Тригонометрические функции

 

Свойства  тригонометрических функций

Простейшие тождества

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой  точки, соответствующей на единичной  окружности углу , то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат  косинуса и синуса соответственно имеем  далее:

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс —

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin x, y = cos x, y = sec x, y = cosec x — периодические с периодом 2 , функции y = tg x и  y = ctg x — c периодом .

Формулы

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы  следующего вида:

Здесь f  — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

Некоторые формулы приведения:

 

Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Аналогичные формулы  для суммы трёх углов:

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

Формулы тройного угла:

Прочие формулы  для кратных углов:

следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

где  — целая часть числа ,  — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного  угла:

Произведения

Формулы для  произведений функций двух углов:

Аналогичные формулы  для произведений синусов и косинусов  трёх углов:

Формулы для произведений тангенсов  и котангенсов трёх углов можно  получить, поделив правые и левые  части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени

 

Суммы

Для функций от аргумента x существует представление:

где угол находится из соотношений:

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции  можно выразить через тангенс  половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции  непрерывно и неограниченно дифференцируемы  на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций  на области определения выражаются через элементарные функции следующим  образом:

Тригонометрические функции комплексного аргумента

Формула Эйлера:

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

где

 
Соответственно, для вещественного x,

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

Большинство перечисленных выше свойств  тригонометрических функций сохраняются  и в комплексном случае. Некоторые  дополнительные свойства:

• комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
• все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

 

 

Литература

 

1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
2. Г. Б. Двайт Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.