Универсальность математических методов решения задач

Введение

1. Причины универсальности  математики

2. Особенности экономических  задач, решаемых математическими  методами

3. Применение матричного  метода для решения экономических  задач

4. Применение функции  для решения экономических задач

Список используемой литературы

 

Введение

Есть различные точки  зрения на процессы, происходящие в  нашем обществе в настоящий момент. Но независимо от того, как различные  политические силы воспринимают эти  процессы (как откат назад или  как прогресс, движение вперед), ни одна их них не может отрицать того, что  экономические условия жизни  стали намного сложнее. Стало  намного труднее принять решение, как касающееся частных интересов, так и общественных. Эти трудности  не могли не вызвать волны нового интереса к математическим методам, применяемым в экономике; т.е. к  тем методам, которые позволили  бы выбрать наилучшую стратегию  как на ближайшее будущее, так  и на дальнюю перспективу. В то же время многие люди в таких случаях  предпочитают обращаться к собственной  интуиции, опыту, или же к чему-то сверхественному. Следовательно, необходимо оценить роль математических методов в экономических исследованиях - насколько полно они описывают все возможные решения и предсказывают наилучшее, или даже так: стоит ли их использовать вообще?

По отношению к этому  вопросу следует избегать двух крайних  мнений: полное отрицание применимости математических методов в экономике  и фетишизация, преувеличение той  роли, которую математика могут или  могли бы сыграть. Оба этих подхода  основаны на незнании реального положения  вещей, поскольку человек, хотя бы частично знакомый с этим вопросом, никогда  не поставит его ребром: да или нет; а будет говорить лишь об удельном весе математических методов во всей системе исследования экономических  проблем.

В этом вопросе есть значительный философский аспект, связанный с  проблемой истины. Т.е. насколько  математические модели экономических  систем отражают реальные законы, по которым  живет экономика. Полнота этого  отражения зависит в некоторой  степени и от цели исследования. Для одних целей достаточно минимального уровня соответствия, для других же может потребоваться более детальное  описание.

Кроме того, математические методы не могут не развиваться, также  как и сами экономические системы. Это происходит как вследствие изменений  в экономике, так и по внутренней логике развития. При этом необязательно, что новые методы с неизбежностью  отбрасывают старые, может происходить  взаимопроникновение, включение старых теорий в новые (в качестве частного случая).

На развитие и применение математических методов огромное влияние  оказало и еще окажет развитие вычислительной техники. Вычислительная техника последних поколений  уже позволила на практике применить  множество методов, описанных ранее  лишь теоретически или на простейших примерах.

 

1. Причины универсальности  математики

Математику можно определить как науку, оперирующую чистыми абстракциями, т.е. объектами, отделёнными от реального мира. Hо еще в древности математика и науки о природе не разделялись. Люди воспринимали числа и операции над ними как законы реального мира. Лишь в Древней Греции впервые возникла идея о том, что числа можно изучать отдельно (школа Пифагорейцев). Правда, взгляды их на число были почти суеверными. Hо как раз они и открыли первые закономерности, не имеющие аналога в мире вещей, хотя и утаили их от всего мира. Таким образом, в Древней Греции были положено начала развития математики как самостоятельной науки.

В Средние Века развитие математики как таковой происходило  в основном в Средней Азии. В  Европе же шел процесс развития формальной логики внутри церковной схоластики. Это также было позитивным моментом, поскольку применение математики предполагает определённую формализацию знания.

Начиная с 17 века возможности  математики начинают расти. Первоначально  развитие математики определялось потребностями  изучения и выражения объективных  законов. Впоследствии математика стала  развиваться, подчиняясь также внутренней логике развития и исходя из собственных  потребностей. Hо роль математики, как аппарата для выражения объективных законов, нисколько не уменьшилась.

При этом новые закономерности, выведенные чисто математически, позволяют  предсказывать свойства, присущие объектам физической природы.

Математика стала широко проникать во все сферы науки, и тут выяснилось, уравнения и  выражения, созданные для целей  одной науки, зачастую применимы, после  определённой подработки, в другой.

В чём же причина такой  универсальной применимости математических методов?

По мнению Вигнера универсальность применимости математики следует считать чем-то сверхъестественным. Ученые должны просто пользоваться ею, не пытаясь понять причины этого. А саму математику он рассматривает как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Причем новые понятия выводятся для того и так, чтобы над ними можно было произвести какие-нибудь хитроумные операции, которые импонируют человеческому чувству прекрасного сами по себе и по получаемым с их помощью результатам, обладающим большой простотой и общностью.

Hо такой подход ненаучен. Причина такой универсальности математики кроется в высоком уровне абстрагированности математического языка. Уже введение понятия числа было переходом на более высокий уровень абстрагирования. Числа не имеют вкуса, запаха, веса и других эмпирических характеристик, являясь лишь субъективным суждением о количестве какого-либо предмета, явления. В то же время они позволяют определить количественные характеристики и отношения практически любого объекта. Единственная сложность состоит только в выборе единицы измерения. Т.е. измерив объект, выразив его количественно, можно затем отвлечься от его содержания и оперировать полученными данными по всем правилам математического языка. Полученные таким образом результаты можно и нужно проверять эмпирически.

Вообще, язык математики имеет  определенные преимущества перед естественными  языками. Он минимально избыточен, моносемантичен и содержит в себе правила преобразования. Все это позволяет сравнительно легко оперировать элементами языка: объединять фрагменты в блоки, применять алгоритмы к блокам, а затем развертывать результат через систему подстановок и т.д.

Применение математического  языка, в свою очередь требует  определённого уровня формализации. Введение единиц измерения - уже частичная  формализация. Hо единицы измерения формализуют лишь количественную сторону явлений и процессов, не позволяя создать новые методы для решения новых задач.

Формализация же качественных характеристик объектов происходит двумя путями:

1) создание формализованных  аксиоматических систем;

2) алгоритмизация.

Аксиоматическая система - это  один из способов построения теории на основе базовых положений ( аксиом ), из которых затем выводится основное содержание теории. Аксиоматические системы в ходе эволюции прошли три этапа, которым соответствуют три типа аксиоматических систем:

а) Содержательные аксиоматические системы - когда на основе основных представлений с помощью интуиции описываются содержательно ясные объекты. Т.е. и объекты и аксиомы имеют свои аналоги в мире вещей. Hа начальных этапах развития науки все теории представляли из себя такие аксиоматические системы. Такие системы не представляют ценности в смысле универсальности их применения.

б) Полуформализованная аксиоматическая система предполагает задание абстрактных объектов, для которых описываются содержательно ясные аксиомы. Такие системы уже в достаточно большой мере универсальны, поскольку зачастую бывает, что сходство начальных условий позволяет применять старую теорию для изучения новых объектов (конечно же, с известной долей скептицизма).

в) Полностью формализованные системы. В этом случае изначально задаются и алфавит системы и аксиомы и правила преобразования знаков алфавита, сохраняющие истинность аксиом. Такие системы могут развиваться по своим внутренним законам. Но теории и методы созданные в рамках таких формализованных систем могут найти неожиданное применение в различных отраслях научного знания.

Но главным критерием  применимости того или иного метода является проверка результатов исследования на опыте, на практике.

Алгоритмизация, второй вид  полной формализации, предполагает создание алгоритмов - единых методов для  решения целого ряда задач. При этом метод решения заключается в  совершении какой-то последовательности заранее определённых действий. При  этом создание алгоритма уже предполагает универсальность. Одно время даже пытались создать единый алгоритм для решения  любых задач.

Универсальность алгоритмов имеет определённые ограничения. Во-первых, это их дискретность, т.е. разбивка на шаги, которые нельзя пропускать; во-вторых, для ряда задач вообще нет алгоритма  решения.

То есть следует заметить, что математика универсальна не абсолютно. При применении математических методов  в различных науках наблюдается  определенная специфика.

2. Особенности экономических  задач, решаемых математическими  методами

Экономическая наука, как  и любая другая имеет свою специфику. Специфика ее определяется общей  спецификой наук о человеке. Все  общественные науки изучают самую  сложную и высокоорганизованную форму движения - социальную. Как  уж упоминалось выше, на этом уровне организации материи приходится учитывать обратную связь между  субъектом и внешней средой. При  этом связь эта представляет противоречивое единство интересов и целей отдельных организмов, участвующих в том или ином процессе. Экономическая наука изучает большой пласт процессов, как прямо имеющих место между субъектами при обмене различными продуктами, так и имеющих к этому какое-либо отношение. До того, как люди стали обмениваться продуктами своего труда, отношения между ними никак нельзя было назвать экономическими. Возникновение экономических отношений положило начало специализации труда и соответственно, всему социально-экономическому прогрессу.

На современном этапе  экономические взаимоотношения  между субъектами образуют экономические  системы со сложной структурой, большим  количеством элементов и связей между ними, которые и являются причиной почти всех особенностей экономических  задач.

По Гатаулину основой экономической системы является производство, следовательно, экономическую систему можно рассматривать как совокупность управляемой (производство) и управляющей систем. Из этого вытекают следующие особенности:

1) масштабы производства  как управляемой системы несравненно  больше чем любой технической  управляемой системы;

2) производство, как система,  постоянно совершенствуется, и управление  им включает управление процессами  совершенствования;

3) в связи с научно-техническим  прогрессом и развитием производительных  сил изменяются параметры системы,  что обуславливает необходимость  исследования новых закономерностей  развития производства и их  использования в управлении;

4) с усложнением производства  повышаются требования к методам  сбора, накопления, переработки информации; ее дифференциации по уровням  иерархии с учетом существенности  с точки зрения принятия управленческих  решений;

5) участие человека в  производстве как неотъемлемой  части производительных сил общества  обуславливает необходимость учета  комплекса социальных, биотических,  экологических и других факторов;

6) участие в сельскохозяйственном производстве биологических систем как средств производства, их существенная зависимость от случайных природных факторов обуславливают вероятностный характер многих производственных процессов, что необходимо учитывать в управлении производством.

Но кроме производственных систем в состав экономических систем входит также сфера обращения  и непроизводственная сфера, которые  также имеют свою специфику. Она  заключается в том, что участие  в процессах обращения множества  покупателей и продавцов предполагает необходимость учета таких факторов как конкуренция, законы спроса и  предложения, а также то, что большинство  условий здесь также имеет  вероятностный характер.

Из сказанного следует, что  экономические задачи, это задачи с большим числом неизвестных, имеющих  различные динамические связи и  взаимоотношения. То есть экономические  задачи многомерны, и даже будучи представлены в форме системы неравенств и  уравнений, не могут быть решены обычными математическими методами.

Еще одной характерной  чертой планово-экономических и  других экономических задач является множественность возможных решений. В то же время для управления требуется по возможности минимальное количество вариантов и желательно наилучшие. Поэтому второй особенностью экономических задач является то, что это задачи экстремальные, что в свою очередь предполагает наличие целевой функции.

Говоря о критериях  оптимальности, следует упомянуть, что в ряде случаев может возникнуть ситуация, когда приходится принимать  во внимание одновременно ряд показателей  эффективности (например, максимум рентабельности и прибыли, товарной продукции, конечной продукции и т.д.). Это связано  не только с формальными трудностями  выбора и обоснования единственного  критерия, но и многоцелевым характером развития систем. В этом случае потребуется  несколько целевых функций и  соответственно какой-то компромисс между  ними.