Автор работы: Пользователь скрыл имя, 31 Мая 2013 в 17:37, курсовая работа
Задача 1. Задача оптимального производства продукции.
Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В и С. Потребность aij на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас bi соответствующего вида сырья и прибыль cj от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей.
Виды
сырья Виды продукции Запасы
сырья
I II
А 5 2 30
В 1 1 9
С 2 2 18
прибыль 3 6
план (ед.) х1 х2
Для производства двух видов продукции I и II с планом х1 и х2 единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n = 5 единиц обоих видов продукции.
В условиях задачи составить оптимальный план (х1; х2) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Zmax. Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом)
Задача 2.
Игра задана матрицей
.
Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом.)
Задача 3.
Игра задана матрицей:
.
Применяя графический метод, найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.
при этом сырьё В и С будет использовано полностью ( , ), а остаток сырья составит ед.
Задача 2.
Игра задана матрицей
Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом.)
Решение.
Прежде, чем искать оптимальные смешанные стратегии игроков, проверим, не имеет ли игра решения в чистых стратегиях.
Находим нижнюю цену игры:
.
Находим верхнюю цену игры:
.
Так как , то седловая точка отсутствует, и игра не имеет решения в чистых стратегиях. Следовательно, оптимальное решение будем искать в смешанных стратегиях.
В данной матрице:
.
По известным формулам находим вероятности оптимальной смешанной стратегии S1 = (р1, р2) первого игрока, вероятности оптимальной смешанной стратегии S2 = (q1, q2) второго игрока и цену игры v:
;
;
;
;
.
Ответ: , , .
Задача 3.
Игра задана матрицей:
Применяя графический метод, найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.
Решение.
Прежде, чем искать оптимальные смешанные стратегии игроков, проверим, не имеет ли игра решения в чистых стратегиях.
Находим нижнюю цену игры: .
Находим верхнюю цену игры: .
Так как , то седловая точка отсутствует, и игра не имеет решения в чистых стратегиях. Следовательно, оптимальное решение будем искать в смешанных стратегиях.
Две стратегии имеет второй игрок, поэтому графическим методом найдём оптимальную смешанную стратегию второго игрока.
1. В декартовой системе координат строим прямую х = 1 и по оси абсцисс откладываем отрезок длиной 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B1, правый (x = 1) – стратегии B2. Промежуточные точки х соответствуют вероятностям S2 = (q1,q2) некоторых смешанных стратегий (q2 = x, q1 = 1 – x).
2. На оси ординат откладываем выигрыши стратегии B1 (левый столбец матрицы С2). На прямой х = 1 откладываем выигрыши стратегии B2 (правый столбец матрицы С2).
3. Решение игры проводим с позиции игрока B, придерживающегося минимаксной стратегии. Ей соответствует верхняя огибающая всех прямых.
А2, А4
А3
А1
4. Нижняя точка М ломаной находится на пересечении прямых А3А3 и А4А4. Для нахождения её координат составим систему уравнений:
;
;
.
Запишем оптимальную смешанную стратегию второго игрока:
, .
Запишем цену игры:
.
5. Находим оптимальную смешанную стратегию первого игрока.
Поскольку точка М находится на пересечении прямых А3А3 и А4А4, то стратегии А1 и А2 исключаем как заведомо невыгодные:
.
Оптимальные вероятности стратегий А3 и А4 найдём, решив систему уравнений:
;
по формулам Крамера:
;
;
;
, .
Запишем оптимальную смешанную стратегию первого игрока:
.
Ответ: , , .
Задача 4.
Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платёжной матрицей А:
14. .
Решение.
Проверим, не имеет ли игра решения в чистых стратегиях.
Находим нижнюю цену игры:
.
Находим верхнюю цену игры:
.
Так как , то седловая точка отсутствует, и игра не имеет решения в чистых стратегиях. Следовательно, оптимальное решение будем искать в смешанных стратегиях.
Предварительно упростим матрицу А, убрав из рассмотрения заведомо невыигрышные (доминируемые) стратегии.
Для первого игрока 1-я стратегия доминируется 3-й стратегией (элементы 1-й строки не больше соответствующих элементов 3-й строки). Убираем 1-ю строку из матрицы, поскольку вероятность выбора этой стратегии первым игроком равна нулю. Получим матрицу:
Далее видим, что элементы 3-го столбца не больше соответствующих элементов 1-го столбца и 4-го столбца, следовательно, у второго игрока 2-я стратегия доминирует 1-ю и 4-ю стратегии. Вычёркиваем 1-й и 4-й столбцы из матрицы. Получим матрицу:
В данной матрице:
.
Эту игру решим аналитически.
Находим вероятности оптимальной смешанной стратегии S1 = (р1, р2) первого игрока, вероятности оптимальной смешанной стратегии S2 = (q1, q2) второго игрока и цену игры v по формулам:
;
;
;
;
.
Поскольку при упрощении матрицы А была убрана 1-я строка, то при возвращении к исходной матрице А получаем, что есть вероятность, с которой первый игрок выбирает 2-ю чистую стратегию, а есть вероятность, с которой первый игрок выбирает 3-ю чистую стратегию. 1-ю чистую стратегию первый игрок выбирает с нулевой вероятностью. Таким образом, оптимальная смешанная стратегия первого игрока:
.
Аналогично получаем оптимальную смешанную стратегию второго игрока:
.
Ответ: , , .