Возникновение и эволюция счета. Появление понятия числа

Возникновение и эволюция счета.  Появление понятия  числа

Возникновение математических понятий произошло  задолго до появления собственно математических текстов. Некоторые  ученые, например известный немецкий математик М. Кантор (Cantor) считали, что  счёт имеется уже у животных. По М. Кантору, “счёт, поскольку под ним подразумевают лишь сознательное сведение воедино определенных сущностей, не составляет особенности человека, ибо утка также считает своих утят”. Современные исследователи отмечают, что животные разных видов, начиная с рептилий, обладают способностями обобщения по признаку “соответствие”, абстрагирования, ряд позвоночных способны к зачаткам “символического мышления человека”. Вороны “способны не только к обобщению относительного признака “соответствие”, но также к формированию довербального понятия “число”.

Как пишет Ф. Кликс: “Способность распознавать различные  количества предметов одного и того же или разного вида встречается  уже среди врожденных поведенческих  программ. Пчелы дифференцируют различное число лепестков у цветов. Некоторые виды птиц, например, голуби, могут научиться различать количество точек и пятен, числом 7 или 9”.

По мнению советских  авторов “Истории математики” (1970) счёт прерогатива, сугубо, человеческая, первобытно-пещерным “людям”, как и уже высшим животным доступен так называемый “чувственный счет”: “Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто, окинув взором свору, видел, какой собаки не хватает. Такой “чувственный счёт”, доступный даже утке чувствующей, весь ли ее выводок следует за ней к водоёму, существовал задолго до возникновения счёта”. Действительно, существуют гипотезы, согласно которым счёт, способность к счёту - это то, “нечто”, что принципиально отличают человека от животного.

Интересно отметить, что такие животные как пчёлы  строят форму своих сот, (которые  представляют собой шестигранные призмы небольшого объема, одинаковой высоты), наилучшим образом “решая” проблему заполнения пространства. А пауки  “умудряются” плести свои паутины, соблюдая строгие пропорции. Как это возможно, ведь пчёлы и пауки не знают высшей математики?

Таким образом, в верхнем палеолите, когда “супер обезьяна” овладела способностью создавать  и оперировать понятиями, когда  появилось понятийное, символическое мышление, появился собственно человек. Можно вполне согласится с В. Розиным писавшем: “…Сознание и разум, и психика человека сформировались под влиянием знаков, языка, общения” [6., С.35]. “…Именно развитие знаковых средств и знаковых систем (т.е. языка) и являлось тем основным фактором и рычагом, который привел к формированию человека…”. [Там же. С.35].

Современный исследователь  первобытной эпохи Фридхардт  Кликс также писал о том, что  оценки количества у первобытных  народов носят перцептивный характер. “Перцептивное выделение одного или двух объектов (например, с помощью процессов, получивших в современной психологии название “селективное внимание”) еще не является началом счёта в собственном смысле слова”.

Первые арифметические и геометрические понятия появились в каменном веке. По мнению Люсьена Леви-Брюля (1857-1939), французского философа и психолога, представителя французской социологической школы, первобытным народам чуждо требование логики. Леви-Брюль проводил исследования жизни племен Австралии, Океании и Африки, на основе которых пришел к заключению, что мышление первобытных людей “пралогическое”, хаотически-комплексное (некоторые психиатры, сказали бы и - психопатическое).

Леви-Брюль противопоставил  свои воззрения “постулату” Тайлора, согласно которому “мышление в низших обществах повинуется тем же логическим законам, что и наше”. В действительности, полагал Леви-Брюль, первобытное мышление отличают четыре особенности: оно носит мистический и пралогический характер и подчиняется закону партиципации (сопричастности), который управляет коллективными представлениями. Содержание первобытного мышления мистично, поскольку не отражает объективных свойств вещей и явлений, а выражает сакрально-фетишистские и мифологические смыслы и значения, которые им приписываются человеческим коллективом. Называя первобытное мышление пралогичным, Леви-Брюль не считает его дологичным, алогичным или антилогичным, а только указывает на то, что оно “не стремится, подобно нашему мышлению, избегать противоречия”, т.е. не следует диктату законов формальной логики. Подчиняясь вместо этого закону сопричастности, первобытное мышление “всюду видит самые разнообразные формы передачи свойств путем переноса, соприкосновения, трансляции на расстоянии, путем заражения, осквернения, овладения”. Его смысловыми единицами являются не понятия, а коллективные представления.

В качестве примеров, Леви-Брюль приводил, например случай с миссионером Груббом, у которого знакомый индеец однажды потребовал плату за “украденные” (как ему это приснилось) им тыквы. Однако, как выяснилось, миссионер в момент “кражи” находился в 150 милях от огорода индейца. Тот признал этот факт, однако продолжал настаивать на своем требовании.

Основатель  структурной антропологии Леви-Стросс показал, что Леви-Брюль был не прав, отрицая наличие логики в мифологическом сознании: последнее способно к обобщениям, классификации, анализу и постоянно оперирует т.н. бинарными оппозициями.

Стоит отметить, что поздний Леви-Брюль в последние  годы жизни признал некоторую ошибочность своего взгляда на первобытного человека как человеке мыслящем нелогично; отказался от гипотезы пралогического мышления; скорее, по Леви-Брюлю, можно говорить, что его логика погружена в мистические ориентации сознания.

Однако обратимся  к рассмотрению эволюции появления счёта.

Что появилось  первым понятие числа или счёт? Очевидно, что понятие числа кристаллизовались  на основе и в процессе развития счёта.

Можно выделить четыре этапа этой эволюции:

1. установление  соответствий предметов; 

2. выработка естественных эталонов счёта;

3. выработка  эталона-множества символизирующего  некое конкретно число (где,  впервые возникает понятие числа);

4. выработка  наиболее удобных счётных систем.

Рассмотрим  эту эволюцию подробно.

Итак, первым шагом  или этапом к возникновению счёта было установление “взаимно однозначного соответствия” между считаемыми предметами и некоторым другим множеством. Счёт строился на однозначных соответствиях; “у некоторых южноафриканских племен при счёте дотрагиваются до каждого предмета по очереди пальцами, начиная с мизинца левой руки”

Австралийцы и  полинизийцы, пользовались своим телом  как живой шкалой, каждая часть  тела которого имела свое название и место в системе счисления. Таким телом – живой - шкалой “пользовались, чтобы сообщить, например, дружественному племени о количестве воинов, собираемых племенами, или о числе дней, в прошествии которых следует выходить на охоту”.

У первобытного человека не было потребности в счёте  больших количеств. Поэтому счет доходил до 2 или до 3 - всё превышающее этот рубеж, первобытному человеку представлялось как “много”. Числительное “два” имело качественное происхождение - пара рук, ног, глаз и пр.

Как писал Кликс: “У древних и первобытных народов  первые числительные нередко связаны  со словами, указывающими на какие-либо особенности единичных объектов. Так, в одном из древнеиндийских языков для обозначения единицы используется слово “луна”, а “день” (дополняющий ночь) означает в тоже время числительное “два”. В древнейших из дошедших до нас языков после двух для обозначения количества применялось слово, имеющее значение “много”. В одном из древнеегипетских текстов можно прочитать: “Царь убил тысячи (трижды повторяется знак “тысяча”) врагов, а сотни (три знака “сто”) взял в плен”. Как хорошо известно, письменным значком воды у древних египтян было изображение трех волнистых линий, а цветущие лотосы обозначались с помощью трех стилизованных изображений цветочных зонтиков. В китайском языке иероглиф “лес” состоит из трех знаков “дерево”. (3., С.215.).

По мнению Кольмана, концепция отождествляющая зарождение счета на пальцах с зарождением  количественных понятий - ошибочна. Ложна  теория Липперта, утверждающая, что  числительные “один”, “два”, “три”  происходят от личных местоимений “я”, “ты”, “он”, возникших из рефлексии первобытного человека. По Кольману, эта теория ложна, т.к. “ни в одном из тысяч известных нам языков нельзя проследить указанного мнимого родства между числительными и местоимениями”.

Ложна, по Кольману, и теория Вундта, по которой системы счисления, имеющие основанием 2, 4, 8 возникли в результате дробления племени на две части. По мысли Кольмана, “потребность в счете имелась давно уже внутри племени”. Теория Кэджори также “лженаучна”, т.к. объясняет различия в системах счисления у разных народов, концепцией “высших” и “низших” рас. По Кэджори, у “низших” рас используется пятеричная и двадцатеричная система счета, “высшие” пренебрегают ими как или слишком скудными, или слишком громоздкими. По Кольману, все это противоречит историческим фактам.

Вскоре (второй этап эволюции) - в процессе развития обмена - появились естественные эталоны  счёта: пять пальцев руки, камешки, ракушки  и пр.

Судя по всему, зачастую “первобытные исчисления” ассоциировались и  назывались в соответствии со сравнимыми “естественными множествами” (при помощи “конкретных” чисел). Лучший пример сказанного: древнеиндийская система счисления, где Луна - единица, два - близнецы или глаза, пять - чувства, шесть - запахи, семь - горы, восемь - боги и т.д.

Постепенно для счёта  предметов стала применяться более или менее однородные предметы (пальцы рук, если их не хватало, в ход шли ноги).

“Так, у индейцев племени  абипонов число 5 называется “рука”, 10 - “две руки”, 20 - “руки и ноги”; в названии 4 - “пальцы страуса” - отражена более ранняя степень счёта. У зулусов каждый палец обозначал определенное число; например, слово “татизитуна” (буквально - “взять большой палец руки”) обозначало 6, а “у комбиле”, т.е. “он указал”, - 7 и т.д.” (1., С. 10.).

“Так, обозначения  чисел у обитателей одного из Микронезийских островов выглядят следующим образом: 1 = “маленький палец правой руки”, 2= “безымянный палец”, 3= “средний палец”, 4= “указательный палец”, 5= “большойпалец”, 6= “кисть”, 7 = “локоть”, 8= “плечо”, 9= “ухо”, 10= “правый глаз”, 11= “левый глаз, 12= “нос”, 13= “рот”, 14= “левое ухо” и т. д. Судя по всему, это соответствует той исторически ранней ступени развития когнитивных процессов, на которой понятия репрезентировались при письме с помощью пиктограмм. В обоих случаях речь идет о тупике, наивной попытке передачи на костылях наглядности безбрежного многообразия количественных и качественных отношений. Каким же образом была разрешена эта дилемма? В качестве временного решения в самых разных частях света в какое-то время утвердился прием образования вспомогательных множеств. Числовые системы ряда отсталых народов еще несколько десятилетий назад могли служить примером этого принципа. Остатки его сохранились и в нашем речевом мышлении.

Иллюстрацией  использования вспомогательных  множеств является образование числовых рядов индейцами одного горного  племени, живущего на территории Колумбии. Их числовые термины различаются в зависимости от того, нужно ли считать животных, дни и даже длинные или округлые объекты. Для обитателей островов Фиджи 10 лодок- это “боло”, а 10 кокосовых орехов- “каро”, точно так же, как для североамериканских индейцев 10 лодок, участвующих в военных действиях, называются совсем иначе, чем те же самые лодки, используемые для перевозки продовольственных запасов. Названия чисел еще неразрывно связаны с событиями, в которых проявляются свойства конкретных предметов, обозначаемые теми же словами. Отголоском этого этапа развития в нашем мышлении и речи являются такие термины для обозначения большого количества определенных объектов, как “толпа”, “куча”, “стадо” и т.д.”. “Собственная история счета начинается лишь тогда, когда счет сопровождает материальную манипуляцию откладывания, перекладывания, прибавления и т.п., конкретно проводимую с самими предметами”, - отмечает Кольман.

Первобытному  человеку необходимо дотрагиваться  до предметов пальцами. О ручном счете у жителей Новой Гвинеи сообщает Н. Н. Миклухо-Маклай (См.: Н. Н. Миклухо-Маклай. Путешествия. Т. 1. М. -Л., 1940. С. 280.). “Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например, “бе, бе, бе”…Досчитав до пяти, он говорит “ибон -бе” (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет “бе, бе”…, пока не доходит до “самба-бе” и “самба-али” (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого”. (Цит. по: 4., С.17.).

“Ручной счет сыграл в развитии счета столь же важную роль, как и открытие огня в общем развитии первобытного человека” - заключает Э. Кольман. (4., С.17.). По его мнению, счет пальцами рук и ног, сменился знаками “заместителями” отсчитываемых предметов. Такими “знаками заместителями” стали камешки, ракушки, которые в процессе счета откладывались в кучки, наносились зарубки, завязывались узелки и пр. Понятия 1, 2, 3 и т.д. появляются раньше самого понятия числа.

Кликс отмечал, что “развитие счета и, как  мы знаем теперь, формирование числовых систем требует выполнения двух предварительных условий. Первым условием является образование цифр в некотором ограниченном числовом диапазоне. Образование цифр связано с наименованием. Вследствие ограниченности возможностей памяти оно диктует необходимость использования итеративного или, точнее, конструктивного принципа. Австралийские аборигены считают так: 1 = энеа, 2= петхевал, 3= петхевал-энеа, 4= петхе-вал-петхевал. Обозначения для трех и четырех образуются из названий единицы и двойки. Число таких примеров можно было бы при желании увеличить. Представители другого австралийского племени делают это так: 1 = мал, 2 = булан, 3= гулиба, 4= булан-булан, 5 = булан-гулиба, 6= гулиба-гулиба. Мы видим здесь тот же принцип: ограниченное количество числительных благодаря их конструктивному объединению может быть использовано для обозначения элементов большего множества. В простейшем случае, как в наших примерах, такое объединение является аддитивным.