Золотое сечение, число «φ» и последовательность Фибоначчи

 

 

Содержание:

 

 

Введение ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3

1. Фибоначчи. Что или кто это?

Леонардо Пизанский  «Фибоначчи» ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 4

Числа и последовательность Фибоначчи ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 5

2. Число «φ» и немного золота

«Золотая середина» ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 6

 Фидий. Скульптор и художник. Нет, всё-таки скульптор ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 8

Драгоценный - «Золотой» треугольник ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10

3. Мир не так прост

Символика и обозначения ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 12

Сажень тоже не останется без внимания ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 14

 Что показывает практика ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 18

4. От золотой пропорции к её «производным» ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 23
5. Заключение∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 28
6. Список используемой литературы ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии  освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную и эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого косвенного представления о математике                                         

                                                  НОРБЕРТ ВИНЕР

 

Перечитывая в очередной  раз, пожалуй, самый известный и читаемый блокбастер 2006 года «Код да Винчи», я обратил своё внимание на то, чего ранее не замечал. А именно на число «φ»,  на последовательность Фибоначчи и на так называемое Золотое сечение. Именно об этом и будет мой рассказ.

Углубляться в раскрытие  темы чисел Фибоначчи я не стал. А вот число «φ» и Золотое сечение мы рассмотрим подробно. Значение числа «φ» и Золотого сечения достаточно велико, что бы уделить ему должное внимание. Можно сказать, что огромно.  Оно используется сейчас и использовалось намного раньше. Фидий, Марк Витрувий, Леонардо да Винчи, даже древние греки и египтяне использовали его. Применяли в строительстве и архитектуре, но главным образом в искусстве: в музыке, в литературе и в особенности в живописи.  А сейчас на эту «божественную пропорцию» остаётся огромный спрос в современной компоновке фотографий, киносъёмке, компьютерном изображении человека. Всё, что связанно с идеалом, так или иначе, пересекается с этой темой.

Разгадать загадки строения мира я вам не обещаю. Но Вы попытаетесь понять, какую, же всё-таки роль играет число «φ» и Золотое сечение, в вышеперечисленных областях. Попробуете открыть для себя чудесные свойства этой «математической игры». Посмотрите на математику, как на искусство, а на искусство, как на математику. Ну и, конечно же, узнаете много нового и интересного. А главное разберётесь с тем, о чём раньше и не предполагали.

В свою очередь я попытаюсь  наглядно показать примеры удивительной пропорциональности человека и природы. Раскрыть взаимосвязь цифр и искусства. И доказать, что математика, сыграла и играет до сих пор большую роль в остальных сферах жизни, отличных от неё.

Для начала я расскажу вам  о цифрах, последовательности и о  самом Леонардо Пизанском, более  известном под прозвищем Фибоначчи.

 

 

 

 

 

Фибоначчи. Что или кто  это?

_Л

 еонардо Пизанский (1180 – 1240) — первый крупный      математик средневековой Европы. Более известен под прозвищем Фибоначчи (Fibonacci) Далее я буду называть его именно так. В переводе с итальянского означает «хороший сын родился».

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже посетил  Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Фибоначчи изучал труды математиков стран ислама (таких как ал-Хорезми и Абу Камил); по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков.

Значительную часть усвоенных  им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (до наших дней сохранилась  только дополненная рукопись 1228 г.). Эта книга содержит почти все  арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книги посвящены арифметике целых  чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Фибоначчи излагает действия над обыкновенными дробями. В остальных главах этой книги не менее подробно, а главное мне кажется гениально для того времени изложены другие математические  возможности, известные ему.

«Книга абака» резко возвышается  над европейской арифметико-алгебраической литературой XII–XIV вв. разнообразием и богатством задач, подробностью и доступностью. Последующие математики широко заимствовали из неё как задачи, так и приёмы их решения.

 Ещё одна великая книга – «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220) содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими, чужими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).

В XIX веке в Пизе был поставлен памятник учёному. Хотя он и был величайшим математиком средних веков, единственные памятники Фибоначчи - это статуя напротив Пизанской башни через реку Арно. Кажется странным, что так мало посетителей к 179-ти футовой Падающей башне когда-либо слышали о Фибоначчи или видели его статую. Фибоначчи был современником Бонанна (Bonanna), архитектора Пизанской башни, строительство которой тот начал в 1174 году. Оба они сделали вклад в мировую историю, но один я имею в виду Фибоначчи, чей вклад намного превосходит другого, почти неизвестен

…Мы никогда бы не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы.

 

                                    ПЛАТОН 

 

_Ч

исла и последовательность Фибоначчи.

 

Помимо написания различных  великих алгебраических и геометрических книг, Фибоначчи сделал ещё один огромный вклад в развитие науки. Причём я считаю, что он даже и не подозревал, что его открытия будут так популярны. И помогут в дальнейшем развитии не одной, а многих сфер. Он создал одну из известнейших, великих и всеохватывающих последовательностей. Он создал последовательность Фибоначчи! Выглядит она так:

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55,  89,  144, 233,  377,  610,  987,  1597 …

Посмотрите на эти цифры внимательно. Вряд ли кто-нибудь не нашёл закономерности в этом числовом порядке. Но для тех кто её не нашёл, я покажу. В этом порядке каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Давайте проверим:

1+1=2   1+2=3   2+3=5   3+5=8   5+8=13    8+13=21   13+21=34   21+34=55   34+55=89  55+89=144   89+144=233  144+233=377  233+377=610   377+610=987  610+987=1597…

Эта последовательность родилась у Фибоначчи, как решение задачи из уже упомянутой книги «Книги абака». На стр. 123- 124 данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу:

 

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном  со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится  при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождать кролики могут со второго месяца после своего рождения.

 

Ясно, что если считать  первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц- 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц- 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц- 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д. Ничего не напоминает?

Последовательность Фибоначчи  имеет другие весьма любопытные особенности, не последняя из которых - почти постоянная взаимосвязь между числами.

 

• Отношение любого числа к предыдущему приблизительно равно 1,618. Например: 13: 8 = 1,625; 21: 13 = 1,615; 34: 21 = 1,619. Чем выше числа, тем более они приближаются к величине 1,618.
• Отношение любого числа к предыдущему за ним через одно приближается к 2,618. 34: 13 = 2,615.
• Но самое важное отношение мы рассмотрим сейчас. Отношение любого числа последовательности к следующему приближается к 0,618 (после первых четырех чисел). Например: 1 : 1 = 1; 1 : 2 = 0,5; 2 : 3 = 0,67; 3 : 5 = 0,6; 5 : 8 = 0,625; 8 : 13 = 0,615; 13 : 21 = 0,619 и т.д.

 

Давайте запомним с вами это число и ещё к нему вернёмся немного попозже.

Число «φ» и немного  золота

 

Геометрия имеет  два больших сокровища: теорему Пифагора и деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота; второе мы можем назвать драгоценным камнем»

 

                                                                                                                                   ИОГАН КЕПЛЕР

 

_З

олотая  середина

 

 Золотая середина это  одно из многочисленных названий  золотого сечения. Ещё      сечение называют золотая пропорция,  деление отрезка в среднем  и крайнем отношении, божественная  пропорция и другие. Чёткое определение  Золотой середины звучит так:  Золотое сечение – это такое  пропорциональное деление отрезка  на две неравные части, при котором весь отрезок так относиться к большей части, как большая часть относится к меньшей. Давайте посмотрим на экране более наглядный пример. Возьмём прямую С и разделим её на два отрезка a и b и так, что бы с относилось к b (при том, что b большая сторона) так же, как и b относиться к a. То есть c:b = b:a.  

Давайте рассмотрим пример из жизни. Например, если взять вместо прямой с пустую скамейку, то большинство людей сядут на эту скамейку, не в центр и не с краю (хотя есть и такие), а сядут как раз в место разделения отрезка c на a и b. Но это конечно не тонные математические данные, а только приблизительные практические опыты. И я, правда, теперь стал замечать это явление. Помните то число, которое мы нашли в последовательности Фибоначчи, 0,618? Так вот, давайте посмотрим на деление этого отрезка в золотой пропорции с алгебраической точки зрения.

Пусть, длинна некоторого отрезка, равна а, длинна его большей части равна х, тогда длинна меньшей части будет а – х. Составим пропорцию согласно приведённому определению:

а : х = х : (а –  х)

откуда 

а (а – х) = х²

Раскроим скобки и перенесём всё в одну сторону. Получим:

х² + ах – а² = 0

Решая это уравнение, мы получили корни:

 

 

 

Они являются иррациональными числами.

Так как длинна отрезка х выражается положительным числом, то из двух корней следует выбрать первый:

 

 

 

Число    иррациональное. И приблизительно равно 0,618033988. А в практических расчётах используют просто 0.618. Два независимые друг от друга математические свойства, но между ними есть сходство. Это число называется «ФИ» и обозначается греческой буквой φ. 

А чему же будет равно ? Оказывается, = 1,618… Это число обозначается той же, только заглавной буквой Φ.  Число 0,618 единственное число, которое с таким свойством. Любое деление каких-либо отрезков в соотношении 1 к 0,618 или к 1,618 считается делением золотого сечения

По одной версии это  число названо в честь Леонардо «ФИбоначчи». Про которого я уже Вам рассказывал. А подругой в честь ФИдия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И, поистине, искусство  – это наука и законное чадо природы, ибо оно порождено природой, но хранит множество тайн.