Задача роста ледяной корки на поверхности водоема

 

 

 

Курсовая  работа

 

Задача роста ледяной корки на поверхности водоема.

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение ………………………………………………………………..3-5 стр.

1. Дифференциальные уравнения……………………………………..6 стр.

2. Классификация дифференциальных уравнений…………………..6-7 стр.

3. Методы решения дифференциальных уравнений

3.1 Метод последовательных приближений…………………………7-8 стр.

3.2Метод Рунге – Кутты…………………………………………… 8-13 стр.

4.Автомодельное решение……………………………………………14 стр.

4.1Аналитическое решение……………………………………...........15стр.

4.2Формула Кирхгофа ………………………………………………..15 стр.

5.Постановка задачи и основные уравнения………………………16- 17 стр.

6.Аналитические решения…………………………………………..18-23 стр.

Заключение ………………………………………………………….24  стр.

Список литературы ………………………………………………….25 стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Формирование ледяного покрова в водоемах и водотоках протекает в результате процессов теплообмена их с окружающей средой в осенне-зимний период года. 

Осенне-зимний ледовый и термический режимы зависят от многих факторов: географических, климатических и погодных условий, размеров и глубины водоема, скорости течения, физических свойств воды и др.

Накопленные водой за лето запасы теплоты осенью расходуются при теплообмене с атмосферой. Понижение температуры воды за этот период происходит следующим образом: при достижении 4°С вода охлаждается с поверхности без перемешивания по глубине. Дальнейшее охлаждение воды на поверхности происходит до 0°С, и она может принять даже отрицательные значения порядка -1°С. Чем спокойнее вода, тем на меньшую глубину проникает переохлаждение. В тех же водоемах и водотоках, где наблюдается интенсивное турбулентное перемешивание, обусловленное волнением и течением, переохлаждение может наблюдаться во всей толще воды. Обычно оно выражается тысячными долями градуса, достигая даже -0,1°С.

Переход переохлажденной воды в твердое состояние − лед происходит только при наличии в ней центров кристаллизации. В качестве центров кристаллизации могут выступать взвешенные частицы, находящиеся в воде, кристаллики льда или снега, поступающие в воду из воздуха, кристаллики льда, образующиеся в переохлажденной воде в результате ее движения, и т.д. Образовавшиеся в воде при ее замерзании кристаллы имеют иглообразную и пластинчатую форму. Всплывая на поверхность, они образуют пятна, напоминающие вылитый на воду жир. Поэтому такой лед называют салом. Чтобы эти кристаллы смерзлись в монолитный ледяной покров, достаточно одной безветренной ясной морозной ночи. При волнении происходит перемешивание масс воды. Процесс замерзания в этом случае растягивается на более длительный период по сравнению с периодом замерзания только при поверхностном охлаждении воды.

В водоемах и особенно на реках установление ледостава часто начинается с заберегов. По мере остывания воды водоемов и водотоков забереги растут в направлении их открытой части и в итоге смыкаются. Если же при заберегах наступит безветренная погода, то образование ледяной корки ускорится за счет смерзания в открытой части водоема плавающего сала. После образования корки льда толщиной около 0,01 м дальнейшее нарастание льда снизу обусловливается теплоотдачей на границе лед − воздух, наличием снега на льду и физическими свойствами воды и льда.

Ледяной покров на водоемах и водотоках может образоваться также при замерзании шуги. Внутриводный лед − это кристаллы льда, образовавшиеся во всей толще переохлажденной воды, а донный − скопление (примерзание) внутриводного льда на дне и на находящихся в воде предметах.

 Длительность  процесса замерзания водоемов  и водотоков или продолжительность формирования ледяного покрова определяется соотношением между теплоотдачей с водной поверхности и интенсивностью турбулентного перемешивания водных масс. Характеристикой этого соотношения является параметр количества теплоты, выделяющееся при кристаллизации переохлажденной воды объемом на глубине z.

При малых значениях коэффициента , λ т.е. при относительно слабом турбулентном перемешивании воды ( λ < 1), основное количество теплоты при ее кристаллизации выделяется в поверхностном слое. Это условие отвечает спокойному и быстрому замерзанию водоемов, происходящему путем образования на поверхности воды ледяной корки. При больших значениях коэффициента турбулентной теплопроводности ( λ > 1), т.е. интенсивном перемешивании воды, характер распределения теплоты  по всей глубине приближается к равномерному. Это условие отвечает образованию льда во всей толще воды, а также появлению донного льда.

Таким образом, характеристикой распределения теплоты по глубине можно воспользоваться для решения вопроса о вероятности образования преимущественно поверхностного или внутриводного льда, а также для оценки периода замерзания водоема в зависимости от теплоты Р0 в поверхностном слое. 

Вследствие того что лед обладает меньшей плотностью, чем вода, он образует в зимнее время года на поверхности воды плавучий покров, предохраняющий реки и водоемы от замерзания и защищает от гибели все живущие в них существа.

Основным показателем, определяющим рост льда, является продолжительность отрицательных температур воздуха. Чем больше эта величина, тем больше при прочих равных условиях толщина льда. Это одно из основных условий, определяющих развитие ледяного покрова.

Цель: изучение автомодельного решения уравнения в частных производных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Дифференциальные уравнения.

Уравнение для определения функции называют дифференциальным, если в нем участвуют дифференциалы или производные искомой функции. Таким образом, дифференциальное уравнение учитывает не только величину искомой функции, но и поведение ее (прежде всего скорость изменения в том или ином направлении) в бесконечно малой окрестности рассматриваемого, значения аргумента.

     Решением дифференциального уравнения называют функцию, заданную на связном множестве и обращающую дифференциальное уравнение/в тождество. Характерной особенностью дифференциального уравнения является то, что каждое уравнение определяет сразу" целое семейство решений, зависящее от некоторой совокупности числовых или функциональных параметров.

Дифференциальное уравнение обычно выражает некоторый общий закон, которому подчиняется бесконечное множество конкретных процессов. Для выделения конкретного процесса, которому соответствует отдельное решение дифференциального уравнения, указываются дополнительные условия — начальные и граничные| называемые в совокупности краевыми.

2. Классификация дифференциальных уравнений.

Существуют два основных типа дифференциальных уравнений: обыкновенные, определяющие функции одного переменного, и в частных производных, в которые входят производные от искомой функции по нескольким переменным.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, участвующей в уравнении.

 Дифференциальное уравнение  имеет нормальную форму, если оно разрешено относительно старшей производной. В противном случае форма дифференциального уравнения считается общей. К отдельному виду относятся линейные дифференциальные уравнения.

Аналогично классифицируются системы дифференциальных уравнений.

3. Методы решения дифференциальных уравнений

3.1 Метод последовательных приближений

Этот метод, имеющий в основном теоретическое значение, изложим сначала применительно к задаче Коши

         (3.1)

 

Для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка. Предполагаем, что функция  удовлетворяет всем условиям теоремы Коши о существовании и единичности решения задачи Коши.

Идея метода последовательных приближений изложена, по существу, в самом доказательстве этой теоремы. Пусть – решение ОДУ в (3.1). подставив этот решение в (3.1), после интегрирования с учетом начального условия получим равенство

              (3.2)

Далее, заменив в подынтегральном выражении неизвестную функцию на найдем первое приближение

Аналогично находим второе приближение

и т.д. Для n-го приближения будем иметь

      (3.3)

В ходе доказательства теоремы Коши установлено, что при каждом последовательность имеет пределом решения задачи Коши (1.1), т.е.

 

                 

Метод последовательных приближений можно также применить и к задаче Коши

         (3.4)

для нормальной системы ОДУ вида (1.4). Нулевое приближение соответствует , а последующее приближения ( находят по формуле

 

При этом под интегралом от векторной функции понимают матрицу столбец вида

Этот метод применим и к задаче Коши для ОДУ n-го порядка, если это уравнение предворительно представить в виде нормальной системы ОДУ.

 

Метод Рунге – Кутты

Построение метода численного решения задачи (3.1) Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка можно провести формальным путем. Рассмотрим один из частичных отрезков разбиения отрезка на N равных частей с шагом сетки Предположим, что известна ордината точки искомой интегральной кривой x(t) для задачи (3.1) Коши в узле сетки являющимся левым концом частичного отрезка Будем искать приближенное значение ординаты, соответствующей правому концу этого отрезка в узле , виде

 

где

 

 

 

………………………………………………                 (3.6)

 

Число и коэффициенты ) выбирают, но одно из основных соображений связано с желанием повысить точность рабочей формулы (3.5). Эта формула характеризует метод, названный по имени немецких математиков К.Д.Т. Рунге (1856-1927) и В.Кутте (1867-1944) методом Рунге – Кутте.

Пусть (t) – точное решение задачи (3.1) Коши, а приближенное значение ординаты интегральной кривой для ОДУ в (3.1), проходящей через точку найденное из (3.5) в узле при условии, что . Ясно, что в этом случае разность

 

Называемая погрешностью метода на шаге, будет функцией шага h.

 

Предположим, что функция в (3.1) дифференцируема s+1 раз в области изменения своих аргументов. Тогда согласно 3.5) и (3.6), столько же раз можно дифференцировать по h и функцию Представим ее в окрестности точки  h=0 формулой Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа.

 

В

В этой записи принято, что при .

Задачу подбора коэффициентов ), обеспечивающего повышение точности рабочей формулы (3.5) теперь можно сформулировать так: при заданном найти такое сочетание значений этих коэффициентов, чтобы при наибольшем возможном в (3.5) было выполнено условие

В этом случае погрешность метода на шаге будет определять в (3.8)лишь остаточный член, пропорционально сомножителю . Степень s+1 этого сомножителя называют порядком точности метода на шаге. Поскольку погрешность возникает а каждом шаге, то при  N  вычислениях на отрезке суммарная погрешность будет пропорциональна т.е. порядок s точности метода на отрезке будет на единицу меньше, чем на шаге.

Ясно, что при m=1 (3.5) переходит в т.е. метод ломанных Эйлера можно рассматривать как частный случай метода Рунге –Кутте. В этом случае, согласно (3.5) – (3.7), имеем и

 

Отсюда при h=0 получаем и учитывая, что

 =

 

А также

 

 

Поскольку в общем случае то в соответствии с (3.8) устанавливаем, что метод ломанных Эйлера имеет второй порядок точности на шаге и первый порядок точности на отрезке, причем погрешность этого метода на шаге будет

При  m=2 из (3.5) и (3.6) с учетом условия следует

                                                 (3.9)

 

 

В этом случае, согласно (3.7), будем иметь

.

 

Обозначим ,     ,

Трижды продифференцируем функцию

=

=

=

Где использованы обозначения .

Учитывая, что для ОДУ в (3.1)

 

Подставим в выражения и ее производных значение h=0 и получим

 

;

 

 

Равенство для произвольной дифференцируемой функции при условиях

 и        (3.10)

Выполнение условий (3.10) обеспечивает при использовании (3.9) третий порядок точности на шаге и второй – на отрезке.

Если принять , то из (3.10) найдем , что соответствует рабочей формуле ))-метод Эйлера-Коши. Если же взять

Т.е. придем к рабочей формуле усовершенствованного метода ломанных. Таким образом, эти метода имеют второй порядок точности на отрезке.

Задавая различные значения параметра  , можно построить так называемое однопараметрическое семейство методов Рунге- Кутте, имеющих второй порядок точности на отрезке. Увеличить порядок точности при m=2 путем выполнения равенства в общем случае не удается. Например, для ОДУ при любых значениях имеем Поскольку главная часть погрешности этого семейства методов, согласно (3.8) равна в некоторых конкретных случаях эту величину можно уменьшить, пользуясь полученным выражением . Так, если для некоторого класса ОДУ мала величина целесообразно подобрать коэффициенты так, чтобы помимо выполнения условий (3.10) в выражении обратились в нуль первые три слагаемых, т.е. были бы выполнены равенства.

1-3=0,    1-3   1-3

Несложно убедиться, что всем этим условиям удовлетворяют значения , что приводит к рабочей формуле (.

Из семейства методов четвертого порядка точности на отрезке, получаемых при m=4, наиболее часто используют вариант, приводящий к рабочей формуле

                  (3.11)

Отметим, что если правая часть ОДУ в 3.1) не зависит от х, то обе последние формулы переходят в формулу Симпсона

Для отрезка длиной h, имеющую пятый порядок точности на шаге и четвертый на отрезке длиной

Рабочие формулы метода Рунге- Кутты несложно записать применительно к решению задачи Коши для нормальной системы ОДУ.