Тригонометрические ряды

Следующее замечание так же заслуживает  особого внимания. Если тригонометрический ряд 

сходится  в промежутке (-π;π] к функции f(x), то ввиду того, что его члены имеют период 2π, он сходится всюду, и сумма его S(x) тоже оказывается периодической функцией с периодом 2π. Но эта сумма вне указанного промежутка вообще уже не совпадает с функцией f(x).

§2.3 Случай произвольного промежутка

Предположим, что функция f(x) задана в промежутке [-l;l] произвольной длины 2l и кусочно-дифференцируема в нем. Если прибегнуть к подстановке

,

то получится  функция f( от y в промежутке [-π,π], тоже кусочно-дифференцируемая, к которой уже приложим рассмотрения предыдущего параграфа. Как мы видели, за исключением точек разрыва и концов промежутка, можно разложить ее в ряд Фурье:

коэффициенты  которого определяются формулами Эйлера—Фурье:

 

 

 

вернемся  теперь к прежней переменной x, полагая

.

Тогда получим  разложение заданной функции f(x) в тригонометрический ряд несколько измененного вида:

 (8.1)

Здесь косинусы и синусы берутся от углов, кратных  не x, а . Можно было бы и формулы для определения коэффициентов разложения преобразовать той же подстановкой к виду

 

  (8.2)

 

В отношении  концов промежутка x=±lсохраняют силу замечания, сделанные в предыдущем параграфе относительно точек x=±π. Конечно, промежуток (-l,l] может быть заменен любым другим промежутком длинны 2l в частности, промежутком (0,2l]. В последнем случае формулы (8.2) должны быть заменены формулами

  (8.3)

 

§2.4 Случай четных и нечетных функций

Если  заданная в промежутке [-π,π] функция f(x) будет нечетной, то очевидно

В этом легко  убедится:

.

Таким же путем устанавливается, что в  случае четной функции f(x):

.

Пусть теперь f(x) будет кусочно-дифференцируемая в промежутке        [-π,π] четная функция. Тогда произведение f(x) окажется нечетной функцией, и по сказанному

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:

  (9.1)

Так как  f(x) в этом случае будет тоже четной функцией, то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можем коэффициенты a_n разложения написать в виде

(9.2)

Если  же функция f(x) будет нечетной, то нечетной будет и функция f(x), так что

 

Мы приходим к заключению, что ряд Фурье  нечетной функции содержит одни лишь синусы:

 

(9.3)

При этом ввиду четности произведения можно писать:

(9.4)

Отметим, что каждая функция f(x), заданная в промежутке [-π,π], может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих функций:

,

Где

Очевидно, что ряд Фурье функции f(x) как раз и составится из разложения по косинусам функции f₂(x) и разложения по синусам функции f₂(x).

Предположим, далее, что функция f(x) задана лишь в промежутке [0,π]. Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье мы дополним определение нашей функции для значений x в промежутке [-π,0) по произволу, но с сохранением кусочной дифференцируемости, а затем применим сказанное в пункте «Случай непериодической функции».

Можно использовать произвол в определении функции  в промежутке [-π,0) так, что бы получить для f(x) разложение только лишь по косинусам или только по синусам. Действительно, представим себе, что для 0<x≤π мы полагаем f(-x)=f(x), так что в результате получается четная функция в промежутке [-π,π]. Ее разложение, как мы видели, будет содержать одни лишь косинусы. Коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (9.2), куда входят лишь значения первоначально заданной функции f(x).

Аналогично, если дополнить определение функции  f(x) по закону нечетности, то она станет нечетной и в ее разложении будут одни лишь синусы. Коэффициенты ее разложения определяются по формулам (9.4).

Таким образом, заданную в промежутке [0,π] функцию при соблюдении условий оказывается возможным разлагать как по косинусам, так и по одним лишь синусам.

Особого исследования требуют точки x=0 и x=π. Здесь оба разложения ведут себя по-разному. Предположим, для простоты, что заданная функция f(x) непрерывна при x=0 и x=π, и рассмотрим сначала разложение по косинусам. Условие f(-x)=f(x), прежде всего, сохраняет непрерывность при x=0, так что ряд (9.1) при x=0 будет сходиться именно к f(0). Так как, далее,

то и при  x=π имеет месть аналогичное обстоятельство.

Иначе обстоит  дело с разложением по синусам. В  точках x=0 и x=π сумма ряда (9.3) явно будет нулем. Поэтому она может дать нам значения f(0) и f(π), очевидно, лишь в том случае, если эти значения равны нулю.

Если  функция f(x) задана в промежутке [0,l] (l>0) то, прибегнув к той же замене переменной, что и в предыдущем параграфе, мы сведем вопрос о разложении ее в ряд по косинуса

или в ряд  по синусам

к только что  рассмотренному. При этом коэффициенты разложений вычисляются, соответственно, по формулам

 

или

  .

§2.5Примеры разложения функций в ряд Фурье

Функции, которые ниже приводятся в качестве примеров, как правило, относятся  к классу дифференцируемых или кусочно-дифференцируемых. Поэтому сама возможность их разложения в ряд Фурье—вне сомнения, и  на этом мы останавливаться не будем.

 Все задания взяты из Сборника задач и упражнений по математическому анализу, Б. Н. Демидович.

№ 2636. Функцию  разложить в ряд Фурье.

Так как  функция  является нечетной, то, следовательно, sin⁴ x будет четной. Поэтому ее разложение в ряд Фурье содержит одни лишь косинусы.

Найдем  коэффициенты разложения:

№ 2940. в интервале .

Функция нечетная.

№ 2941. в интервале .

В итоге получаем ряд Фурье:

 

№ 2950. в интервале .

Функция четная.

Так как  при n=1 знаменатель обращается в нуль, то суммирование необходимо произвести начиная в двойки.

№ 2951. в интервале .

Функция нечетная.

№ 2962 Исходя из разложения

  ,

почленным интегрированием  получить разложение в ряд Фурье  на интервале  функций

Проинтегрируем  равенство 

 почленно, получим

И окончательно получаем:

 

Проинтегрируем  полученное равенство повторно

или отсюда получаем

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение 

          Данная курсовая работа начинается с представления функции в виде тригонометрического ряда, который и является при подстановке в него соответствующих коэффициентов (коэффициентов Фурье) рядом Фурье.  Также представлена комплексная форма рядов Фурье и рассмотрены примеры разложения функций в ряд Фурье.

           Так как теория тригонометрических рядов (рядов Фурье) в настоящее время достаточно велика по своему содержанию и объему, то естественно, что здесь не мог быть исчерпан весь материал.

 

Список использованной литературы

 

1. И.М. Уваренков, М.З. Маллер „Курс математического анализа”, М., „Просвещение”, 2005 г.
2. Г.М. Фихтенгольц „Курс дифференциального и интегрального исчисления”, том III, издание 8, М., „ФИЗМАТЛИТ”, 2005г.
3. В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов „Краткий курс высшей математики”, том2, М., „Высшая школа”, 2007г.
4. Н.Я. Виленкин, В.В. Цукерман, М.А. Доброхотова, А.Н. Сафонов „Ряды”, М. „Просвещение”, 2008г.
5. Н.К. Бари „Тригонометрические ряды” М. „Гос. издательство физико-математической литературы” 2007г.
6. Б.П. Демидович „Сборник задач и упражнений по математическому анализу” издание 9, М. „Наука”, 1977г.
7. О.В. Бесов „Тригонометрические ряды Фурье”? М. 2004г.
8.      В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов „Краткий курс высшей

математики”,   том2, Москва, „Высшая  школа”, 1978г.