Типы комбинаторных задач

В случае, если необходимо найти количество комбинаций выбора предметов,  находят в таблице «Число исходов выбора m шаров из коробки с n шарами» (это нижняя часть таблицы). Затем определяют тип выборки: упорядоченная (порядок выбора предметов «важен»), неупорядоченная (порядок выбора предметов «неважен»). А также определяется тип выбора: с возвращением или без возвращения. На пересечении выбранных столбца и строки  находят способ определения количества комбинаций выборки.

 

Дополнение

                                              Разные статистики.

Задачи о раскладке  предметов по ящикам весьма важны  для статистической физики. Эта наука  изучает, как распределяются по своим свойствам физические частицы; например, какая часть молекул данного газа имеет при данной температуре ту или иную скорость. При этом множество всех возможных состояний распределяют на большое число m маленьких ячеек (фазовых состояний), так что каждая из n частиц попадает в одну из ячеек.

Вопрос о том, какой  статистике подчиняются те или иные частицы, зависит от вида этих частиц.

Распределение Максвелла — Больцмана.

В классической статистической физике, созданной Максвеллом и Больцманом, частицы считаются различимыми друг от друга. Такой статистике подчиняются, например, молекулы газа.

Изучение квантовых явлений  показало, что к участвующим в  них частицам (фотонам, электронам и  т. д.) не применима статистика Максвелла  — Больцмана. При этом все частицы  распадаются на два класса. К одному из них принадлежат частицы, неразличимые друг от друга. Поэтому для таких  частиц имеет значение лишь то, сколько  частиц попало в ту или иную ячейку, а не то, какие именно частицы  в  ней находятся.

Вывод распределения:

Рассмотрим систему частиц, находящуюся в однородном поле. В  таком поле каждая молекула идеального газа обладает полной энергией

ε = εkin + u(x,y,z), где εkin — кинетическая энергия её поступательного движения, а — потенциальная энергия во внешнем поле, которая зависит от её положения.

 

Подставим это выражение  для энергии в распределение  Гиббса для молекулы идеального газа  (где  — вероятность того, что  частица находится в состоянии  со значениями координат  и импульсов , в интервале )

 где — вероятность того, что частица находится в состоянии со значениями координат q и импульсов p , в интервале )

имеем:

где интеграл состояний равен:

интегрирование ведется  по всем возможным значениям переменных. Далее интеграл состояний можно  написать в виде:

мы находим, что нормированное  на единицу распределение Гиббса для молекулы газа при наличии  внешнего поля имеет вид:

Полученное распределение  вероятностей, характеризующее вероятность  того, что молекула имеет данный импульс и находится в данном элементе объёма, носит название распределение  Максвелла — Больцмана.

Независимость вероятностей дает важный результат: вероятность  данного значения импульса совершенно не зависит от положения молекулы и, наоборот, вероятность положения  молекулы не зависит от её импульса. Это значит что распределение  частиц по импульсам (скоростям) не зависит  от поля, другими словами остается тем же самым от точки к точке  пространства, в котором заключен газ. Меняется лишь вероятность обнаружения частицы или, что тоже самое, число частиц.

Статистика  Бозе — Эйнштейна

 Статистику неразличимых  частиц, в которой все эти способы считаются равновероятными, разработали Эйнштейн и индийский ученый Ноле. Поэтому ее называют статистикой Бозе — Эйнштейна. Ей подчиняются фотоны, атомные ядра и атомы, содержащие четное число элементарных  частиц.

В статистической механике статистика Бо́зе — Эйнште́йна определяет распределение тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином (таковыми являются, например, фотоны и атомы гелия-4) по энергетическим уровням в состоянии термодинамического равновесия. В 1924 году она была предложена Шатьендранатом Бозе для описания фотонов. В 1924-1925 Альберт Эйнштейн обобщил её на системы атомов с целым спином.

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии i, равняется

  где εi > μ, ni  — количество частиц в состоянии i, gi  — вырождение уровня i, εi  — энергия состояния i, μ — химпотенциал системы, k — постоянная Больцмана, T — абсолютное значение температуры.

Еще необыкновеннее статистика, которой подчиняются такие частицы, как электроны, протоны и нейтроны.

Для этих частиц действует  так называемый запрет Паули, по которому две частицы не могут одновременно попасть в одну и ту же ячейку.

Статистика Ферми — Дирака

 Поэтому в соответствующей  статистике, разработанной английским  физиком Дираком и итальянским  ученым Ферми, в каждой ячейке находится не более одной частицы, причем различные распределения, удовлетворяющие указанному условию, считаются равновероятными. Число различных состояний в статистике Ферми  — Дирака равно числу способов выбрать n  ячеек  из m.

В статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии

В статистике Ферми —  Дирака среднее число частиц в  состоянии с энергией εi есть

где

ni — среднее число частиц в состоянии i,

εi — энергия состояния  i,

gi — кратность вырождения состояния i (число состояний с энергией εi),

μ — химический потенциал (который равен энергии Ферми EF при абсолютном нуле температуры),

k — постоянная Больцмана,

T — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в  пределе низких температур μ = EF. В  этом случае (полагая уровни энергии  невырожденными gi = 1), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

 

 

Распределение Ферми —  Дирака как функция температуры. Заполнение уровней с энергиями  растёт с увеличением температуры.

 

Заключение

В курсовой работе рассматриваются  комбинаторные задачи на расклад  различных предметов по ящикам, без  учета заданного объема. Приводятся формулы и примеры решения  задач по данной теме. В соответствии с этими моделями рассматриваем  основные способы нахождения количества комбинаций некоторых элементов  различных множеств (формулы размещений перестановок и сочетаний). Опираясь на  вероятностную модель реального явления или процесса, т.е. математическую модель, в которой объективные соотношения выражены в математических формулах и отношениях, можно сказать, что ряд задач возникает при разбиении множеств на части.

Например:

1. В физике. А именно  молекулы газа  распределяются  на М ячеек так, что каждая  из Н частиц попадает в одну  из ячеек. 

2. При составлении алгоритмов  в программах, описывающих различные  процессы (например, те же физические).

3. На бытовом уровне, когда  раскладываются вещи  по коробкам.

 Все факты, приведенные в курсовой работе, помогают определить способы нахождения количества комбинаций и распределений для последующего решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                     Список литературы.

1. Н. Я. Виленкин Алгебра 9 кл., 1999 г
2. Ю. М. Макарычев Н. Г. Миндюк Элементы статистики и теории вероятностей. Алгебра 7 – 9 классы, 2005г
3. Виленкин Н.Я.   Популярная комбинаторика.  М.: Наука, 1975.— 208 с
4. Гитман М.Б., Цылова Е.Г. Введение в комбинаторику и теорию вероятностей. Учеб. пособие.: Пермь, 1999

¹ Математический Энциклопедический Словарь