Теория вероятностей и математическая статистика

Математическое ожидание.

M[X] = 0*0.125 + 1*0.375 + 2*0.375 + 3*0.125  = 1.5

Дисперсия.

D[X] = 02*0.125 + 12*0.375 + 22*0.375 + 32*0.125  - 1.52 = 0.75

 

Задача № 10

 

В большой партии телевизоров 20 процентов  бракованных. При продаже телевизоры проверяются по одному до тех пор, пока не будет найден качественный телевизор. При этом бракованные телевизоры отправляются обратно на завод. Какова вероятность того, что на завод будет отправлено: а) более 3 телевизоров; б) от 4 до 6 телевизоров. Найти м.о. и с.к.о. числа проверенных телевизоров.

Решение

Данное распределение будет являться геометрическим распределение с параметром и .

Формула вероятности будет

Тогда все вероятности будет равны

Получаем:

А)

Б)

Математическое ожидание случайной величины распределенной по геометрическому закону распределения будет равно:

Дисперсия случайной величины распределенной по геометрическому закону распределения будет равно:

Математическое ожидание случайной величины распределенной по геометрическому закону распределения будет равно:

 

Задача № 11

 

К киоску в среднем подходят 20 покупателей в час. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что за 2 часа к киоску подойдет: а) менее 2 покупателей; б) хотя бы 1 покупатель. Найти м.о. и с.к.о. числа покупателей за 1 час.

Решение

Рассмотрим случайную величину X – количество покупателей, подходящих к киоску за 2 часа. Поскольку поток покупателей является простейшим, то случайная величина X имеет распределение Пуассона. Найдем его параметр. Интенсивность потока: . Параметр распределения Пуассона:

. Теперь, используя формулу  Пуассона, найдем искомые вероятности: ;  .  По формуле Пуассона: .

А)

Б)

Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона:

Дисперсия случайной величины распределенной по закону распределения Пуассона будет равно:

Стандартное отклонение случайной величины распределенной по закону распределения Пуассона будет равно:

 

Задача № 12

 

Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из  1000 изделий окажется не более двух бракованных.

Решение

Вероятность р мала, а число n велико. Значит можно использовать формулу Пуассона:

 

Где λ = np = 100*0.002 = 2 <10

P(0) = e- λ = e-2 = 0.1353

P(1) = λe-λ = 2e-2 = 0.2707

 

Получаем:

 

Задача № 13

 

При измерении большого земельного участка его длина округляется до ближайшего целого числа метров. Какова вероятность того, что возникающая при этом ошибка а) не превысит 30 см; б) будет лежать в пределах от 25 см до 60 см. Найти м.о. и с.к.о. ошибки округления.

Решение

Ошибка округления будет лежать в пределах от 0 до 50. Случайная величина X – ошибка округления, будет иметь равномерное распределение с параметрами a=0 и b=50  и функцией распределения

А)

Б)

Параметры распределения

 

 

Задача № 14

 

К киоску покупатели подходят в среднем через каждые 20 минут. Киоск начинает работу в 9 часов утра. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что между 3 и 4 покупателем (от начала рабочего дня) пройдет: а) не менее 22 минут; б) от 21 до 23 минут. Найти м.о. и дисперсию времени от 10 часов утра до первого после этого времени покупателя.

Решение

Время между приходом покупателей будет являться случайной величиной распределенной по экспоненциальному закону с параметром

Тогда получаем вероятности:

А)

Б)

 

Среднее количество покупателей, которое пройдет в промежутке с 9 до 10 часами будет равно 3 (60/20=3). Тогда среднее время между 3-м покупателем и 10 часами составит 60-3*20=0 мин., тогда среднее время между 10 часами и 4-м покупателем составит 20-0=20 мин. Время между 10 часами и 4-м покупателем будет иметь экспоненциальное распределение с параметром . Математическое ожидание этого распределения будет равно , а дисперсия

 

 

Задача № 15

 

Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием  40 и средним квадратическим отклонением 20. Найти вероятность того, что ее значение

 а) будет отрицательным;

б) будет лежать в пределах от -1 до 3;

в) будет отличаться от среднего не более чем на 2.

Решение

А) Вероятность, что значение будет отрицательным

Б) Вероятность, что значение  будет лежать в пределах от -1 до 3

В) Значение  будет отличаться от среднего не более чем на 2.

 

 

Задача № 16

 

В результате измерения массы большого числа яблок некоторого сорта установлено, что масса одного яблока лежит в пределах от 120 до 400 граммов. Считая, что масса яблока – случайная величина, имеющая нормальное распределение, и используя правило «трех сигм», найти математическое ожидание и с.к.о. массы яблока. Найти вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше 220 граммов.

Решение

Так как масса яблока – случайная величина, имеющая нормальное распределение, то получаем, что:

Найдем вероятность:

- функция распределения  массы яблока

- интегральная функция  Лапласа (табличные значения)

 

 

 

 

Задача № 17

 

Проведена серия из 15 экспериментов со случайной величиной X.  По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины. Для (первый вариант курсовой работы) эта выборка имеет вид: . Для любого варианта с номером выборка выглядит так , т.е. к каждому элементу выборки прибавляется число, равное номеру варианта, уменьшенному на единицу. Например, если , то выборка выглядит так: .

По данной выборке требуется: 1) построить дискретный вариационный ряд; 2) определить численное значение моды и медианы ; 3) построить ряд распределения частот 4) построить выборочную функцию распределения и ее график; 5) найти несмещенную оценку генеральной средней; 6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.

Решение

Исходная выборка:

25

23

24

22

22

24

24

25

22

26

23

24

21

23

 

1) Построим дискретный вариационный ряд

X	Частота, f	Накопленная частота	Относительная частота	Относительная накопленная частота
21	1	1	0.067	0.067
22	3	4	0.200	0.267
23	3	7	0.200	0.467
24	5	12	0.333	0.800
25	2	14	0.133	0.933
26	1	15	0.067	1.000
Итого	15		1.000

 

 

2) Mo= 24

3) Ряд распределения частот

Рис. 2. Ряд распределения частот

 

Рис. 3. Ряд распределения относительных частот

 

 

4) Выборочная функцию  распределения

F(x<21) = 0

F(21≤ x <22) = 0.0667

F(22≤ x <23) = 0.2 + 0.0667 = 0.267

F(23≤ x <24) = 0.2 + 0.267 = 0.467

F(24≤ x <25) = 0.333 + 0.467 = 0.8

F(25≤ x <26) = 0.133 + 0.8 = 0.933

F(26≤x) = 1

Рис. 4. Эмпирическая функция распределения

 

 

 

 

 

5) Для оценки средней  построим вспомогательную таблицу:

xi	Кол-во, fi	xi * fi	(x - )2*f
21	1	21	6.08
22	3	66	6.45
23	3	69	0.65
24	5	120	1.42
25	2	50	4.7
26	1	26	6.42
Итого	15	352	25.73

Несмещенная оценка средней

 

6) Смещенная оценка дисперсии

 

Несмещенная оценка дисперсии

 

Среднее квадратическое отклонение (смещенная оценка).

 

Среднее квадратическое отклонение (несмещенная оценка).

 

 

Задача № 18

 

Проведена серия из 30 экспериментов со случайной величиной X.  По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины. Для (первый вариант курсовой работы) эта выборка имеет вид: .

Для любого варианта с номером выборка выглядит так: Например, если , то выборка выглядит так: .

По данной выборке требуется: 1) построить интервальный вариационный ряд, определив количество групп по формуле Стерджесса; 2) определить численное значение моды и медианы ; 3) дать графическое изображение ряда в виде гистограммы частот, полигона и кумуляты; 4) построить выборочную функцию распределения; 5) найти несмещенную оценку генеральной средней; 6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.

Решение

Исходная выборка

20	25	21.5	26	22.5	20	23	24	20.5	22	24	23	20.5	25.5	24.5
23	23	20	23.5	23	21.5	26	21	24	25	22	23	20	23	22.5

1) Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса

n = 1 + 3,322lg N  = 1 + 3,322lg N  ≈6

Ширина интервала составит:

 

 

Xmax - максимальное значение  группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	20	21
2	21	22
3	22	23
4	23	24
5	24	25
6	25	26