Теория вероятностей

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Филиал Уральского государственного экономического университета

в г. Березники

 

Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин

 

 

 

 

Контрольная работа

 

по дисциплине: «математика»

Тема: «Теория вероятностей»

Вариант 3.

 

 

 Выполнила:

                                           Студентка 3 курса, группа ЭКФЗ 091

                                                         Зиновьева Е. И. 

 

                                                          Проверил:

                                                          Кандидат ф-м. наук

                                                          Кобзев Виктор Николаевич

 

 

 

 

Березники

2012

Содержание.

Задача 1……………………………………………………………………………3

Задача 2……………………………………………………………………………5

Задача 3……………………………………………………………………………7

Задача 4……………………………………………………………………………8

Задача 5……………………………………………………………………………9

Задача 6…………………………………………………………………………...10

Задача 7…………………………………………………………………………...11

Задача 8…………………………………………………………………………...17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.

В первой урне находятся 16 белых и 4 черных шаров, во-второй урне — 5 белых и 2 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение.

Мы провели 3 опыта:

1. Извлекли из 1 урны первый шар и переложили его во 2 урну
2. Извлекли из 1 урны второй шар и переложили его во 2 урну
3. Из 2 урны извлекли один шар

Поэтому дерево вероятностей содержит 3 уровня вершин.

Т.к. каждый раз возможны два исхода, то из каждой вершины выходят две ветви. Над каждой ветвью пишем название соответствующего исхода (белый и черный), а под ветвью – вероятность этого исхода.

Всего в нашем дереве 8 путей.

1. Белый, белый, белый
2. Белый, белый, черный

…………………………..

8. черный, черный, черный

Это означает, что возможно 8 сложных событий. Событие  «белый, белый, белый» говорит о том, что оба переложенных шара из 1- й урны во 2-ю были белого цвета и, что из второй урны извлекли белый шар.

Нас интересует лишь тот исход опыта, когда шар из 2-й  урны будет белый.

 Отсюда можно вычислить  вероятность появления белого  шара в результате опыта:

()+(+(+()=209/285

Ответ: Таким образом, вероятность вынуть белый шар из второй урны равна 202/285.

                              Дерево вероятностей.                                          

 

    белый          белый       

                                                                             7/9             белый   

                                                                                               белый

                                        белый

                                          15/19                        черный       белый

                                                                                               белый  

        белый                                                            2/9            черный

          16/20                                                          белый        белый

                                                                              6/9           черный 

                                                                                                белый

                                        черный

                                            4/19                                            белый

                                                                            черный      черный    

                                                                             3/9          черный

 

                                                                                             черный

                                                                            белый     белый      

                                                                               6/9          белый

                                           белый

                                                                                              черный 
                                              16/19                     черный   белый       

         черный                                                           3/9        черный

          4/20                                                             белый    черный

                                                                                 5/9     черный     

                                                                                               белый

                                            черный

                                              3/19                                         черный

                                                                              черный   черный      

                                                                                 5/9     черный

 

 

 

 

 

 

 

- 4 -

Задача 2

На заводах А и В изготовлено 85% и 15% всех деталей. Из прошлых данных известно, что 20% деталей завода А и 5% завода В оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе А?

 

Решение:

Проводим опыт:

1. Определение завода;
2. Определение качества детали.

 

Строим дерево вероятностей

 0,85*0,2=0,17

  0,85*0,80=0,68

 

  0,15*0,05=0,0075

 

 

 0,15*0,95=0,1425

 

 

 

- 5 -

Всего в получившемся дереве вероятностей 4 возможных пути – это означает 4 сложных событий.

Нас интересует лишь тот исход, когда деталь одного из заводов окажется бракованной.

Найдем  вероятность выбрать деталь, оказавшуюся бракованной:

 

0,85*0,2+0,15*0,05=0,17+0,0075=0,1775

 

Вычислим вероятность бракованных деталей завода А:  
(0,17) : (0,1775) =0,96

Ответ: Вероятность бракованных деталей завода А равна 0,96

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 6 -

Задача 3.

 

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна р=0,4. Найти вероятность того, что при n=600 выстрелах мишень будет поражена не менее k1 = 250 и не более k2 = 600 раз.

 

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Р=Р(А)

q=1-0,4=0,6

 

 

0,341345- 0,296731= 0,044614

 

Ответ: вероятность  при   600 выстрелах мишень будет поражена не менее  250 и не более 600 раз равна 0,044614 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 7 -

Задача 4.

Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 минуту равно 6.

 Найти вероятность того, что за время 6 минут

1. Прибудут 4 самолета
2. Прибудут не менее 4 самолетов

Поток предполагается простейший.

Решение:

Интенсивность , к=4 самолетов, t=6 время.

1. Находим вероятность того, что прибудут 4 самолета

= == 1,6233E-11

2. Находим  вероятность того, что прибудут  не менее 4 самолетов.

Пусть

А=( прибыло не менее 4 самолетов)

В=( прибыло менее 4 самолетов)

Отсюда следует что, это два противоположных события  и  сумма их вероятностей равна 1- есть сумма несовместимых событий.

Пусть

С=( не прибыло ни одного самолета)

D=(прибыл 1 самолет)

Тогда

=1-Р(к<4)=1-( = - =1-0=1

Ответ:

 

1. вероятность того, что прибудут 4 самолета равна 0
2. вероятность того, что прибудут  не менее 4 самолетов равна 1

 

- 8 -

Задача 5.

Произведено  n= 400 независимых испытаний В каждом из них вероятность появления события а равна р=0,35. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа .

 

Решение:

 q=1-p=1-0.35=0.65

 0,481977

 

 

Ответ: вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа  равно 0,481977

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 9 -

Задача 6.

Дискретная случайная величина принимает значение х1=6; х2=2; х3=8  с вероятностями р1=0,3; р2=0,2; р3=0,5. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Найдем математическое ожидание: М(Х)=

Найдем  математическое ожидание и дисперсию.

6	0,3	1,8	36	10,8
2	0,2	0,4	4	0,8
8	0,5	4	64	32
сумма	1	6,2	104	43,6

 

M(X)=6*0,3+2*0,2+8*0,5=1,8+0,4+4=6,2

D(X)= =43,6- (6,2)2=43,6-38,44=5,16

Ответ: M(X)=6,2; D(X)=5,16

 

 

 

 

 

 

 

 

- 10 -

Задача 7.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид, показанный на графике.

Найти неизвестное число m, функцию распределения F(x), математическое ожидание  М(Х) и дисперсию D(x), a=1, b=3,c=4

 

 

Решение:     (св-во функции f(x))

1=

(геометрический смысл  определенного интеграла - это площадь треугольника)

1= =

1=3m/2         m=2/3

На участке 1

 и на участке     f(x)=0

- 11 -

 

На участке 2

график f(x) - это отрезок прямой АВ

Уравнение прямой проходящей через 2 точки ,

                     Точки с координатами  А(1;0)   В(3;2/3)  тогда

    

2/3(х-1)=2y→

 

 

На участке 3

 график f(x) - это отрезок прямой ВС

 Точки с координатами  С(4;0)   В(3;2/3) 

Тогда

 

 

Отсюда следует

 

 

 

- 12 -

F(x)=

Свойство функции F(x) мы воспользуемся геометрическим смыслом определенного интеграла.

- если  то f(x)=0 и площадь под кривой равна нулю

- если  то F(x)= = =1

- если  , то  F(x)= = =

у

 

 

0  х

Координаты точек М (х; 0)   N(x; f(x))=(x;1/3х-1/3) 

Тогда = 0,5(х-1)(1/3х-1/3-0)=(0,5х-0,5)(1/3х-1/3)=1/6х2-1/6х-1/6х+1/6=1/6х2-1/3+1/6=1/6(х-1)2

- 13 -

-если  то  F(x)= = = = - =1-

Координаты точек  Q(х;0)   P(x;f(x))=(x;8/3-2/3х-0)

у

 

 

0 х

1- =1-=1

Отсюда следует

 

 Математическое ожидание

М(х)=

- 14 -

 

 

                              3                   3                   4                 4