Задачи по "Теории вероятностей"

 

 

 

 

Найдем общее количество исходов:

В событии А нам сопуствуют такие исходы, когда на первой кости есть выбор из 6, на второй - из 5, на третьей – из 4 граней. Т.е.

Тогда, поскольку введенные элементарные исходы и несовместны, вероятность .

Во втором случае нас устроит, когда на первой грани выбрана 6 или на второй 6 или на третьей 6. Т.е.

Теперь рассмотрим событие АB. Нам подходят исходы, в которых на одной из позиций стоит 6, а на 2х других – не повторяющиеся числа. Следовательно вариантов размещения чисел на этих двух позициях . Тогда вероятность .

 

По формуле условной вероятности ,

 

 

Задача 18.184

Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина?

Решение

Гипотеза H1 состоит в том, что наудачу выбранное лицо – мужчина, H2 состоит в том, что выбранное лицо – женщина. P(H1) = P(H2) = 0,5 поскольку мужчин и жещин прибыло одинковое количество. Событие A состоит в том, что наудачу выбранное лицо является дальтоником. P(A| H1) = 0,05 по условию, P(A| H2) = 0,0025 так же по условию. Посчитаем полную вероятность события А. .

Теперь, согласно формуле Байеса, найдем

Ответ: 0,095

 

Задача 18.199

Наудачу подбрасывают две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А = {сумма выпавших очков четна}, B = {произведение очков четно}, С = {на одной из костей число очков четно, а на другой нечетно}, D = {ни на одной из костей не выпало 6 очков}.

Решение

Элементарный исход данного опыта

Общее число элементарных исходов

Веротность того, что на одной из костей выпадет четное число очкой – ½ , поскольку ровно половина очков на кости четна.

Событие А выполняется тогда, когда на на обоих костях либо четное количество очков, либо нечетное. Поскольку количество очков на одной кости не зависит от количества очков на другой, а элементарные исходы несовместны, мы можем складывать и умножать вероятности, чтобы найти вероятность события А:

Событие B выполняется тогда, когда на одной из костей выпало четное количество очков, при этом нам все равно, что на второй кости. Вероятность события B:

Рассмотрим событие С. С = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (1, 2), (3, 2), (5, 2)}. Значит,

Следовательно, в силу равновозможности и несовместности элементарных исходов

Рассмотрим событие D. . Значит,

Тогда, опять же, в силу равновозможности и несовместности элементарных исходов

 

Задача 18.214

Иван и Петр поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Иван бросает первым. Найти вероятности P1 и P2 выигрыша для каждого из игроков, считая, что бросание монеты может продолжаться неограниченно долго.

Решение

Событие А состоит в том, что выиграл Иван. Событие B состоит в том, что выиграл Петр. События несовместы(игра прекращается, когда кто-то выиграл) и их система полна, т.е. P(A) + P(B) = 1, поскольку бросание монеты может продолжаться неограниченно долго.

Вероятность события А при первом броске составляет , при третьем - поскольку для этого необходимо, чтобы в первом броске Иван не выиграл, во втором- не выиграл Петр, и, наконец в третьем броске выпал герб. При пятом броске будет 5 множителей и т.д. Мы можем сложить вероятности, поскольку события несовместны и независимы. Получим сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Значит,

 

Поскольку , то

 

Задача 18.229

При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% - вторую, 20,9% - третью и 7,9% - четвертую группу крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

 

Решение

 

Введем гипотезы

H1 = {у больного 1-ая группа крови}. По условию P(H1) = 0,337.

H2 = {у больного 2-ая группа крови}. По условию P(H2) = 0,375.

H3 = {у больного 3-я группа крови}. По условию P(H3) = 0,209.

H4 = {у больного 1-ая группа крови}. По условию P(H4) = 0,079.

Событие A = {больному можно перелить кровь случайного донора}

Если больной первой группы, то вероятность, что ему можно перелить перелить кровь случайного донора

P(A| H1) = 0,337 поскольку среди населения 33,7% имеют первую группу.

P(A| H2) = 0,337 + 0,375 = 0,712 (можно перелить кровь либо первой группы, либо во второй, при том события эти несовместны, так что можно воспользоваться сложением)

Аналогично

P(A| H3) = 0,337 + 0,209 = 0,546

P(A| H3) = 0,337 + 0,209 = 0,546

P(A| H4) = 1, поскольку четвертой группе можно перелить любую группу крови.

 

Полная веротяность события А:

Ответ:

 

Задача 18.244

Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Надежность(вероятность безотказной работы в течение времени Т) первого узла равна 0,9, второго – 0,8. За время испытания прибора в течение времени Т зраегистрирован отказ прибора. Найти вероятности следуюзих событий: А1 = {отказал только первый узел}, А2 = {отказали оба узла}.

 

Решение

Вероятность того, что первый узел отказал, второй – работает: 0,08

Второй – отказал, первый работает: 0,18

Оба отказали : 0,02

Таким образом, в любом из этих случаев устройство не работает. Вероятность того, что оно не работает: P(B) = 0,02 + 0,18 + 0,08 = 0,28.

Условная вероятность, что устройство не работает и из строя вышел только первый узел: B) = =

Условная вероятность, что устройство не работает и из строя вышли оба узла:

  B) = =

Ответ: