Тригонометрические ряды

Введение 

          Жан Батист Жозеф Фурье - французский математик, член Парижской Академии Наук (1817). 
           Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом.

           Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу "Аналитическая теория теплоты", сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это - математическая теория теплопроводности. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье. 
           Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.

           Цели данной курсовой работы:

• Рассмотреть понятие тригонометрического ряда;
• Научиться представлять функцию рядом Фурье

 

 

 

 

 

ГЛАВА I :ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 

§ 1.1 Понятие о тригонометрическом ряде; сопряженные ряды

Тригонометрическим рядом  называют выражение вида

Где a_n, b_n  — постоянные числа (n = 0, 1, 2, ...), носящие название 

коэффициентов ряда.

Если такой ряд сходится для всех x на —∞< x< +∞, то он 

изображает функцию, имеющую период 2π. Поэтому, желая изобразить функцию тригонометрическим рядом, рассматривают либо периодические функции с периодом 2π, либо берут функцию, заданную на отрезке длины 2π, а дальше продолжают ее периодически, т. е. требуют, чтобы f(x + 2π) = f(x) при любом х.

Тригонометрические ряды играют выдающуюся роль не только в  самой 

математике, но и в многочисленных ее приложениях. Но прежде чем говорить об этом, отметим сразу же связь  между тригонометрическими и  степенными рядами. Если мы рассмотрим ряд    

где с_n = а_n —ib_n, с₀= _{и положим z = re}^ix, то ряд (1.1) есть не что иное,

как действительная часть  ряда (1.2) на единичной окружности; чисто мнимая

часть ряда (1.2) при z = e^ix есть ряд

который обычно называют рядом, сопряженным с рядом (1.1)

Если предполагать числа  с_n ограниченными, то ряд (1.2) изображает

аналитическую функцию внутри единичного круга, т. е. при z = re^ix, где

0 ≤ r ≤ 1 и 0 ≤ x ≤ 2π; поэтому ее действительная и мнимая части

являются сопряженными гармоническими функциями; отсюда и произошло 

название «сопряженные ряды». Изучение поведения сопряженных  рядов есть

не что иное, как исследование поведения сопряженных гармонических 

функций на окружности |z| = 1.

 

§ 1.2. Комплексная форма тригонометрического ряда

Часто бывает более удобно придать тригонометрическому ряду

иную форму. Именно, замечая, что из известного тождества Эйлера

следует

мы можем записать ряд (2.1) в виде

откуда, полагая 

видим, что ряд (2.1) принимает  вид 

Это так называемая комплексная форма тригонометрического ряда.

Частная сумма ряда (2.1), т. е.

принимает теперь вид 

т. е. сходимость ряда (2.3) надо понимать как стремление к пределу  сумм

вида (2.4).

В некоторых задачах приходится иметь дело с тригонометрическими 

рядами вида (2.3), коэффициентами которых являются любые комплексные 

числа. Если же предполагать, что в ряде (2.1) числа a_n и b_n все 

действительные, то, как показывает формула (2.2), числа с_n и с_-n будут сопряженными комплексными числами, т. е. с_-n = c_n (знак всегда будет обозначать число, сопряженное с a).

 

§1. 3 Краткие исторические сведения

Задача о возможности  изобразить функцию тригонометрическим рядом 

по-видимому, впервые была поставлена Эйлером в 1753 г. в связи  с 

появившейся в это время  работой Даниила Бернулли «О колеблющихся струнах».

Если струну, закрепленную в двух концах, вывести из состояния 

равновесия и, не давая  никакой начальной скорости, позволить ей свободно колебаться, то, как утверждал Бернулли, положение струны в момент  времени t определяется формулой

где l — длина струны и k— некоторый коэффициент, зависящий от

плотности и натяжения  струны. Что же касается коэффициентов  а_p, то это

произвольные постоянные, и их можно подобрать так, чтобы  удовлетворить 

начальным условиям, т. е. требованиям, чтобы в начальный момент струна занимала некоторое заданное положение.

Эйлер заметил, что это  утверждение Бернулли приводит к

парадоксальным, по мнению математиков его времени, результатам. Действительно, если у = f(x) есть начальное положение струны, то, полагая t= 0, мы должны получить

т. е. «произвольная» функция f(x) может быть разложена в ряд по синусам.

Однако Эйлер и его  современники делили кривые на два  класса: те, которые 

они называли «непрерывными», и другие — «геометрические». Кривую — в 

отличие от принятой теперь терминологии — называли непрерывной, если

у и x были связаны некоторой формулой; напротив, геометрической кривой

называли любую кривую, которую можно произвольно начертить  «от руки».

При этом всем казалось очевидным, что если кривая задана формулой, то она, будучи определена на некотором  маленьком интервале, автоматически 

определена и всюду дальше ). Поэтому они не сомневались, что вторая категория кривых шире первой, так как, например, ломаную линию они не могли считать «непрерывной», а лишь составленной из кусков непрерывных линий.

          Если бы «произвольную» функцию можно было разложить в ряд синусов, т. е. представить формулой — это значило бы, что всякая «геометрическая» кривая есть «непрерывная» кривая, что казалось совершенно  неправдоподобным. В частности, Даламбер заметил, что наиболее естественный способ  вывести струну из состояния равновесия, это- взять ее за одну из ее точек и потянуть вверх, благодаря чему она займет положение, изображенное двумя прямыми, образующими между собой угол. Даламбер считал, что кривая такого рода не может быть суммой ряда из синусов.

          Вопрос о том, какие же функции могут быть изображены  тригонометрическими рядами, значительно позже был снова поставлен в работах Фурье. В связи с изучением проблем теплопроводности ему пришлось поставить перед собой следующую задачу: пусть задана функция

Требуется представить ее в виде

Фурье указал формулы, при помощи которых  надо определить a_n так, чтобы

ряд (3.1) мог иметь f(x) своей суммой. Именно, это ряд вида

Фурье не доказал, что ряд  обязан сходиться к функции f(x), однако более

поздними изысканиями  этот вопрос был решен в положительном  смысле.

Во всяком случае, важно, что Фурье впервые решил вопрос, как надо 

определить коэффициенты тригонометрического ряда, для того чтобы он мог иметь суммой заданную функцию. Совершенно другой вопрос —  будет ли 

действительно такой ряд  сходиться и иметь эту функцию  своей суммой.

 

§1. 4 Формулы Фурье

Допустим, что функцияf(x) не только является суммой 

тригонометрического ряда, но этот ряд сходится равномерно на - ≤ x ≤ π; тогда определить его коэффициенты очень легко. Для этого следует только, умножив равенство

на cos kx или на sin kx, проинтегрировать его в пределах от -π до +π (что

законно) и заметить, что 

Формулы (4.2) называются формулами Фурье, числа a_n и b_n — 

коэффициентами Фурье, наконец, ряд, коэффициенты которого определяются по формулам Фурье, отправляясь от функции  f(x), носит название ряда Фурье для функции f(x). Мы будем его обозначать ϭ(f).

 

§ 1.5 Комплексная форма ряда Фурье

Если ряд, изображающий f(x), задан в комплексной форме,

т. е. если мы предполагаем, что 

то коэффициенты c_n определяются формулами

которые можно получить либо отправляясь от равенств (2.2) и подставляя

значения a_n и b_n из формул Фурье, либо аналогично тому, как выводились сами формулы Фурье. Именно, предполагая, что

 где сходимость равномерная,  умножая обе части равенства (5.3) на e^-ink

и интегрируя почленно, находим 

Но 

откуда 

что и доказывает справедливость формулы (5.2).

         Числа c_n называют комплексными коэффициентами Фурье функции f(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ  В РЯД ФУРЬЕ

§2.1Представление функций рядом Фурье

Наложим на функцию f(x) более тяжелое требование, а именно—предположим ее кусочно-дифференцируемой в промежутке [-π;π].

Тогда имеет  место общая теорема:

Теорема. Если функция f(x) с периодом 2π кусочно-дифференцируема в промежутке [-π;π], то ее ряд Фурье в каждой точке x=x₀ сходится и имеет сумму

Эта сумма, очевидно, равна f(x₀), если в точке x=x₀ функция непрерывна.

 Доказательство. Отметим, что равенство

(6.1)

имеет место  для каждой функции f(x), удовлетворяющей поставленным условиям. Если, в частности, взять f(x)≡1, , то s_n(x)≡1, и из (6.1) получим, что

Умножая обе  части равенства на постоянное число  s₀ и вычитая результат из (6.1),найдем

для нашей  цели нужно доказать, что интеграл справа при n→∞ стремится к нулю.

Представим  его в виде

 (6.2)

где положено

 (6.3)

если бы нам удалось установить что эта функция кусочно-непрерывна, то из леммы предыдущего параграфа  следовало бы уже, что интеграл (6.2) имеет предел равный нулю при n→∞. Но в промежутке (0;π] функция g(x) вообще непрерывна, за исключением разве лишь конечного числа точек, где она может иметь скачки—ибо такова функция f(x). Остается открытым лишь вопрос о поведении функции g(x) при t→+0.

Мы докажем  существование конечного предела

;

положив тогда  g(0)=K, мы в точке t=0 получим непрерывность, и применение леммы окажется оправданным. Но второй множитель в правой части равенства (6.3) явно имеет пределом единицу; обратимся к выражению квадратных скобках.

Пусть, для  простаты, сначала точка x₀ лежит внутри промежутка, где функция f(x) дифференцируема. Тогда f(x₀+0)=f(x₀-0)=f(x₀), и каждое из соотношений

  (6.4)

стремится к  пределу fꞌ(x₀), а[…]— к нулю. Если же x₀ есть «точка стыка», то при этом она может оказаться как точкой непрерывности, так и точкой разрыва. В первом случае мы опять столкнемся с отношением (6.4), но они будут стремиться на этот раз к различным пределам, соответственно—к производной справа и к производной слева. К аналогичному результату придем и в случае разрыва, но здесь f(x₀), заменится значениями f(x₀±0), тех функций, от склеивания которых получилась данная, а пределами отношений (6.4) будут односторонние производные упомянутых функций при x=x₀.

Итак, наше заключение справедливо  во всех случаях.

§2.2Случай непериодической функции

         Вся построенная выше теория исходила из предположения, что заданная функция определена для всех вещественных значений x и притом имеет период 2π. Между тем чаще всего приходится иметь дело с непериодической функцией f(x), иной раз даже заданной только в промежутке [-π;π].

Что бы иметь  право применить к такой функции  изложенную теорию, введем взамен нее  вспомогательную функцию f^*(x) определенную следующим образом. В промежутке (-π;π]. мы отождествляем f^*(x) с f(x):

 (7.1)

затем полагаем

а на остальные  вещественные значения x распространяем функцию f^*(x) по закону периодичности.

К построенной  таким образом функции f^*(x) с периодом 2π можно уже применить доказанную теорему разложения. Однако, если речь идет о точке x₀, строго лежащей между -π и π, то, ввиду (7.1), нам пришлось бы иметь дело с заданной функцией f(x). По той же причине и коэффициенты разложения можно вычислить по формулам вычисления коэффициентов не переходя к вспомогательной функции. Короче говоря, все доказанное выше непосредственно переносится на заданную функцию f(x), минуя вспомогательную функцию f^*(x).

Особого внимания, однако, требуют концы  промежутка x=±π. При применении к функции f^*(x) теоремы предыдущего параграфа, скажем, в точке x=π, нам пришлось бы иметь дело как со значениями вспомогательной функции f^*(x) справа от x=π, где они совпадают уже со значениями f(x)  справа от x=-π, поэтому для x=±π в качестве значения s₀ надлежало бы взять

 

.

Таким образом, если заданная функция f(x) даже непрерывна при x=±π, но не имеет периода 2π, так что f(π)≠(-π), то, при соблюдении требований кусочной дифференцируемости суммой ряда Фурье будет число

отличное  как от f(-π), так и от f(π). Для такой функции разложение имеет место лишь в открытом промежутке (-π;π).