Универсальность математических методов решения задач

Близко к многоцелевым задачам лежат задачи с дробно-линейной функцией, когда целевая функция  выражается относительными показателями эффективности производства (рентабельность, себестоимость продукции, производительность труда и т.д.)

Кроме всего вышеизложенного, надо учитывать, что входными величинами производственных систем служат материальные ресурсы (природные, средства производства), трудовые ресурсы, капиталовложения, информационные ресурсы (сведения о ценах, технологии и др.). Из этого следует еще  одна особенность экономических  задач: наличие ограничений на ресурсы. Т.е. это предполагает выражение  экономической задачи в виде системы  неравенств.

Случайный характер факторов, влияющих на экономическую систему, предполагает вероятностный (стохастический) характер технико-экономических коэффициентов, коэффициентов целевой функции, что также является особенностью экономических задач.

В то же время нередко  встречаются условия, когда зависимости  между различными факторами или  в целевой функции нелинейны. Например, это имеет место в зависимостях между затратами ресурсов и выходом конечного продукта. Но основная часть таких задач встречается при моделировании рыночного поведения, когда следует учитывать факторы эластичности спроса и предложения, т.е. нелинейный характер изменений этих величин от уровня цен.

При моделировании рыночного  поведения кроме нелинейности зависимостей, встречается такая особенность, как требование учитывать поведение  конкурентов. Даже советские экономисты признавали, что действие объективных  экономических законов осуществляется через деятельность множества хозяйственных  подразделений. В то же время, осуществление  решения, принятого в одном из этих подразделений, может оказать  значительное влияние на те или иные характеристики экономической ситуации, в которой принимают решения  остальные подразделения (меняются количество сырья, цены на изделия и  др.). Возникает, следовательно, комплекс оптимизационных задач, в каждой из которых какие-то переменные величины зависят от выбранных управлений в других задачах.

Еще одной общей особенностью экономических задач является дискретность (либо объектов планирования, либо целевой  функции). Эта целочисленность вытекает из самой природы вещей, предметов, которыми оперирует экономическая наука. Т.е. не может быть дробным число предприятий, число рабочих и т.д. При этом дискретный характер имеют не только объекты планирования, но и временные промежутки, внутри которых осуществляется планирование. Это означает, что при планировании какого-либо действия всегда следует определить, на какой срок оно осуществляется, в какие сроки может быть осуществлено, и когда будут результаты. Таким образом, вводится еще одна дискретная переменная - временная.

Дискретность многих экономических  показателей не отделима от неотрицательности значений (реальных предметов или отрезков времени не может быть меньше нуля).

Не следует забывать и  о том, что экономическая система - не застывшая, статичная совокупность элементов, а развивающийся, меняющийся под действие внешних и внутренних факторов механизм. При это возникает ситуация, когда решения, принятые раньше, детерминируют частично или полностью решения, принятые позднее.

Таким образом, легко заметить, что экономические задачи, решаемые математическими методами, имеют  специфику, определяемую особенностями  экономических систем, как более  высоких форм движения по сравнению  с техническими или биологическими системами. Эти особенности экономических  систем сделали недостаточными те математические методы, которые выросли из потребностей других наук. Т.е. потребовался новый  математический аппарат, причем не столько  более сложный, сколько просто учитывающий  особенности экономических систем на базе уже существующих математических методов.

Кроме того, экономические  системы развиваются и усложняются  сами, изменяется их структура, а иногда и содержание, обусловленное научно-техническим  прогрессом. Это делает устаревшими  многие методы, применявшиеся ранее, или требует их корректировки. В  то же время научно-технический прогресс влияет и на сами математические методы, поскольку появление и усовершенствование электронно-вычислительных машин сделало  возможным широкое использование  методов, ранее описанных лишь теоретически, или применявшихся лишь для небольших  прикладных задач.

3. Применение матричного метода для решения экономических задач

Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).

,

Решение:

Составим систему уравнений:

Матричное уравнение выглядит следующим образом:

A · X = B

Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1

A-1 · A · X = A-1 · B;

E · X = A-1 · B;

X = A-1 · B

Найдем обратную матрицу A-1

Д = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374

;

X =· = =

 

Решим систему методом  Крамера

Д = 374

Д1 = = 97 * 12 * 4 + 129 * 7 * 13 + 14 * 7 * 109 - 109 * 12 * 7 - 129 * 14 * 4 - 97 * 7 * 13 = 1870

Д2 = = 4 * 129 * 4 + 12 * 7 * 109 + 97 * 7 * 9 - 9 * 129 * 7 - 12 * 97 * 4 - 4 * 7 * 109 = 1496

Д3 = = 4 * 12 * 109 + 12 * 97 * 13 + 14 * 129 * 9 - 9 * 12 * 97 - 12 * 14 * 109 - 4 * 129 * 13 = 1122

x1 = Д1/Д = 1870/374 = 5, x2 = Д2/Д = 1496/374 = 4

x3 = Д3/Д = 1122/374 = 3

Решим систему методом  Гаусса

=> =>

=>

=> =>

 

4. Применение функции  для решения экономических задач

Задана функция спроса , где p1, p2 - цены на первый и второй товары соответственно.

Основываясь на свойствах  функции спроса, определить: какой  товар является исследуемым, а какой  альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного  товаров.

В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми  или взаимодополняемыми.

Решение:

Эластичность спроса по цене равна первой производной от функции  спроса:

эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.

эластичность отрицательная.

Товары являются товарами дополнителями, т.к рост цен на второй товар, как и рост цен на первый товар приводит к снижению спроса.

 

Список используемой литературы

1. Беллман Р. Динамическое  программирование. Пер. с англ. И.М.  Андреевой [ и др.]. Под ред. Н.Н. Воробьева. М., Изд. Иностр. лит., 1960. 400 с.

2. Беллман Р., Дрейфус С.  Прикладные задачи динамического  программирования. Пер. с англ. Н.М.  Митрофановой [и др.] Под ред. А.А.  Первозванского. М., "Наука", 1965. 458 с.

3. Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.M. и др. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. - М.,Агропромиздат,1990. 432 c.

4. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.,"Наука",1972. 232 c.

5. Кравченко Р.Г., Попов  И.В., Толпекин С.З. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. М., "Колос", 1973. 528с.

6. Моисеев Н.Н. Человек,  среда, общество. Проблемы формализованного  описания. - М., "Наука", 1982. 240 с.

7. Моисеев Н.Н. Математик  задает вопросы.( Приглашение к диалогу). М.,"Знание",1975. 191 с.

8. Нейман Дж., Моргенштерн  О. Теория игр и экономическое  поведение. Пер. с англ. Под  ред. и с доб. Н.Н. Воробьева.  М.,"Наука",1970. 707 с.

9. Немчинов В.С. Избранные  произведения. Том 3.Экономика и  математические методы. М.,"Наука",1967. 490 с.