Золотое сечение, число «φ» и последовательность Фибоначчи

 

Длина грани пирамиды в  Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды -484.4 фута (147.6 м). Длина грани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Некоторые современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.

 Не только египетские  пирамиды построены в соответствии  с совершенными пропорциями золотого сечения, то же самое явление обнаружено и у мексиканских пирамид.

• Другим примером использования правила "Золотого сечения" - расположение основных компонентов кадра в особых точках - зрительных центрах, Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Человек всегда акцентирует свое внимание на этих точках, независимо от формата кадра или картины.

• Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

 

Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение  длины и ширины логарифмической  спирали молекулы ДНК несет в  себе формулу золотого сечения 1:1,618.

Сердце бьется непрерывно – от рождения человека до его смерти. Его работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации  биологических систем. Отклонения от оптимального режима вызывают различные  заболевания. А так как золотая  пропорция является одним из критериев  самоорганизации в живой природе, естественно предположить, что и  в работе сердца возможно проявление этого критерия. Нужны были глубокие исследования, и они были проведены  советским ученым В.Д.Цветковым.

 

• При работе сердца возникает электрический ток, который можно уловить специальным прибором и получить кривую – электрокардиограмму (ЭКГ) с характерными зубцами, отражающими различные циклы работы сердца. На ЭКГ человека выделяются два участка различной длительности, соответствующие систолической и диастолической деятельности сердца. В.Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная («золотая») частота сердцебиения, при которой длительности систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382 : 0,618 : 1 , т.е. в полном соответствии с золотой пропорцией. Так, например, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту, для собак – 94 , что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя.

 

• Далее В.Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно 0,382 , а диастолическое – 0,618 от среднего давления крови в аорте. Доля объема левого желудочка при ударном выбросе крови по отношению к конечнодиастолическому объему у десяти видов млекопитающих в состоянии покоя составляет 0,37-0,4 , что в среднем также отвечает золотой пропорции. Таким образом, работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочков оптимизировано по одному и тому же принципу – по правилу золотой пропорции.

 

• У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот, же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

 

 

 

 

 

 

 

 

От золотой пропорции  к её «производным»

Итак, узнав про «золотое сечение» в нашей жизни и в  жизни людей до нас. Я хочу рассказать вам о роли этой пропорции в  математике. Есть немало задач на построение «золотых» фигур и пропорций. Рассмотрим некоторые из них.

 

Как я уже говорил φ = , а Φ = . Давайте запомним эти равенства. Далее они нам пригодятся.

Рассмотри теперь один из способов деления отрезка в золотом  отношении.

Пусть дан прямоугольный  треугольник ACB с катетами a = 1 и b = 2. Найдём отношение отрезков, используя рис. 1.

, где с – длинна гипотенузы треугольника.

Вы, наверное, заметили, что последнее отношение и есть золотое сечение.

Выполним некоторые геометрические построения с помощью циркуля  и линейки:

1. Из точки B проведём окружность радиусом a = 1, которая пересечёт гипотенузу АВ в точке D, а её продолжение – в точке M; AM =
2. Из точки А проведём окружность радиусом b = 2, которая пересечёт отрезок AM в точке K. Тогда

 

Следовательно, точка K (как и точка D) делит отрезок AM в золотом отношении.

А теперь перейдём  некоторым  задачам, связанным, так или иначе, с построением отрезка длины Φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Построить отрезок длины Ф, если дан квадрат ABCD со стороной 1.

Решение. Отметим на стороне AB квадрата её середину – точку К и проведём отрезок KC. Продолжим сторону BC за точку С, а из точки М, которая является серединой отрезка ВС, проведём окружность радиусом КС. Эта окружность пересечёт луч ВС в точке N. (рис. 2)

Очевидно, что КС = , следовательно, BN =

 

Задача 2. Построить равнобедренный треугольник с боковыми сторонами равными Ф+1, и с основанием Ф, определить углы такого треугольника, и доказать, что .

Решение. Отложим отрезок АВ = 1. Из точки В восстановим перпендикуляр к отрезку АВ и от точки В отложим на нм отрезок ВС = 1. Разделим отрезок АВ пополам и обозначим его середину О. Соединим точки О и С, длинна отрезка ОС. Из точки О проведём окружность радиусом ОС, пересекающая луч АВ в точке D, AD=Ф. На рис. 3 показан треугольник со сторонами АС = Ф, АЕ = ЕС = 1 + Ф. Медиана ЕО треугольника АСЕ является одновременно его биссектрисой и высотой. Тогда 

Найдём значение выражения и градусную меру угла ЕАС: она равна 72°. В данном случае <ЕАС = <ЕСА = 72° и <АЕС = 36°

Осталось доказать что Ф² = Ф + 1. Сделать это нетрудно, выполнив необходимые операции:

 

 

Следовательно, Ф² = Ф + 1  ч. т. д.

 

 

Задача 3. Доказать, что

Решение. Из точки М на стороне АЕ (АМ = 1) проведём прямую, параллельную АС, которая пересечёт сторону СЕ в точке К, АК – биссектриса угла ЕАС (рис. 3).

Четырёхугольник АМКС – равнобедренная трапеция, а ММ₁ и КК₁ – её высоты. Не трудно заметить, что ∆АММ₁ = ∆СКК₁ и АМ₁ = К₁С = . Но тогда АК₁ = . Треугольник АКК₁ прямоугольный и АК = АС = Ф. Тогда

 

 В задаче 2 было доказано, что Ф² = Ф + 1, тогда cos 36° . Учитывая, что 36° = радиан, получаем cos , или 2 cos . Итак мы доказали красивое соотношение между двумя значимыми числами π и Ф.

 

Задача 4. В треугольнике АЕС (рис. 3) построить отрезки длины 1/Ф, 1/Ф², 1/Ф³ и т. д.

Решение. Построим биссектрису ML угла EMK и через точку L проведём прямую LN || MK. В треугольнике MLN углы равны 36°, 36°, 108°, а углы треугольника MKL равны 36°, 72°, 72°. Из треугольника KML определим длину отрезка LK, использую теорию синусов:

 

 

 

Если продолжить посторенние  биссектрис углов GNL, OGP, и т. д., то основания получающихся равнобедренных треугольников NPL, GHP, и т. д. будут равны 1/Ф², 1/Ф³ и т. д

Задача 5. В полукруг вписан квадрат ABCD со стороной 1. Вычислить отношение MC : BC (рис. 4)

Решение. По условию, ВС = 1, тогда ОС = ½ , R = √5 / 2;

 

 

Отношение MC / MB = (√5 + 1) / 2 и отношение BC / MB = 1 /    = 

Как видим, найдена золотая пропорция MC / BC = BC / MB = Ф. Такие чисто геометрические расчёты для построения золотого сечения весьма часто встречаются в памятниках архитектуры Средней Азии.

А приёмы, использовавшиеся зодчими Востока при построении архитектурных форм, я разберу  в следующих задачах.

Задача 6. С помощью циркуля и линейки построить прямоугольник с отношением

сторон 1 /

Решение. Поделим отрезок АВ точкой С в отношении золотого сечения. Из точки А восстановим перпендикуляр АК к отрезку АВ. Из точки А проведём окружность радиуса АС. Она пересечёт перпендикуляр АК в точке D. Последующие построения очевидны. Они завершают чертёж прямоугольника ABED (рис. 5), отношения сторон которого 1 /

Задача 7. Построить прямоугольник с отношением сторон 1 / 

Решение. Проводим отрезок  АВ = 1, точкой С делим его в золотом отношении

(АС / ВС = ВС / АВ). Тогда АС = 1 (рис. 6). Продолжим отрезок АВ за точку А, и из точки А проведём окружность радиусом АС. Из точки В восстановим перпендикуляр ВМ к АВ. Строим окружность с центром в точке В с радиусом .

Окружность пересекает перпендикуляр ВМ в точке Е, длина стороны ВЕ прямоугольника АКЕВ равна

Задача 8. Дан прямоугольный треугольник . C помощью циркуля и линейки достроить основание АВ данного треугольника так, чтобы получившийся отрезок был больше АВ на число φ = .

Решение. Делим отрезком АВ точкой С в отношении (рис. 7). Далее находим точку О – середину отрезка АС = . Затем из точки А проводим окружность радиусом 

Из точек А и В как из центров проводим окружность радиусом, равным АО. Эти окружности пересекают прямую АВ в точках M и N.

Сумма длин отрезков AM + BN = 2 , а длинна отрезка MN = 1 + , что больше отрезка АВ на длину φ. Если ещё поделить отрезок АВ пополам точкой S и из неё провести окружность радиусом , то она также пересечёт продолжение отрезка АВ в точках M и N. Последнее построение завершает красивую симметричную композицию.

 

Ещё в древности было замечено, что золотая пропорция тесно  связана пятиугольниками. Самый  известнейший пример – это пятиконечная звезда. Про её принадлежность к  золотому сечению я уже рассказывал. Но я покажу, как среднеазиатские  древние мастера выполняли построение правильного пятиугольника.

 

Задача 9. Построить правильный пятиугольник по данной стороне АВ = 1

Решение. Находим на отрезке АВ точку С золотого сечения. Из точки В как из центра проводим окружность радиусом BC, которая пересекает продолжение отрезка АВ в точке D. Строим две окружности с центрами в точках A и В радиусом AD = 1 + .

Одна из точек пересечения – точка Е, третья вершина прямоугольника. Далее из точки В чертим окружность радиусом АВ. Она пересекается с предыдущей окружностью в точке N, четвёртой вершине пятиугольника. Из точек А и Е проводим окружности, радиусы которых равны длине отрезка АВ (стороне правильного пятиугольника). Две последние окружности пересекают в пятой вершине К пятиугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

 

 

На этом я хочу закончить  тему Золотого сечения. Я надеюсь, что  смог доказать вам, важность и актуальность этой темы.

Великому астроному  XVI в. Иоганну Кеплеру принадлежат слова: «Геометрия имеет два больших сокровища: теорему Пифагора и деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота; второе мы можем назвать драгоценным камнем». Вы уже слышали эту мысль, как эпиграф одной из моих предыдущих тем. Остаётся добавить, что золотая пропорция престала быть сокровищем одной лишь геометрии. Исторические примеры и современная научная мысль показывают, что золотая пропорция – это универсальная мировая константа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

 

1. А. В. Волошинов, «математика и искусство»
2. С. Кобаль, «От развлечения к знаниям»
3. http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Золотое_сечение
5. http://www.photoline.ru/tcomp1.htm
6. http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/
7. http://images.yandex.ru
8. О. Б. Вергазова, «Золотая пропорция: от древнерусских саженей до современного дизайна». Статья из научного журнала.
9. Р. Сабаш, «Ещё раз о золотом сечении». Статья из научного журнала
10. А. И. Азевич, «От золотой пропорции к её <span class="No_0020Spacing__Char" style=" font-family: 'T