Вибрані питання теорії чисел

 

 

 

 

 

Реферат на тему

 

Вибрані питання теорії чисел

 

 

 

 План:

1. Предмет теорії чисел.
2. Числова містика і початок науки.
3. Прості числа Ферма та їх зв'язок з геометрією.
4. Велика теорема Ферма.
5. Великий шлях (системи числення).
6. Степінь числа.
7. Системи числення і системні числа з математичної точки зору.

1. Майже детективна історія
2. Системи числення "під мікроскопом"
3. Приклади

8. Подільність цілих чисел.

1. Властивості подільності суми, різниці, добутку натуральних чисел
2. Приклади

9. Ділення чисел з остачею.
1. Приклади
 

1. Предмет теорії чисел

Теорія чисел належить до найбільш стародавніх теоретичних розділів математики. У класичному розумінні — це вивчення властивостей натуральних (цілих додатних) чисел.

Теорію чисел іноді називають і вищою арифметикою; вона виникла із задач арифметики, пов'язаних з множенням і діленням.

Важко назвати такий розділ математики, який не був би зв'язаний з поняттям натурального числа, що є одним з основних понять усієї математики.

Незважаючи на стародавність теорії чисел і видатні, успіхи, яких досягнуто цій галузі математики, починаючи з середини XVIII століття до цього часу, все ж доводиться вважати, що вона перебуває лише на початку свого розвитку. Багато основних питань в процесі розпитку теорії чисел, незважаючи на елементарність їх постановки, виявились настільки складними, що їх не могли розв'язати протягом ряду століть не тільки засобами самої теорії чисел, але й залученням найдосконаліших засобів інших розділів математики.

Розвиток теорії чисел має величезне значення для багатьох розділів математики. Теорія чисел в сучасному розумінні вивчає не тільки властивості цілих раціональних чисел, але й властивості чисел дійсних або комплексних, причому, для доведення своїх тверджень вона вживає аналітичні засоби, які належать іншим галузям математики, наприклад, математичному аналізу, теорії функцій комплексної змінної, алгебрі тощо. Крім того, в багатьох питаннях теорії чисел велике значення мають геометричні міркування. Використовуючи при розв'язуванні своїх задач різні маиематичні дисципліни, теорія чисел відіграє велику роль у розвитку і вдосконаленні цих дисциплін.

 

2. Числова містика і початок науки

Виникнення науки про числа пов'язують з легендарним Піфагором, який жив на межі УІ-У ст. до н. е. 3 тих часів цю науку називають арифметикою (від грецького слова "арифмос", що означає "число").

Піфагор народився на острові Самос, що в Егейському морі, тому його називають ще Піфагором Самоським. У молоді роки Піфагор за поширеним тогочасним звичаєм для вихідців із заможних родин, здійснив декілька тривалих подорожей у східні країни з метою набуття мудрості. Зокрема, він відвідав Єгипет і Вавилон. Ритор Ісократ повідомляє, що під час подорожі в Єгипет Піфагора полонили воїни перського царя Камбіза і мали вже продати в рабство, але сам Камбіз, подивований його ученістю, подарував Піфагору волю. Після повернення на батьківщину Піфагор став одним з тих учених, завдячуючи яким математичні знання з Єгипту і Вавилону перейшли до Греції.

Одна з легенд про Піфагора повідомляє, що, проходячи одного разу повз кузню, Піфагор звернув увагу на гармонійне співзвуччя трьох молотів, якими одночасно вдаряли по ковадлу. Зваживши ці молоти, Піфагор отримав відношення 3:4:6. Пізніше він отримав такі ж відношення для довжин трьох струн, які дають благозвучні акорди.

Легко перевірити, що для цих чисел виконується рівність .

У зв'язку з цим число с, яке задовольняє рівність

почали називати середнім гармонічним чисел a і b.

Легко перевірити, що якщо число с є середнім гармонічним чисел а і b то число є середнім арифметичним чисел   i , тобто .

3 подібних спостережень Піфагор, нібито, й зробив висновок, що все у природі узгоджується з числами, отже, в кінцевому підсумку, — породжується числами. "Все є число" — крилата фраза Піфагора, яка з тих часів ось уже 2,5 тисячі років надихає природодослідників на пошуки все нових і нових законів гармонії світу.

Оскільки все у природі, за уявленнями піфагорійців, породжується числами, то для пізнання природи потрібно пізнавати ці числа. Особливо приваблювали піфагорійців усілякі числові диковинки, бо саме в них вони вбачали найбільший прояв божественної сили. А інколи мовою чисел моделювали і найбуденніші речі. Наприклад, парні числа називались у піфагорійців жіночими, а непарні — чоловічими. Першим жіночим числом є 2, а першим чоловічим 3. їхня сума 2 + 3 = 5 вважалася символом подружніх уз. Великою шаною користувалося число 10, яке називали неперевершеною тетрадою. Крім того, що це число є основою системи числення, воно також дорівнює сумі перших чотирьох натуральних чисел 1+2 + 3 + 4 (звідси і назва "тетрада" — від грець. "тетра" — тобто "чотири"). Перше з цих чисел 1, або монада — символ творіння, бо кожне число складається з монад. Числа 2 і 3 — символи жіночого і чоловічого. Ці символи в піфагорійській філософії відігравали всеохоплюючу роль як два різноіменні полюси природи, на взаємодії яких тримається світ. Нарешті, число 4 було символом чотирьох основних складників природи (так званих стихій) — землі, води, повітря і вогню. Піфагорійська клятва виголошувалася від імені того, "хто вклав в нашу душу тетроду — джерело і корінь вічної природи".

Числа, які дорівнюють сумі усіх своїх власних дільників (тобто усіх дільників, за винятком самого числа), називалися досконалими. Досконалими, зокрема, є числа 6=1+2 + 3 і 28 =1+2 + 4 + 7+14. На шостому місці під час званого бенкету садовили найшанованішого гостя.  На початку XX ст. в Римі археологи розкопали будівлю неопіфагорійської академії, яка мала форму круга (велика зала), по периметру якого розташовувалось 28 келій-кабінетів.

Дружбу у піфагорійців символізували пари так званих дружніх чисел, кожне з яких дорівнювало сумі усіх власних дільників іншого. Такими є числа 284 і 220: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142; 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + +10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110. Збереглися середньовічні рецепти для виготовлення на цій основі талісмана дружби, а мавританський учений X ст. Аль-Маджріті залишив навіть рецепт того, як досягти взаємності в коханні. Виявляється, для цього достатньо записати на чому-небудь дружні числа 220 і 284, а потім шматок з більшим числом з'їсти самому, а з меншим дати об'єкту своєї пристрасті.

Звичайно, якщо були хороші числа, то мали бути й погані. Погано, якщо число не має явно виражених цікавих властивостей. Але ще гірше, якщо в натуральному ряді його оточують числа з такими особливими властивостями. Ось що, наприклад, повідомляє історик Плутарх про число 17: "Піфагорійці не люблять числа 17, тому що 17 знаходиться якраз посередині між числом 16, яке є повним квадратом, і числом 18, яке є подвоєним квадратом; обидва ці числа — єдині, для яких периметр прямокутника з даними розмірами дорівнює його площі". Йдеться, очевидно, про те, що якщо добуток двох натуральних чисел дорівнює їхній подвоєній сумі, то це тільки або пара чисел 3 і 6, або пара чисел 4 і 4.

 

3. Прості числа Ферма та їх зв'язок з геометрією

Якось П'єр Ферма помітив, що прості числа 3, 5, 17, 257, 65537 можна задати формулою:

Рп=2г+1 (***) при п'яти послідовних значеннях п, що дорівнюють відповідно 0, 1, 2 ,3, 4. А саме:

З'явилася величезна зваба "вивести" звідси, що усі числа Fп при натуральних п є простими. Ферма піддався цій спокусі і... помилився. Ейлер, перевіряючи формулу Ферма (***), встановив, що вже наступне, шосте число Ферма (так називають тепер числа )

тобто є складеним. Більше того, від Ейлера і до сьогодні нікому не вдалося знайти жодного нового простого числа Ферма, навіть за допомогою найпотужніших сучасних комп'ютерів.

Цікавий початок історії цих пошуків. У 1727 р. швейцарець Леонард Ейлер прибуває до Санкт-Петербурга для роботи в Петербурзькій Академії наук. Там уже працював талановитий німецький дослідник в галузі теорії чисел Христіан Гольдбах (1690- 1764). Через деякий час, щоправда, Гольдбах переїжджає до Москви на дипломатичну службу (у ті часи дипломатами часто були учені), але продовжує активно листуватися з Ейлером. В одному з листів (від 1 грудня 1729 р.) Гольдбах запитує Ейлера: "Чи відомі Вам зауваження Ферма про те, що всі числа вигляду 22 +1 є простими? Він каже, що не може довести цей факт, і, наскільки я знаю, ніхто не може цього зробити".

Спочатку Ейлер знайшов вказану вище помилку Ферма для числа Р5, а згодом по-справжньому поринув у дослідження світу натуральних чисел і досяг у цьому феноменальних результатів. Про окремі з цих результатів згадувалося вище.

Історія з числами Ферма, найімовірніше, завершилася б на розкладі Ейлером числа і слугувала б хіба що яскравим прикладом для учнів, який показує, що в математиці неприпустиме "доведення" лише на основі окремих спостережень. Але ці числа дивовижним чином відродилися в зовсім іншій області математики — в геометрії.

Ще піфагорійці (знову піфагорійці!) важливого значення надавали побудові так званих правильних многокутників. Многокутник називається правильним, якщо в нього всі сторони рівні, а через усі вершини можна провести одне коло (це коло називається описаним навколо многокутника, а сам многокутник — вписаним у дане коло). Побудови ж передбачалося виконувати за допомогою циркуля і лінійки (причому на лінійці не наносилося ніяких поділок; це обмеження виправдовувалося, до певної міри, відсутністю у давнину єдиної системи мір).

Найпростіше побудувати правильний шестикутник і правильний трикутник. Якщо від деякої точки А на колі розхилом циркуля,   що    дорівнює радіусу, зробити на колі послідовно п'ять засічок В, С, Д Е, Р, то вони разом з точкою А і будуть вершинами правильного шестикутника АВСОЕР. Якщо ж сполучити відрізками не  всі сусідні засічки, а лише взяті через одну, то отримаємо правильний трикутник, наприклад, АСЕ.

Для побудови правильного чотирикутника, який найчастіше називають квадратом, досить побудувати два будь-які взаємно перпендикулярні діаметри кола i BD. Тоді кінці цих діаметрів А,В,С, D) будуть вершинами квадрата. Один із діаметрів АС можна провести як завгодно. Для побудови іншого проводять два допоміжні кола (можна обмежитись тільки дугами цих кіл) з центрами у точках А, С, радіуси яких перевищують радіус даного кола. Тоді діаметр кола, який проходить через точки Е, F перетину побудованих кіл, — шуканий, а чотирикутник АВСD — квадрат.

Трохи складніше побудувати правильний п'ятикутник. Піфагорійці також вміли це робити. Правильний п'ятикутник був навіть емблемою їхнього братства. Наступним мав стати правильний семикутник. Але саме на ньому "спіткнулися", і не тільки піфагорійці. Ніхто, скільки не старався, аж до Ґаусса (а це більше 2500 років!), побудувати правильний семикутник не зміг. Ґаусс же відкрив, що ніхто й не міг цього зробити, бо таку задачу за допомогою циркуля і лінійки розв'язати просто не можна.

Ґаусс дослідив загальну проблему: для яких п можна побудувати правильний n-кутник за допомогою циркуля і лінійки? Неважко було зрозуміти, що дослідження потребували лише випадки з непарними п. Адже 2n-кутник (з парною кількістю сторін) просто одержати з побудованого вже n-кутника діленням навпіл кожної з дуг, що стягує його сторони. А ця побудова дуже просто виконується за допомогою циркуля і лінійки. З'ясувалося, що правильний n-кутник з непарною кількістю сторін можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки тоді і лише тоді, коли число п є простим числом Ферма або добутком декількох різних простих чисел Ферма (Теорема Ґаусса). Число п - 1 цій характеристиці не відповідає, тому правильний семикутник за допомогою циркуля і лінійки побудувати не можна.

На противагу цьому, наприклад, правильний 17-кутник побудувати можна, бо 17 є числом Ферма Р2 . I Ґаусс вказує навіть конкретний спосіб таких побудов.

 

 

 

4. Велика теорема Ферма

Поряд з "плоскими" фігурними числами піфагорійці розглядали й "об'ємні", зокрема, кубічні числа, тобто числа 1, 8, 27,..., n3:

Але чи ставили вони для кубічних чисел проблему, аналогічну проблемі представлення квадратних чисел у вигляді суми двох інших квадратних чисел (еквівалентну, як ми бачили, пошуку піфагорових трійок чисел), невідомо. Йдеться про пошук трійок натуральних чисел а, b, с, для яких .

Немає, однак, сумніву, що ця природна аналогія стала одним з основних джерел, які у XVII ст. привели Ферма до його знаменитої Великої теореми. Втім, про це варто поговорити докладніше.

П'єр Ферма (1601 - 1665) — один із найвидатніших математиків усіх епох, що стояв біля витоків чотирьох фундаментальних напрямків новітньої математики — теорії чисел, аналітичної геометрії, диференціалного та інтегрального числення, а також теорії ймовірностей. За освітою і професією — юрист. Займав високі адміністративні посади в Тулузі, а математиці віддавав увесь вільний час. За життя не опублікував жодної математичної праці. Більшість його відкритгів стали відомими з листів до видатних учених епохи — Мерсенна, Паскаля, Декарта, Валліса.

Значно вплинула на Ферма "Арифметика" Діофанта. У 1621 році французький поет і математик-аматор Гаспар Клод Баше де Мезиріак (1581-1638) видав свій грунтовний переклад цієї праці з грецької на латину (свої власні результати і зауваження Ферма коротко записував прямо на полях цієї книги). У 1670 р. Діофантова "Арифметика" разом з усіма зауваженнями була перевидана старшим сином Ферма Самюелем. Цим виданням розпочалася одна з найвідоміших інтриг в історії математики.

У другому розділі "Арифметики" Діофанта під № 8 розв'язується задача: "Подати квадрат даного натурального числа а у вигляді суми квадратів інших натуральних чисел". Отже, мова йде про пошук піфагорових трійок чисел (х; у; а), для яких

 а2 = х2 + у2.І ось навпроти цієї задачі на полях книги Ферма робить помітку, яка більше 350 років не давала спокою як видатним математикам, так і численним шанувальникам цієї науки: "Але, на противагу цьому, не можна розкласти ні куб на два куби, ні четвертий степінь на два четверті, ні взагалі жоден інший степінь, більший квадрата, на два однойменні степені. Я знайшов для цього воістину чудесне доведення, але ці поля надто вузькі для того, щоб його можна було тут подати".

Твердження, про яке говорить Ферма, пізніше отримало назву Великої теореми Ферма. Ця теорема стверджує, що рівняння з трьома невідомими   при жодному п > 2 не має розв'язків у натуральних числах. Тобто: при жодному натуральному п > 2 не існує жодного набору натуральних чисел х, у, z, для яких справджується записана рівність.