Теория вероятностей и математическая статистика

Министерство образования и науки

Федеральное государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ»

 

Институт информационных систем

Кафедра математики

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по учебной дисциплине "Математика"

 

 

 

 

Вариант № 20

Выполнил (а)  ..........................Турина О.Н.................................... (Ф.И.О. студента)

Институт                               ............Маркетинга........................................................

Направление подготовки      .................Менеджмент...................................................

Группа                                  ..................2-1..................................................

 

 

 

Руководитель курсовой работы                      

к.ф.м.н, доцент                                                                      Перегудов С.А.

..........................................                                   ...............................               ...............................              (ученая степень, звание)                                                              (подпись)                                (инициалы, фамилия)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2014

 

Оглавление

 

 

Теория вероятностей и математическая статистика.

 

Задача № 1

 

При перевозке 120 деталей, из которых 21 были забракованы, утеряна 1 стандартная деталь. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь (из оставшихся) окажется стандартной.

Решение

Всего 120 деталей, среди них 21 бракованных и 99 не бракованных. Одну потеряли, значит всего осталось 98 не бракованных деталей. По классической формуле вероятности найдем вероятность того, что наудачу извлеченная деталь (из оставшихся) окажется стандартной

где - общее число элементарных исходов опыта, - число благоприятных элементарных исходов опыта.

 

Задача № 2

 

На один ряд, состоящий из 24  мест, случайно садятся 24 учеников. Найти вероятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом.

Решение

Случайный эксперимент – рассаживание 24 учеников в один ряд. Элементарный исход – перестановка из 24 элементов. Общее число таких перестановок . Благоприятными исходами являются те, в которых 3 конкретных ученика (например, те, которые имеют номера 1,2 и 3) окажутся рядом. Число таких исходов можно определить так. Тройка учеников, сидящих рядом, имеет  22 вариантов своего размещения среди 24 учеников, поскольку «самый левый» из этой тройки может сидеть на местах с 1-ого по 21-ое. Внутри этой тройки число вариантов размещения учеников равно . Остальные 21 учеников могут размещаться на оставшихся 21 местах числом способов, равным . Тогда число благоприятных элементарных исходов равно . Искомую вероятность определим по классической формуле

 

 

Задача № 3

 

Из урны, содержащей 30 белых и 20 черных шаров, вынимаются два шара.

а) Найти вероятность того, что шары разных цветов.

б) Найти вероятность того, что шары одного цвета.

Решение

Всего 50 шаров.

Количество комбинаций, при которых можно отобрать 2 шара из 50 будет равно число сочетаний 50 по 2:

А) Вероятность того, что шары разных цветов будет заключаться в том, что вытащили 1 белый шар и 1 черный шар:

Б) События «шары одного цвета» и «шары разных цветов образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна 1, т.е.

 

 

 

 

Задача № 4

 

Имеются две урны. В первой лежат 25 белых и 30 черных шаров; во второй находятся 20 белых и 27 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают один шар.

Какова вероятность после этого вынуть:

а) белый шар из I урны

б) белый шар из II урны.

Решение

Обозначим следующие события:

 – событие вытащить  белый шар в первый раз

 – событие вытащить  черный шар в первый раз

 – событие вытащить  белый шар из первой урны  во второй раз

 – событие вытащить  белый шар из второй урны 

Вероятность вытащить белый шар в первый раз (тогда в первой будет 24 белых и 30 черных, а во второй 21 белых и 27 черных)

Вероятность вытащить черный шар в первый раз (тогда в первой будет 25 белых и 29 черных, а во второй 20 белых и 28 черных)

	Вероятность вытащить белый шар из первой урны	Вероятность вытащить белый шар из второй урны

 

А) По формуле полной вероятности получаем вероятность извлечь белый шар из первой урны:

Б) По формуле полной вероятности получаем:

 

 

Задача № 5

 

На I складе имеется 30 изделий, из которых 3 бракованных; на II складе находятся 35 изделий, из которых 5 бракованных. Из каждого склада выбирается по одному изделию случайным образом. После чего из этой пары отбирается одно изделие, которое оказалось небракованным. Какова вероятность, что это изделие из I склада?

Решение

Найдем вероятности:

	Деталь бракованная	Деталь не бракованная
1-й склад
2-й склад

 

Введем следующие обозначения:

A – событие, заключающееся в том, что вытащили не бракованную деталь

- вероятность, что из 1-го  и 2-го вытащили бракованную,

- событие, вытащить одну  бракованную из 1-го склада и одну не бракованную деталь из 2-го склада,

- событие, вытащить одну  бракованную из 2-го склада и  одну не бракованную деталь  из 1-го склада,

- событие, вытащить одну  бракованную из 2-го склада и  одну не бракованную деталь из 1-го склада,

Тогда следующие вероятности:

 – вероятность вытащить  бракованную деталь, при условии, что бракованные детали не  были вытащены

 – вероятность вытащить  бракованную деталь, при условии, что вытащили одну бракованную из 1-го склада и одну не бракованную деталь из 2-го склада

 – вероятность вытащить  бракованную деталь, при условии, что вытащили одну бракованную  из 2-го склада и одну не бракованную  деталь из 1-го склада

- вероятность вытащить бракованную деталь, при условии, что вытащили одну бракованную из 1-го склада и одну бракованную деталь из 2-го склада

По полной формуле вероятности, вероятность извлечь не бракованную составит:

Заметим, что вытащить небракованную деталь из 1-го склада при  событии будет равна ½, а при событии будет тоже равна ½. При остальных событиях вытащить не бракованную деталь из 1-го склада не возможно

Тогда вероятность, что это изделие с первого склада находится по формуле Байеса:

 

 

 

Задача № 6

 

Среди 23 часов, поступивших в ремонт, 2 с поломками оси. Наудачу взяты 3 часов. Составить ряд распределения числа часов с поломками оси среди взятых трех. Найти функцию распределения дискретной случайной величины. Построить ее график.

Решение

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей нет бракованных.

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 часов одни с поломкой.

Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 часов из 23:

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию:

а) одни часы среди 2 сломанных можно выбрать способами, количество которых равно:

б) Остальные 2 исправные часы можно выбрать из 21 исправных:

Аналогично: 

Получаем ряд распределения

p	0	1	2
X	0.7510	0.2372	0.0119

 

Функция распределения

F(x<0) = 0

F(0≤ x <1) = 0.751

F(1≤ x <2) = 0.2371 + 0.751 = 0.9881

F(2≤x) = 1

 

Рис. 1. Функция распределения числа часов с поломкой

 

Задача № 7

 

Даны независимые случайные величины X и Y заданы своими рядами распределений:

	2	4
	0,7	0,3

 

	-1	0	21
	0,4	0,1	0,5

 

Составить закон распределения их суммы - случайной величины Z=X+Y и проверить выполнение свойства математического ожидания:  М(X+Y)=M(X) + M(Y)

 

Решение

Рассчитаем математические ожидания всех величин:

Для составления распределения случайно величины Z=X+Y построим вспомогательную таблицу:

X	Y	X+Y	p(x)	p(y)	p(z)=p(x)p(y)
2	-1	1	0.7	0.4	0.28
2	0	2	0.7	0.1	0.07
2	21	23	0.7	0.5	0.35
4	-1	3	0.3	0.4	0.12
4	0	4	0.3	0.1	0.03
4	21	25	0.3	0.5	0.15

После этого преобразуем ее следующим образом (для одинаковых значений Z складываем их вероятности и упорядочиваем по возрастанию)

 

 

Z	1	2	3	4	23	25
p	0.28	0.07	0.12	0.03	0.35	0.15

 

Тогда математическое ожидание:

Получаем, что:

 

 

Задача № 8

 

Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина Х примет значение, большее 20,3, но меньшее 20,7. Найти плотность вероятности распределения случайной величины Х и ее дисперсию.

 

Решение

Данная функция распределения является функцией распределения равномерно распределенной случайной величины  с параметрами 0 и 20

Математическое ожидание

 

 

Дисперсия:

 

 

= 1/60203 - (1/6003) - 102 =33 1/3

Вероятность:

 

Задача № 9

 

Производится телефонный опрос потребителей некоторой продукции. Каждый потребитель не зависимо от других может дать положительный отзыв о продукции с вероятностью 20/40. Составить закон распределения случайной величины Х - числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных потребителей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных.

 

Решение

Вероятность будет равна 20/40=0,5

Используем формулу Бернулли

где Cmn - число сочетаний из n по m.

 

Найдем ряд распределения X.

Получаем закон распределения

x	0	1	2	3
p	0.1250	0.3750	0.3750	0.1250