Задачи по "Теории вероятностей"

Задача 18.4

Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по 3 ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События: А={первый ящик пустой}, В={в каждый ящик попало по одному шару}, С={все шары попали в один ящик}. Построить множество элементарных исходов Ω по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

Решение

Определение 1. Пространством элементарных исходов Ω («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного опыта, из которых в опыте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой Ω.

Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества Ω. Говорят, что в результате опыта произошло событие А⊆Ω, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество А.

Составим пространство элементарных исходов. В результате данного эксперимента любой шар может попасть в любой ящик, при том, в каждый ящик может попасть необязательно один шар.

Тогда:

Ω = – пространство элементарных исходов опыта.

Рассмотрим событие А. Из пустоты первого ящика следует, что любой шар лежит либо во втором, либо в третьем ящике.

A =

Рассмотрим событие В. Из того, что в каждый ящик попало по 1 шару, следует, что каждое из чисел принадлежит множеству , при том все числа различны.

B =

Рассмотрим событие С. Из того, что все шары попали в один ящик, следует, что все номера в наборе равны, и, по условиям опыта, принадлежат множеству

С =

 

Ответ:

Ω=

 

A=

 

B=

 

С=

 

Задача 18.19

Показать, что

а) если А⊂В, то выполняются соотношения: АВ=А, А+В=В (1);

б) из справедливости любого из соотношений (1) следует, А⊂В.

Решение

Соотношение А⊂В значит, что событие А влечет за собой событие B. Т.е. событие В происходит каждый раз, когда происходит событие А.

а) Докажем выполнение соотношения АВ=А, где АВ – есть произведение событий А и B. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий А и В (логическое «и»).

Доказательство. Рассмотрим некоторый элементарный исход Тогда и (логическое «и»). Именно принадлежность множеству А нам и требовалось доказать в этой части. Теперь пусть . Тогда, поскольку событие А влечет за собой B, то Итак, и одновременно, т.е. Равенство доказано.

Докажем выполнение соотношения А+В=В, где А+В – сложение событий А и B. Это событие, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из событий А или B (логическое «или»).

Доказательство. Рассмотрим некоторый элементарный исход Тогда или (логическое «или»). В случае , вследствие соотношения А⊂В, , т.е. первая часть доказана. Теперь пусть элементарный исход , тогда . Равенство доказано.

 

б) Доказательство. Рассмотрим соотношение АВ=А. Возьмем некоторый элементарный исход . Т.к. А=AB, то . Мы получили, что если то . Теперь рассмотрим соотношение А+В=В и так же возьмем элементарный исход . В силу выполнения указанного соотношения, , что и требовалось доказать.

 

Задача 18.34

Очередной посетитель входит в зал музея, где уже собралось 2n человек, и начинает отыскивать знакомых среди собравшихся. Интересующие нас события: A = {среди собравшихся найдется n человек, знакомых посетителю}, A = {среди собравшихся найдется n человек, не знакомых посетителю}. Доказать, что события A+B и достоверные.

Решение

Определение. Достоверным событием в теории вероятностей называется событие, которое в результате опыта или наблюдения непременно должно произойти, т.е. это множество всех элементарных исходов опыта .

 

 

В результате данного эксперимента мы получаем элементарный исход Тогда и

 А = , B = .

Поскольку A+B = , то A+B – достоверное.

Теперь рассмотрим событие . A-B = A (т.к. в них нет совпадающих элементарных исходов). В свою очередь А = , ибо A+B = Получим + Следовательно, событие – достоверное.

 

Задача 18.49

Пусть А – произвольное наблюдаемое в некотором эксперименте событие такое, что и . Показать, что система множеств {А, } образует разбиение

 

Решение

 

Определение. Разбиение множества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств.

А по условию, а поскольку .

Необходимо показать, что и не пересекаются. Это напрямую следует из того факта, что .

А из того, что и не пересекаются следует, что .

Таким образом, {А, } образует разбиение

 

Задача 18.64

 

Показать, что для трех наблюдаемых в эксперименте событий A, B, C справедлива следующая формула сложения вероятностей:

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC).

 

Решение

Известно, что для двух событий A и B, наблюдаемых в эксперименте справделива формула P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). Положим в данной по условию формуле B + C = D. Тогда

 P(A + D) = P(A) + P(D) – P(AD) = P(A) + P(B+C) – P(A(B + C)) = P(A) + P(B) + P(C) – - P(BC) – (P(AB) + P(AC) – P(ABC)) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC).

 

Задача 18.79.

Из десяти первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из 5 букв. Найти вероятность следующих событий: А = {в состав нового алфавита входит буква а}, В = {в состав нового алфавита входят только согласные буквы}.

Решение

Найдем вероятность события А = {в состав нового алфавита входит буква а}.

Занумеруем буквы от А до И числами от 1 до 10:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А	Б	В	Г	Е	Ё	Ж	З	И	К

 

Определим элементарное событие:

, где – неупорядоченный набор чисел, соответствующих буквам.

Введенные элементарные исходы равновероятны и образуют группу несовместных событий.

В эксперименте производится выбор из 10 элементов по 5. Таким образом, общее число исходов эксперимента N() = = 252.

Событие A =

Таким образом, число исходов, благоприпятствующих событию А равно числу сочетаний из 9 элементов по 4 (так как на первом месте в наборе всегда 1, то есть буква А).

N() = =126

Поскольку элементарные исходы равновозможны и образуют группу несовместных событий, вероятность события А:

 

Найдем вероятность события B.

B =

Т.е. событию B удовлетворяют только такие исходы, когда новый алфавит составляют исклюичтельно согласные. Число этих исходов равно числу сочетаний из 6 элементов по 5:

N() = =

Аналогично событию А, вероятность B:

 

Ответ:

 

 

Задача 18.94

n человек входят в комнату, где имеется всего m стульев (m ≤ n), и рассаживаются случайным образом, но так, что все стулья оказываются занятыми.

А) показать, что число всех способов рассадки определяется формулой

N(Ω) =

Б) Какова вероятность того, что 2 определенных лица окажутся без места?

В) Какова вероятность того, что k определенных лиц будут сидеть (k ≤ m).

Решение

Пункт А: 

Эксперимент состоит в том, что мы выбираем одного человека без возвращения и сажаем его на стул. Затем выбираем 2-го и т.д. до тех пор, пока все стулья не окажутся заняты.

Т.е. при выборе первого у нас есть n вариантов, второго – n - 1, 3-го – n - 2 и так до (n – m + 1). Таким образом общее число вариантов N(Ω) = n

Пункт Б:

В случае, если n = m + 1, вероятность P(B) = 0, что очевидно, поскольку не достанется места лишь одному человеку, следовательно, число удовлетворяющих событию исходов равно 0.

Рассмотрим теперь случай n > m + 1. Элементарный исход , где – размещение, соотвествующее тому, что на первом стуле сидит человек, на втором - и т.д. Введенные элементарные исходы равновозможны, и их множество образует группу несовместных событий.

Поскольку мы имеем дело с размещениями из n по m, то общее число исходов

 

Опишем событие

Благоприпятствуют нашему событию такие исходы, когда конкретные 2 человека не вошли в размещение. Т.е. исключим их число из n, они не участвуют в рассадке. Тогда получим

В силу того, что элементарные исходы равновозможны и несовместны, найдем вероятность события А:

 

Пункт В.

Переформулируем эту задачу следующим образом: у нас есть n-m «стоячих» мест, на которые не должно попасть k людей. Тогда эта задача аналогична задаче Б, в которой k = 2, число стульев равно n-m, а число людей по-прежнему осталось n.

Аналогично пункту Б:

Введем событие B

Тогда, аналогично пункту Б:

 

Тогда, поскольку так же, как и в пункте Б элементарные исходы равновозможны и несовместны

Ответ:  

 

 

Задача 18.109

В условиях задачи 18.80 найти вероятность события D={будут выбраны: 1 первокурсник, 2 второкурсника и 2 третьекурсника}.

 

18.80. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на предстоящую конференцию. Найти вероятность следующих событий: А={будут выбраны одни третьекурсники}, В={все первокурсники попадут на конференцию}, С={не будет выбрано ни одного второкурсника}.

 

Решение

Элементарный исход соответствует неупорядоченному выбору 5 студентов 3 классов – первокурсника(п), второкурсника(в) или третьекурсника(т). Введенные элементарные исходы равновозможны и образуют группу несовместных событий. Теперь опишем событие D = .

Вероятность выбора первокурсника – 3/15, двух второкурсников – 5/14 и 4/13, двух третьекурсников – 7/12  и 6/11. Поскольку нам не важно, в какой последовательности выбирать, нужно учесть, что число перестановок в нашем множесте будет = 30 (число перестановок в множестве 5!, а также 2 подмножества по 2 студента одного класса можно упорядочить 2! способами).

Тогда, в силу равновозможности и несовместности элементарных исходов

Ответ:

 

Задача 18.124

На заводе работает 30000 рабочих и служащих. Показать, что на данном заводе обязательно найдутся хотя бы 2 человека с одинаковыми инициалами имени, отчества и фамилии.

 

Решение

В алфавите 33 буквы, но ни фамилия, ни имя, ни отчество не могут начинаться на «Ъ» и «Ь». Значит, букв остается всего 31. Общее число вариантов , что меньше 30000. Значит, хотябы у двух людей совпадают инициалы фамилии, имени и отчества.

 

Задача 18.139

Внутри квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1) наудачу выбирается точка М(x,y). Найти вероятность события А={(x,y)|x2+y2 ≤ a2, a>0}.

Решение

Рассмотрим 3 случая:

Случай ) :

Событию А соответствует область, закрашенная красным цветом.

Поскольку закрашенная область и есть наш квадрат, то всегда, попадая в него, мы попадаем в данную область. Значит, если , то P(A) = 1.

Теперь случай :

Нас, опять же, интересует закрашенная область. Ее площаь, как площадь четверти круга с радиусом a равна S = . Площадь же области, куда мы можем попасть, т.е. области квадрата, равна 1. Значит, геометрическая вероятность события А P(A) = = .

 

Теперь самый интересный случай:

Найдем площади частей окружности, которые не попали внутрь квадрата. Очевидно, что они будут равны. Для нахождения одной из площадей воспользуемся определенным интегралом S = . Вычитая из площади четверти круга 2S, получим площадь закрашенной области S(A) = . Таким образом, геометрическая вероятность P(A) = =  , поскольку

 

Задача 18.154.

На отрезке длины L наудачу выбираются две очки М1 и М2. Определить вероятность того, что из полученных трех отрезков можно построить треугольник.

Решение

Из неравенства треугольника следует, что каждый из отрезков должен быть меньше суммы двух других. Пусть координата первой точки – х, второй – y. Тогда мы можем вместо двух точек на отрезке выбирать одну точку внутри квадрата со стороной L.

Из неравенства треугольника следует, что длина кажого из отрезков меньше L/2.

Т.е. для выполнения события требуется выполнение либо , либо

 

 

Рассмотрим упомянутый выше квадрат со стороной L и отметим на нем области, которые блаприпятствуют событию, т.е. удовлетворяют неравенствам выше:

Итак, нам подходят закрашенные треугольники. Сумма их площадей равна

Общая площадь квадрата равна . Таким образом, вероятность события, указанного в условии равна = .

Ответ:

 

Задача 18.169

Подбрасывают наудачу 3 игральные кости. Наблюдаемые события: A={на трех костях выпадут разные грани}, В={хотя бы на одной из костей выпадет шестерка}. Вычислить P(B|A) и P(A|B).

Решение

Элементарный исход данного опыта