Значение математики

1. ПРИНЦИП МЕТОДА ГАУССА

 

Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера иматричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

Метод Гаусса обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

• во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

• во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

• в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

 

2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ

 

Задание. Решить СЛАУ   методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент   равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на   ):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

Умножив третью строку на   , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент   , для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

    или    

Ответ. 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, и с помощью несложных математических преобразований она приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек, отсекает нули: 

 

   На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.  
   Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений.

Существуют решения различных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, из их решений можно сделать следующие выводы:

• Если в процессе прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид  , где   - некоторое число, отличное от нуля, то система несовместна.

• Если в конце прямого хода метода Гаусса мы получаем систему, число уравнений в которой совпадает с числом неизвестных переменных, то система совместна и определена, то есть, имеет единственное решение, которое определяется при проведении обратного хода метода Гаусса.

• Если после завершения прямого хода метода Гаусса в полученной СЛАУ число уравнений меньше числа неизвестных переменных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений, которые находятся при обратном ходе метода Гаусса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

1. Электронная страница: http//ru.wikipedia.org
2. Крош А.Г. /Курс высшей алгебры/– М., 17-21 с.
3. Тыртышников Е.Е. /Матричный анализ и линейная алгебра/ – М., 2005г.
4. Устинов С.М., Зимницкий В.А. /Вычислительная математика// Учебное пособие – Спб., 2009г.