Теория игр

 Модели теории  игр

 

ПЛАН:

Введение………………………………………………………………………3

1.Теоретические основы  теории игр………………………………………..5

2.Модели теории игр………………………………………………………..11

3.Практическое применение  теории игр. Модель олигополии  в контексте теории игр. Равновесие  Нэша………………………………………………14

Заключение…………………………………………………………………..21

Список литературы.........................................................................................23

 

Введение

Теория игр, раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. При этом под конфликтом понимается явление, в котором участвуют  различные стороны, наделённые различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в  соответствии с этими интересами. Систематическая же математическая теория игр была детально разработана  американскими учёными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном (1944) как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития теория игр переросла эти  рамки и превратилась в общую  математическую теорию конфликтов. В  рамках теории игр в принципе поддаются  математическому описанию военные  и правовые конфликты, спортивные состязания, «салонные» игры, а также явления, связанные с биологической борьбой  за существование.

Теория игр - математические расчеты гипотетического поведения  принятия решения двумя или более  людьми в ситуациях, где каждый способен сделать выбор между двумя  или более направлениями деятельности "стратегиями", их интересы могут  частично или полностью быть противоположными, для любого лица числовые значения прилагаются к "полезности" комбинации результатов. Разработанная прежде всего фон Нойманом (см. фон Нойман и Моргенштерн, 1944), теория игр основана на традиционных формах рационального моделирования в политэкономии.

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых  необходимо принимать решения в  условиях неопределённости, т. е. возникают  ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий  партнёра. Такие ситуации относятся  к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнёров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.

Таким образом, модели теории игр позволяют не только проанализировать поведение участников рынка в  той или иной ситуации, но и выявить  возникающие в процессе их взаимодействия проблемы - координации, совместимости  и кооперации. Поскольку в реальной практике фирмы находятся в постоянном взаимодействии (повторяющиеся игры), то принимаемые ими решения основываются на предыдущем опыте, а сами они приходят к выводу о том, что в долгосрочном периоде кооперативное поведение  выгоднее некооперативного.

Актуальность данной работы обусловлена тем, что теория игр  позволяет менеджерам принимать  оптимальные стратегические решения  в условиях неопределенности, связанной  с поведением игроков на конкурентном рынке. Руководители компаний должны помнить: если они вовремя не совершат нужный шаг, это сделают их соперники.

Целю моей работы является - изучить, модели теории игр для двух игроков, практическое применение теории игр, модель олигополии в контексте теории игр. Равновесие Нэша.

Основными задачами данной работы является - рассмотреть теоретические  основное теории игр, модели теории игр, также модели олигополии в контексте  теории игр.

 

            1.Теоретические основы теории  игр

              Основные понятия теории игр

Игра - упрощенная формализованная  модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила  действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры при  данном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении все  других сторон.

Одну играющую сторону  при исследовании операций может  представлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному  информированы об обстановке проведения игры.

Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценить количественно.

Игрок - одна из сторон в игровой  ситуации. Стратегия игрока - его  правила действия в каждой из возможных  ситуаций игры. Существуют игровые  системы управления, если процесс  управления в них рассматривается  как игра.

Математическая модель конфликтной  ситуации называется игрой, стороны, участвующие  в конфликте, - игроками, а исход  конфликта - выигрышем. Для каждой формализованной  игры вводятся правила, т.е. система  условий, определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объём информации каждого  игрока о поведении партнёров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулём, выигрыш - единицей, а ничью - ?.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков  больше двух.

Игра называется игрой  с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен  проигрышу другого, т. е. для полного  задания игры достаточно указать  величину одного из них. Если обозначить а - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш  другого, то для игры с нулевой  суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

Выбор и осуществление  одного из предусмотренных правилами  действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход - это сознательный выбор  игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход - это случайно выбранное  действие (например, выбор карты  из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор  его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся  ситуации. Обычно в процессе игры при  каждом личном ходе игрок делает выбор  в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определённую стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует  для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию  оптимальности, т.е. один из игроков  должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей  стратегии. В то же время второй игрок  должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также  удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии  в этой игре.

Если игра повторяется  достаточно много раз, то игроков  может интересовать не выигрыш и  проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии  для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно  предполагать, что оба игрока ведут  себя разумно с точки зрения своих  интересов. Важнейшее ограничение  теории игр - естественность выигрыша как показателя эффективности, в  то время как в большинстве  реальных экономических задач имеется  более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнёров не обязательно антагонистические.

 

          Классификация игр

Классификацию игр можно  проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.

В зависимости от количества игроков различают игры двух и  игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее  исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения. Чем больше игроков - тем больше проблем.

По количеству стратегий  игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной.

По характеру взаимодействия игры делятся на:

бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции; коалиционные (кооперативные) могут вступать в  коалиции.

По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.

Матричная игра это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы  соответствует номеру применяемой  стратегии игрока 2, столбец номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца  матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

Биматричная игра это конечная игра двух игроков с ненулевой  суммой, в которой выигрыши каждого  игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии  игрока 1, столбец стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца  в первой матрице находится выигрыш  игрока 1, во второй матрице выигрыш  игрока 2.)

Для биматричных игр также  разработана теория оптимального поведения  игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.

*Матричные игры

Решение матричных игр  в чистых стратегиях.

Матричная игра двух игроков  с нулевой суммой может рассматриваться  как следующая абстрактная игра двух игроков.

Первый игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m, второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (i,j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.

Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i=), 2 – свою j-ю стратегию (j=), после  чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij< 0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму | аij | ). На этом игра заканчивается.

Каждая стратегия игрока i=; j =  часто называется чистой стратегией. Если рассмотреть матрицу А = то проведение каждой партии матричной игры с матрицей А сводится к выбору игроком 1 i-й строки, а игроком 2 j-го столбца и получения игроком 1 (за счёт игрока 2) выигрыша аij.

Главным в исследовании игр  является понятие оптимальных стратегий  игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия  игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему  наибольший гарантированный выигрыш  при всевозможных стратегиях другого  игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: для каждого значения i (i =) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2

 аij (i=) т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = iо, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным,т.е. находится аij =   (1).

Определение. Число , определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.

Игрок 2 при оптимальном  своём поведении должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается  аij т.е. определяется max выигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою j-ю чистую стратегию, затем игрок 2 отыскивает такую свою j = j1 стратегию, при которой игрок 1 получит min выигрыш, т.е. находит aij = (2).

Определение. Число, определяемое по формуле (2), называется чистой верхней  ценой игры и показывает, какой  максимальный выигрыш за счёт своих  стратегий может себе гарантировать  игрок 1.

Другими словами, применяя свои чистые стратегии игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше, а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий  может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем .

Определение. Если в игре с матрицей А =, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры u =2

Седловая точка – это пара чистых стратегий (iо,jо) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство = . В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе: где i, j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (iо,jо) – стратегии, образующие седловую точку.

Таким образом, исходя из (3), седловой элемент является минимальным в iо-й строке и максимальным в jо-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (iо,jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент , называется решением игры. При этом iо и jо называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2.