Вибрані питання теорії чисел

Сам Ферма в одному з листів виклав-таки доведення своєї теореми для показника п = 4. Як потім з'ясувалося, для цього випадку теорема доводиться найпростіше. Для п = 5 теорему довів Ейлер. Пізніше було одержано доведення для багатьох, навіть сотень і тисяч, значень п. Проте для загального випадку теорема залишалася недоведеною аж до кінця XX століття (на початок 90-х років XX ст. доведення Великої теореми Ферма було одержано для всіх п < 4 000 000).

Увага до Великої теореми Ферма значно зросла після того, як у 1908 р. було оприлюднено заповіт німецького лікаря-офтальмолога Пауля Вольфскеля (1856 - 1906). Цим заповітом засновувалася премія в розмірі 100 000 німецьких марок за доведення теореми Ферма. Згідно з положенням про премію, доведення мало бути обов'язково опубліковане, схвалене Королівським науковим товариством, а після публікації мало минути не менше двох років.

Сам Вольфскель також тривалий час, щоправда безрезультатно, займався доведенням Великої теореми Ферма. Захопився він цією проблемою на лекціях сімдесятирічного берлінського професора Ернста Куммера (1810 - 1893). Куммеру вдалося довести теорему Ферма для всіх п < 100. За це досягнення йому було присуджено премію Паризької Академії наук.

У червні 1993 року весь світ облетіла сенсаційна звістка: легендарну Велику теорему Ферма доведено! Автор доведення - на той час сорокарічний математик з Принстонського університету (США) Ендрю Вайлс за декілька днів став таким же популярним, як найвідоміші політики та естрадні і кінозірки.

Невдовзі, правда, з'ясувалося, що Вайлс трохи поспішив із повідомленням і не продумав до кінця окремих деталей свого доведення. Але через рік теорему таки було доведено повністю. Це сталося у 1994 році.

Тепер перенесімося на декілька років уперед —у 1998 рік. В Берліні проходить Міжнародний конгрес математиків (такі конгреси проводяться раз у 4 роки). Величезна аудиторія Берлінського технічного університету заповнена вщерть. Присутні понад 2000 найвидатніших математиків з усієї планети. Через телевізійну мережу ведеться трансляція в інші аудиторії, в яких зібралися ті, кого не зміг вмістити зал засідань конгресу. Професор Ендрю Вайлс читає годинну лекцію "20 років теорії чисел". Лекція завершується доведенням Великої теореми Ферма. Весь зал встає і понад 15 хвилин безперервно аплодує доповідачеві. Це — перемога усього планетарного розуму.

 

5. Великий шлях (системи числення)

І сказав Господь Мойсею в Синайській пустелі

в скинії зібрання, у перший день другого місяця,

на другий рік після виходу їх

із землі Єгипетської, промовляючи:

 

— Перелічіть усю громаду синів Ізраїлевих

за родами їхніми, за їхніми сімействами,

за числом імен...

Четверта книга Мойсеєва "Числа"

У книжці відомого дитячого письменника Корнія Чуковського "Від двох до п’яти" є дуже повчальна історія про дворічну Іринку, яка вміла рахувати лише до двох і тому змушена була вдаватися до усіляких хитрощів, аби тільки замаскувати цей прикрий для її самолюбства факт.

"Батько дає їй ложку і запитує:

Скільки у тебе ложок? 
— Одна.

Дає другу:

— Тепер скільки?

— Дві.

 Дає третю:

• Тепер скільки?
• Багато.
• Ні, ти скажи.

Іринка з напускним виглядом огиди відсуває від себе третю ложку:

• Візьми, вона брудна!"

Але пройшло ще кілька років і ось ми бачимо в своїй уяві вже п'ятирічну Іринку, яка піднімається східцями на гірку. Східців багато, і Іринка рахує: один, два, три, чотири, п'ять,... десять, одинадцять,... дев'ятнадцять, двадцять.

— Ху, стомилася. Двадцять один, двадцять два, ..., двадцять 
дев'ять, двадцять десять, двадцять одинадцять, двадцять дванад- 
цять, ..., двадцять дев'ятнадцять, двадцять двадцять.

— Ой, — забідкалась дівчинка. — Щось я, здається, заплуталася. Двадцять двадцять не буває. Скажеш ще — двадцять двадцять один або двадцять двадцять двадцять? Ні, треба запитати маму.

А й справді, двадцять двадцять двадцять не буває. А ось рівнозначне йому три двадцять буває. Саме так перекладається українською мовою англійське three score, яким у певних випадках передається число 60. Серед багатьох значень слова sсоrе в англійській мові (мітка, зарубка, рахунок очок у грі, рахунок у ресторані, успіх, щастя) є і значення числа 20. Зокрема, саме за допомогою цього слова прийнято передавати вік людини: three score—60 років, fore score (чотири по двадцять) — 80 років, tree score and ten (три по двадцять і десять) — 70 років.

Отже, помилившись у загальноприйнятій тепер в українській мові усній лічбі, Іринка водночас почала створювати власну систему усної нумерації, логічно рівноцінну традиційній. Усна нумерація в українській мові строго узгоджена із загальноприйнятою тепер десятковою системою числення. В основі цієї системи лежить, як відомо, лічба десятками. Усна ж лічба в англійській і французькій мовах зберігає сліди прадавнього вжитку у цих народів двадцяткової система числення, або лічби двадцятками. Починаючи із "двадцяти десяти" Іринка рахувала вже у двадцятковій системі числення.

Двадцяткова система числення в різні часи була в ужитку і в інших народів. Зокрема, вона використовувалася корінними народами доколумбової Центральної Америки — майя і ацтеками. Такою системою користувалися і чукчі з далекого Чукотського півострова на крайньому північному сході Росії'. Ось цікавий епізод із нарису Т. Сьомушкіна "На Чукотці", який свідчить про поширений у чукчів спосіб лічби п'ятірками.

" Проїжджаючи одного разу мимо стійбища, я побачив на схилі табун оленів. Я нарахував 128 оленів. Коли запитав хазяїна, скільки у нього оленів, він відповів:

-Ми не рахували. Але якщо хоча б один олень пропаде з табуна, очі мої розпізнають одразу.

-А чи можеш ти порахувати?

-Якщо тобі треба, порахую. Тільки рахуватиму довго. Ти іди поки що в ярангу (житло чукчів), а я принесу тобі рахунок.

В яранзі ми встигли напитися чаю, закусити, перебалакати з господарем про все, а десь години через дві прийшов наш "Обліковець". Він назвав число — 128. Старий хазяїн вельми здивувався такій кількості оленів.

• Напевно, ти помилився. Так багато оленів ніколи в нас не було. 
  Старий вирішив перевірити... Для цього він роззувся і через три години повідомив, що підрахунок проведено правильно (він пам'ятав кожного оленя). Для підрахунку не вистачило своєї сім'ї з п'яти чоловік, і довелося запросити ще двох чоловік із сусідньої яранги". У шести чоловік на руках і ногах всього 120 пальців, тому для утворення числа 128 потрібна була сьома людина”.

Сліди п'ятіркової системи числення збереглися і в уживаній тепер римській письмовій нумерації. Про це свідчить наявність у цій нумерації індивідуальних знаків для чисел 5, 50, 500 — відповідно V, L, D). Вже навіть сама форма знака V нагадує кисть руки з витягнутими пальцями. А знак X для числа 10 у цій системі нагадує і об'єднання двох перехрещених рук, і просте об'єднання двох менших знаків для числа V. У багатьох народів помітні сліди використання дванадцяткової системи числення. Про це свідчить, зокрема,  і досі поширена лічба деяких предметів дюжинами (тобто по 12). Так, наприклад, по 12 штук комплектують олівці і фломастери, кухонні сервізи (на 12 
персон), стільці. Використовуються також і великі дюжини, 
або ґроси (gross — великий). Ґрос налічує 12 по 12, тобто 144 предмети. Цікаво, що наступне за дюжиною число 13 багатьма вважається тепер нещасливим, тому його інколи називають "чортовою дюжиною". Зрештою, це — суто західний забобон. У наших предків-слов'ян його не було. Зокрема, знаменитий собор Софія Київська, збудований за часів Ярослава Мудрого, — тринадцятиглавий, тобто має 13 куполів.

Проте найдавнішою з усіх була, мабуть, лічба парами, тобто по 2. Дуже ймовірно, зокрема, що саме такою двійковою системою числення на початках користувалися давні єгиптяни. Принаймні, про це свідчать винайдені ними способи множення та ділення чисел, що ґрунтуються на послідовному подвоєнні одного з множників та дільника і тому не потребують таблиці множення (будуть описані далі).

Про практику лічби парами в Давній Русі свідчить те, що у старослов'янській мові поряд з одниною і множиною для відмінювання іменників існувала ще й особлива форма двоїни.

Хто б у ті далекі часи міг подумати, що ця найпримітивніша система числення колись стане "робочою" системою майбутнього дива — комп'ютера!

Найбільшою ж системою числення з тих, що були у широкому практичному вжитку, виявилася шістдесяткова система давніх вавилонян. Сліди цієї системи, основою якої є лічба групами по 60 одиниць, збереглася у сучасному поділі години на 60 хвилин, а хвилини — на 60 секунд. Так само діляться на менші частини одиниці вимірювання кутів: градус — на 60 мінут, а мінута — на 60 секунд (у перекладі з латинської мінута означає "маленька частина", а секунда — "друга" (мається на увазі "друга за величиною маленька частина")). Такі точні вимірювання кутів потрібні, наприклад, в астрономії. Ще не так давно в широкому ужитку були назви "копа" і "півкопа" для позначення чисел 60 і 30 при підрахунку деяких предметів, зокрема курячих яєць та снопів необмолоченого зерна.

Щодо походження шістдесяткової системи числення дуже

вірогідною є гіпотеза, запропонована у 30-х роках XX ст. австрійським математиком та істориком науки Отто Нейгебауєром. Згідно з цією гіпотезою, в обох давніх народів, що проживали на території Вавилонії,— шумерійців і аккадців — як і в більшості інших народів, початково вживалася десяткова система числення. Але торгові і господарські стосунки між ними вимагали встановлення чітких правил грошових розрахунків. Роль грошей відігравали відповідні мірки срібла. Шоста частина шумерської міни врівноважувалася десятьма аркадськими шекелями. Це означало, що 1 міна мала дорівнювати 60 шекелям (як у

нас 1 гривня дорівнює 100 копійкам). Така шістдесяткова іменована нумерація з часом вийшла за межі свого первісного застосування і, згідно з цією гіпотезою, стала основою для усієї системи числення.

 

6. Степінь числа

Як відомо, додавання кількох однакових доданків можна замінити дією множення. Наприклад, 14 + 14 + 14 = 14 • 3. У свою чергу множення кількох однакових співмножників можна замінити дією, яка називається піднесенням до степеня. Наприклад, добуток 14 • 14 • 14 записують коротше: . Запис 143 читається "чотирнадцять у третьому степені". Вираз 143 називається степенем, число 3 — показником степеня, а число 14 — основою степеня.

Отже, добуток кількох однакових співмножників називається степенем.

Вважається, що для будь-якого натурального п число n1 співпадає з самим числом п: n1 = п. Взагалі, яке б не було дійсне число а і натуральні числа т і п, завжди ,  .

 

7. Системи числення і системні числа з математичної точки зору
1. Майже детективна історія

Один знайомий математик-програміст на прохання свого шефа подати для особової справи автобіографію написав таке:

"Я народився 33 числа 20 місяця 30401 року. 11-річним хлопчиком пішов у перший клас, а через 13 років продовжив навчання в 14 класі Українського фізико-математичного ліцею Київського університету. Ліцей закінчив через 3 роки з оцінкою "22" з усіх профілюючих предметів. Після закінчення ліцею 32-річним юнаком вступив на механіко-математичний факультет Київського університету. Після 10-річного навчання в університеті, у віці 42 років, мене, як перспективного молодого спеціаліста, запросили працювати на фірму. Зважаючи на добрий гумор і компетенцію її шефа, гарне комп'ютерне обладнання і пристойну зарплатню, я погодився. Пройшло вже два роки, як я працюю на цій фірмі.

32.13.31002 р. Код 5."

Якби навіть не було підказки "Код 5" у кінці цієї дивної автобіографії, шеф, звичайно, і так відразу здогадався б, що його підлеглий вирішив трохи похизуватися своєю обізнаністю в галузі математики. Здогадалися, мабуть, що всі числа, які є у цій автобіографії, подано у п'ятірковій системі числення. I справді, розставте замість записаних у тому ж порядку числа 18, 10, 1976, 6, 8, 9, 3, 12, 17, 5, 22, виправте дату у кінці на 17.08.2002 р. — і "все стане на свої місця".

2. Системи числення "під мікроскопом"

Будь-яке натуральне число можна розкласти на прості одиниці, десятки, сотні, тисячі, десятки тисяч і т. д., причому одиниць кожного такого розряду менше десяти, а їх кількість (або відсутність) позначається цифрами 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Наприклад, записи 834,9571,361042 означають числа:

834 = 4 + 3-10 + 8- 100;

9571 = 1+7- 10 + 5-100 + 9- 1000;

361042 = 2 + 4 -10 + 0 - 100+1 • 1000 + 6 - 10000 + 3 - 100000.

3 використанням поняття степеня числа ці записи можна спростити, так би мовити "уніфікувати", або "стандартизувати":

 

 

 

Запис, наприклад, семизначного натурального числа у формі

  означає:

 

(лінія над літерами тут вказує на те, що символами a, b, c, p, q, r, s позначено саме цифри числа, тобто, що їх значення не перемножуються; у цьому позначенні явно відчувається відлуння давньогрецької і давньоруської алфавітних систем нумерації).

Взявши до уваги такі очевидні речі, відомий французький математик, фізик, філософ і письменник Блез Паскаль (1623 - 1662) дійшов висновку, що за аналогією можна побудувати будь-яку іншу n-кову (читається "енкову") позиційну систему числення для будь-якого натурального числа п > 2. Число п тоді називається основою системи числення.

Зокрема, запис числа у п'ятірковій системі числення повинен показувати, скільки у цьому числі простих одиниць (звісно, від 0 до 4, бо 5 одиниць — це вже одна одиниця наступного розряду, розряду п'ятірок), скільки п'ятірок (знову-таки від 0 до 4), скільки п'ятірок, взятих по п'ять разів, тобто двадцять п'яток, і т. д. Наприклад, запис 3412 у п'ятірковій системі числення повинен позначати число 2+1 • 5 + 4 - 52+3 • 53.