Введение во фракталы

Введение  во фракталы

Содержание  реферата

1. Введение 
2. Классические фракталы 
   2.1. Самоподобие 
   2.2. Снежинка Коха 
   2.3. Ковер Серпинского 
3. L-системы 
4. Хаотическая динамика 
   4.1. Аттрактор Лоренца 
   4.2. Множества Мандельброта и Жюлиа 
Заключение 
Список литературы

1. Введение

Когда большинству людей  казалось, что геометрия в природе  ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения  о том, что планеты в нашей  солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?

Однако многие природные  системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для  их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных  систем. Как подступиться к моделированию  каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос --- термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному  поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды --- вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для  фракталов свойство самоподобия.

Во многих работах по фракталам  самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus --- дробный).

Понятие дробной размерности  представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько  этапов. Прямая --- это одномерный объект, а плоскость --- двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

Многие замечательные  свойства фракталов и хаоса открываются  при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции y = f(x) и рассматривают поведение последовательности f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),... В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только к вещественным, функциям (1879). Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений.

Изучение фракталов и  хаоса открывает замечательные  возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так  и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

2. Классические фракталы

2.1. Самоподобие

Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую часть  можно считать копией всего отрезка, уменьшенного в 1/r раз. Очевидно, N и r связаны отношением Nr = 1 Если квадрат разбить на N равных квадратов (с площадью, в 1/r2 раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как Nr2 = 1. Соответственно, общая формула соотношения запишется в виде:

Nrd = 1.   (2.1)

Множества, построенные выше, обладают целой размерностью. Зададимся  вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель d в равенстве (2.1) НЕ является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на N непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала с коэффициентом r, значение d не будет выражаться целым числом. Ответ --- решительное да! Такое множество называется самоподобным фракталом. Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью или размерностью подобия. Явное выражение для d через N и r находится логарифмированием обеих частей (2.1):                                                                                 

 logN                                                                      

    d = ---------           (2.2)                                                                                 

 log 1/r

Логарифм можно взять  по любому основанию, отличному от единицы, например по основанию 10 или по основанию  е ~ 2,7183.

2.2. Снежинка  Коха

Граница снежинки, придуманной  Гельгом фон Кохом в 1904 году (рис.2.2.1), описывается кривой, составленной их трех одинаковых фракталов размерности d ~ 1,2618. Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон равностороннего треугольника. Пусть Ko --- начальный отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на рис. 2.2.2. Назовем полученное множество K1 . Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. Обозначим через Kn  фигуру, полученную после n-го шага.

Интуитивно ясно, что последовательность кривых Kn при n стремящемся к бесконечности сходится к некоторой предельной кривой К. Рассмотрим некоторые свойства этой кривой.

Если взять копию К, уменьшенную в три раза (r = 1/3), То всё множество К можно составить из N = 4 таких копий. Следовательно, отношение самоподобия (2.1) выполняется при указанных N и r, а размерность фрактала будет:

d = log(4)/log(3) ~ 1,2618

Рис 2.2.1. Снежинка Коха.

Еще одно важное свойство, которым  обладает граница снежинки Коха --- ее бесконечная длина. Это может  показаться удивительным, потому что  мы привыкли иметь дело с кривыми  из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он

Рис. 2.2.2. Построение снежинки Коха.

использовал фрактальную  кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее  введен элемент случайности, учитывающий  случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая  береговую линию, имеет бесконечную  длину.

Доказательство приводится в [1].

2.3. Ковер  Серпинского

Еще один пример простого самоподобного фрактала - ковер Серпинского (рис. 2.3.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем, а также на основе итерированных функций.

Рис 2.3.1. Ковер Серпинского

Пусть начальное множество S0 --- равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S0 на четыре меньшие треугольные  области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной  треугольной области. Назовем оставшееся множество S1 (рис. 2.3.2). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим  следующее приближение S2. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств Sn, чье пересечение образует ковер S.

Из построения видно, что  весь ковер представляет собой объединение N = 3 существенно не пересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент подобия r = Ѕ (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, S --- самоподобный фрактал с размерностью:

d = log(3)/log(2) ~ 1,5850.

Рис. 2.3.2. Построение ковра  Серпинского

Очевидно, что суммарная  площадь частей, выкинутых при  построении, в точности равна площади  исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ј часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ј 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3*(1/42) + 32*(1/43) + … + 3n-1*(1/4n) + … .

Эта сумма равна 1 (доказательство в [1]). Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть ковер, имеет площадь меры нуль. Это  выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает  свое дополнение на бесконечное число  треугольных областей, обладая при  этом нулевой толщиной.

4. Хаотическая  динамика

4.1. Аттрактор  Лоренца

До настоящего момента  мы изучали фракталы, которые являются статическими фигурами. Наш подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает необходимость рассмотрения таких природных явлений, как  падающие потоки воды, турбулентные завихрения дыма, метеосистемы и потоки на выходе реактивных двигателей. В этих случаях один-единственный фрактал соответствует моментальному снимку данного феномена. Структуры, изменяющиеся во времени, мы определяем как динамические системы. Интуитивно понятно, что динамической противоположностью фрактала является хаос. Это означает, что хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации.

Достаточно скоро стало  ясно, что многие хаотические динамические системы, описывающие феномены окружающего  нас мира, устроены очень сложно и не могут быть представлены традиционными  методами математического анализа. По-видимому, нет никакой возможности  получить математические выражения  для решений в замкнутом виде, даже если использовать бесконечные  ряды или специальные функции.

Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно демонстрирующий, что  стоит за термином «хаотическая динамика». Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере[1]. Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений:

dx/dt = s(-x + y),

dy/dt = rx – y – xz,

dz/dt = -bz + xy.

В дальнейших расчетах параметры   s, r и b постоянны и принимают значения s = -10, r = 28 и b = 8/3.

Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного  времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность  решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и  поэтому он повторил вычисления с  этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные  значения для повторного счета в  точности были равны полученным ранее  значениям для этого момента  времени. Лоренц слегка изменил эти  значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким  образом, были крайне невелики. Но самое  неожиданное было впереди. Вновь  сосчитанное решение некоторое  время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое (рисунки приведены в [1], стр. 149).

Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем  осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных  условий --- основной чертой, присущей хаотической  динамике. Существенную зависимость  иногда называют эффектом бабочки. Такое  название относится к невозможности  делать долгосрочные прогнозы погоды. Сам Лоренц разъяснил это понятие  в статье «Предсказуемость: может  ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо  в Техасе?», опубликованной в 1979 году [3, стр. 322].

Несмотря на большую значимость эксперимента Лоренца, в данной курсовой работе не будут рассматриваться  модели, связанные с динамическими  системами, описываемыми дифференциальными  уравнениями. Напротив, мы будем рассматривать  наиболее простые модели хаотической  динамики --- дискретные, к которым  относится знаменитое и вездесущее множество Мандельброта и сопутствующие  ему множества Жюлиа.

Рис. 4.1.1. Аттрактор Лоренца.

4.2. Множества  Мандельброта и Жюлиа