Теория массового обслуживания

 

 

 

Решая эту  систему уравнений, можно получить выражения, определяющие финальные  состояния системы массового  обслуживания:

 

 

 

Следует заметить, что в формулы определения  финальных вероятностей состояний  р₁, р₂, р₃,…, р_n, входят слагаемые, являющиеся составной частью суммы выражения, определяющей р₀. В числителях этих слагаемых находятся произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок графа состояний, ведущих слева на право до рассматриваемого состояния S_k, а знаменатели представляют собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа на лево до рассматриваемого состояния S_k, т.е. μ₀, μ₁, μ₂, μ₃,… μ_k. В связи с этим запишем эти модели в более компактном виде:

 

  к=1,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ  СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ПРОКЛАДНЫХ  ПРОГРАММ

Рассмотрим  решение задачи с помощью прикладных программ.

Небольшое кафе в парке отдыха, одно из многих, имеет 9 столиков. Посетители, увидевшие  свободный столик, садятся и их обслуживают. Время пребывания клиентов за столиком распределено экспоненциально  и в среднем составляет 24 мин. Если свободных мест нет, люди проходят мимо в расположенные неподалеку практически такие же кафе. Поток  потенциальных клиентов можно считать  пуассоновким, его интенсивность  – 1 человек (пара или группа) за 2 минуты.

Хозяин  подумывает немного расширить кафе и довести количество столиков до дюжины. Принесет ли ему выгоду этот шаг, если занятый столик приносит 750 руб в час из которых остается оплатить содержание одного столика - 300 руб/час?

Какое количество столиков принесет ему наибольшую прибыль?

#Решение задачи.

Для расчета  прибыли от кафе, зависящей, очевидно, от коэффициента загрузки столиков, нужно  вычислить характеристики системы  массового обслуживания, которую  и представляет собой данное кафе. А для вычисления характеристик  нужно сначала определить, каковы параметры данной СМО.

Определимся сначала с популяцией клиентов. Судя по условию задачи клиентов очень  много. От того, что какие-то клиенты  заходят и занимают столики в  кафе, общее количество отдыхающих в парке, желающих посидеть в кафе, практически не уменьшается. Во всяком случае, заметить такое уменьшение невозможно. Такая ситуация соответствует  модели неограниченной популяции клиентов.

Для неограниченной популяции клиентов имеются две  модели СМО:

неограниченная  очередь и ограниченная очередь. По условию данной задачи получается, что очереди нет совсем. Конечно, это соответствует модели ограниченной очереди. Причем можно сказать, что  максимальная длина очереди равна 0, а максимальное количество клиентов в системе равно числу столиков.

Под клиентом мы понимаем и одиночного посетителя, и пару, и группу, которые занимают один из столиков. Видимо по умолчанию  предполагается, что столики маленькие  и если даже один клиент сидит за ним, к нему никто не подсаживается.

В данной задаче в качестве сервера выступает  столик, таким образом количество серверов в системе равно 9.

Далее нужно  определить интенсивность потока клиентов и интенсивность потока обслуживания для одного сервера. Так как потенциальные  клиенты проходят мимо кафе раз в  две минуты, то интенсивность потока клиентов можно определить, как 30 клиентов в час, т.е. λ=30.

В среднем  клиенты проводят за столиком 24 минуты. Очевидно, эту величину и нужно  считать временем обслуживания. При  этом интенсивность потока обслуживания в расчете на часовой интервал времени будет равна μ=2.4 (=60/24) клиентов в час.

Теперь  мы можем вызывать надстройку Расчет параметров СМО и вводить в ней все эти параметры. Перед тем, как нажать кнопку Выполнить, проверьте, что вы использовали вкладку Ограниченная очередь.

Рисунок 3.1

Результат расчета показан на рисунке (Рис. 3.1).

Видно, что  в среднем из 9 столиков занятыми оказываются 7.67 и, соответственно, процент  загрузки каждого столика-сервера  равен ~0.85. При том, что столики  заняты только 85% всего времени работы, вероятность того, что все столики  заняты (9 клиентов в системе) равна 36%. А это означает, что с вероятностью 36% подходящий потенциальный клиент обнаружит, что все столики заняты и пройдет мимо. Таким образом, 36% клиентов теряется.

Теперь  оценим прибыли и затраты владельца  кафе.

При любом  раскладе он платит за столик 300 рублей в час, соответственно за 9 столиков – 2700 рублей в час. Если бы столики  были заняты все время, каждый приносил бы 750 рублей в час. Но, как мы уже  заметили, каждый столик загружен примерно 85% времени. Это значит, что из этих 750 рублей столик приносит только 639.57 рублей (0.85277*750), а все 9 столиков – примерно 5756 рублей. Разница между 5756 руб. и 2700 руб. и есть прибыль – 3056 рублей в час. Немного отвлекаясь, заметим, что такой расчет можно сделать и другим способом. Так как занятый столик приносит 750 рублей в час, а каждый

посетитель  в среднем остается в кафе 24 минуты, то можно подсчитать, что в среднем  каждый клиент оставляет в кафе 300 рублей (750*24/60). Если бы удалось обслужить  весь поток клиентов (30 чел. в час), можно было бы заработать 9000 рублей. Но этого, очевидно, не происходит, так  как 36% клиентов теряется. Тогда из этих 9000 рублей возможного заработка будет  реально заработано только 5756 рублей (64%*9000). Это точно совпадает с  результатами расчета прибыли по проценту загрузки столика.

Ну и  самый простой вариант расчета.

 Как  вы видите в ячейке E6 среднее

число клиентов в системе 7.675. Так как мы договорились считать клиентом человека или компанию, целиком занимающих столик, то это  одновременно и среднее число  занятых столиков. Если умножить это  число на среднюю выручку от столика  за час, то мы сразу получим выручку  от всего кафе 7.675*750=5756 рублей. Издержки, разумеется, всегда считаются одинаково.

Итак, полученная прибыль от 9 столиков в кафе составляет 3056 руб.

Оценим  теперь прибыль от 12 столиков. Для  этого нужно пересчитать характеристики СМО, заменив только два параметра - количество серверов и максимальное количество клиентов в системе –  на 12.

Рисунок 3.2

Результаты  расчета показаны на рисунке (Рис. 3.2).

Теперь  еще раз рассчитаем прибыль. Опираться  будем для простоты на процент  загрузки каждого столика.

При проценте загрузки около 80% каждый столик даст только 601 руб. (750*0.80143). Это меньше, чем при 9 столиках. Но зато столиков теперь больше – 12 вместо 9. Эти 12 столиков принесут ~7213 рублей в час (601.07*12). И даже при  том, что платить за них придется больше – 12*300=3600 рублей, прибыль составит 3613 рублей, что примерно на 20% больше, чем при 9 столиках.

Наш расчет показывает, что если увеличить количество столиков до 12, отдача каждого столика  упадет. Но за счет того, что доля потерянных клиентов сильно уменьшится (до ~20%), общая  прибыль возрастет. Таким образом, увеличить количество столиков до 12 - выгодно.

А если увеличить  количество столиков до 15? До 20? Какое  количество

столиков  оптимально?

К сожалению, найти оптимальное количество столиков для этого кафе как-нибудь автоматически  не получится. Единственный способ –  попробовать несколько вариантов и найти вариант с максимальной прибылью. Сделать это не так уж сложно. Когда мы увеличили число столиков до 12 - прибыль возросла.

Попробуем увеличить число столиков до 13, 14 и т.д. до тех пор, пока не окажется, что при добавке столика прибыль  упала. Ясно, что дальнейшее увеличение числа столиков не имеет смысла, так как прибыль будет все  время уменьшаться.

Вернемся  к надстройке Расчет параметров СМО и повторим расчет характеристик СМО, меняя число столиков и максимальное количество клиентов. Попробуем количества столиков от 13 до 15. На рисунке 3.3 приведен результат расчетов для всех этих случаев.

Рисунок 3.3

Видно, что  прибыль растет до тех пор, пока количество столиков не достигнет 14 (прибыль равна 3745 рублей). После этого рост числа  столиков не ведет к росту прибыли. Скорее наоборот. Это значит, что  оптимальное число столиков равно 14. А почему, собственно рост числа  столиков не дает роста прибыли? Ведь доля потерянных клиентов уменьшается…

Посмотрим внимательней на эту долю. При увеличении числа столиков от 12 до 14 доля потерянных клиентов снизилась от 19.86% до 11.72% (ячейки E21 и G23). Значит увеличивая число столиков с 12 до 14 мы можем обслужить добавочно 8.14% клиентов. При потоке клиентов 30 в час это даст 8.14%*30=2.44 обслуженных  клиента, каждый из которых оставляет  в кафе 300 рублей. В результате мы получаем дополнительно примерно 732 рубля в час (2.44*300), а за увеличение числа столиков платим только 2*300=600 рублей, что и приносит нам в  результате 132 рубля в час дополнительно. Увеличение числа столиков до 15 сокращает  долю потерянных клиентов до 8.57%, что, в  сравнении с 14-ю столиками, приводит к увеличению доли обслуженных клиентов всего на 3.15%. Повторяя предыдущий расчет получим, что добавление еще одного столика увеличит выручку на 283 рубля(3.15%*30*300). При этом расходы возрастут на 300 рублей, что должно уменьшить суммарную прибыль на 17 рублей. Это мы и наблюдаем на рисунке 3.3 . Итого, оптимальное количество столиков -14.

Необходимо  отметить,  что модели и методы расчета не принимают решений. Решения  принимают менеджеры. Среди многих причин этого одна из важнейших состоит  в том, что любая задача есть упрощение  ситуации. За рамками поставленной и решенной задачи всегда остается некоторая – большая или меньшая  – совокупность обстоятельств, которые  не удалось отразить в модели. Они  тоже влияют на принятие решения и  задача менеджера,принимающего решение  в данной ситуации, учесть и их.

Значит  ли, что владелец кафе, основываясь  на максимуме прибыли, должен остановиться именно на 14-ти столиках? Наверное, не обязательно. Мы не знаем, например, не увеличится ли поток клиентов именно к этому  кафе, если увеличить число столиков до 15-16, из-за того, что в нем с большей вероятностью можно найти свободный столик? В реальных условиях это нужно исследовать. И с этой точки зрения 15 столиков лучше, чем 14, т.к. прибыль практически не уменьшается, но зато собранная информация может помочь в принятии нового интересного, но неочевидного в исходной ситуации, решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одной из типичных производственных ситуаций являются процессы, приводящие к задержкам в обслуживании определенных элементов системы. Задачей теории массового обслуживания является определение  таких характеристик системы, которые  обеспечивают заданное качество ее функционирования (времени ожидания обслуживания, издержек, длиныочереди).

Основными элементами системы массового обслуживания, характеризующими структуру, состав и  функциональные связи, являются входящий поток требований, очередь требований, приборы обслуживания и выходящий поток требований.

Задачей теории массового обслуживания является отыскание зависимостей, характеризующих  качество функционирования системы, от характеристик входящего потока параметров, описывающих возможности  обслуживающего аппарата системы и  способов организации системы в  целом.

Теория  массового обслуживания занимается изучением процессов, связанных  с массовым обслуживанием, разработкой  методов решения типичных задач  массового обслуживания.

При исследовании эффективности работы системы обслуживания важную роль играют различные способы  расположения в системе каналов  обслуживания.

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бункина М.К. Экономические модели Василия Леонтьева.//Финансовый менеджмент.- М., 2002, №1.С. 13-28.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов.- М., 2002.- 304 с.
3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов /В.В.Федосеев, А.Н. Гармаш и др.-М.,2001.-264 с.
4. Пелих А.С. Экономико-математические методы и модели в управлении производством / А.С, Пелих, Л.Л. Терехов, Л.А. Терехова.- Ростов н/Д: «Феникс», 2005. - 248 с.
5. Зайцев М.Г., Варюхин С.Е, Методы оптимизации и принятия решений; примеры, задачи, кейсы: учебное пособие. – 2-е изд., испр. – М.:Издательство  «Дело» АНХ, 2008. – 664с.