 2009

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- Наука, 2008

6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Учебник, задачник, 2011

7. Сборник задач по математике с решениями / под ред. М. И. Сканави -М.: Издательский дом Оникс, 2009: - 624стр.

8. Шлярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. "Избранные задачи и теоремы элементарной математики" Том 1 Арифметика и алгебра.-С-Петербург, 2008: - 328 стр.

9.Ф.Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн. пособие./ Пер. с англ. 10.И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд.”Мир”, 2010г.-720 с.

10.В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос.изд. “Технико-теор. литер.”-М., 2010 г.-468 с.

11.Г.Вилейтнер. “История математики от Декарта до середины 19-го столетия.” М., изд. “Наука.”, 2008г. – 508 с.