Финансовая математика: предмет, принцип «временной стоимости денег», виды процентных ставок

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

 

n = (FV - PV) : (PV • i),

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:

t = [(FV - PV) : (PV • i)] • T.

Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

· срок ссуды:

n = [log (FV / PV)] / [log (1 + i)] = [log (FV / PV) ] / [log(1 + j / m)m ];

· ставка сложных процентов:

Пример. Что выгоднее: увеличение вклада в три раза за три года или 46% годовых?

Решение:

Такого рода задачи приходится решать не только лицам, занимающимся финансовой работой, но и населению, когда решается вопрос о том, куда выгоднее вложить деньги. В таких случаях решение сводится к определению процентной ставки:

Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.

13. Расчет срока кредита:

- при дисконтировании  по сложной годовой учетной  ставке,

- при дисконтировании  по номинальной учетной ставке m раз в году.

14. Расчет процентной ставки:

- при наращении  по сложной годовой ставке %,

- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,

- при наращении  по постоянной силе роста

15. Расчет процентной ставки:

- при дисконтировании  по сложной годовой учетной  ставке,

- при дисконтировании  по номинальной учетной ставке m раз в году

16. Эквивалентность простых процентных и простых учетных ставок

Эквивалентные процентные ставки – ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Процедура нахождения эквивалентных ставок:

1) Выбирается  величина, которую легко рассчитать при использовании различных процентных ставок, обычно FV;

2) Приравниваются 2 выражения, то есть составляют  уравнение эквивалентности;

3) Преобразуя, выражают одну процентную ставку  через другую.

Пример :

iкв =3%;

iгод -?

а) простые ставки процента, уравнение эквивалентности:

б) сложные ставки процента, уравнение эквивалентности:

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

i = (1 + j / m)m - 1.

j = m[(1 + i)1 / m - 1].

Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.

Пример. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

Решение:

Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

 

j = m[(1 + i)1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25)1/2 - 1] = 0,23607.

Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = m[(1 + i)1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25)1/12 - 1] = 0,22523.

Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:

простая процентная ставка:

i = [(1 + j / m)m • n - 1] / n;

сложная процентная ставка:

17. Эквивалентность простых и сложных % ставок

 

По простой 

По сложной 

Уравнения эквивалентности FVпр = FVсл

В практической деятельности часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенного контракта – объединение нескольких платежей или замене единовременного платежа рядом последовательных платежей. Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен терпеть убыток, вызванный изменением финансовых условий. Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени.

Для краткосрочных контрактов консолидация осуществляется на основе простых ставок. В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству:

FV0 = ΣFVj • (1 + i • tj ),

где tj – временной интервал между сроками, tj = n0 - nj .

Пример 6. Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10% годовых.

Решение:

Определим временной интервал между сроками для первого платежа и консолидированного платежа:

t1 = 11(апрель) + 31(май) - 1 = 41 день;

для второго платежа и консолидированного платежа:

t2 = 22(май) - 1 = 21 день.

Отсюда сумма консолидированного платежа будет равна:

FVo б . = FV1 • (1 + t1 / T • i) + FV2 • (1 + t2 / T • i) =

= 20'000 • (1 + 41/360 • 0,1) + 30'000 • (1 + 21/360 • 0,1) = 50'402,78 руб.

Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50'402,78 руб.

Конечно, существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим многообразие уравнений эквивалентности. Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом.

Если платеж FV1 со сроком n1 надо заменить платежом FVоб. со сроком nоб. (nоб. > n1 ) при использовании сложной процентной ставки i, то уравнение эквивалентности имеет вид:

FVоб. = FV1 • (1 + i)n об. - n 1

Пример. Предлагается платеж в 45 тыс. руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из процентной ставки 12 % годовых.

Решение:

Поскольку nоб. > n1 , то платеж составит:

FVоб . = FV1 (1 + i)n об . - n 1 = 45'000 (1 + 0,12)5 - 3 = 56'448 руб.

Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56'448 руб.

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.

 

Рис. 4. Наращение по простым и сложным процентам.

Как видно из рисунка 4, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i,

если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)n ;

если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)n ;

если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)n .

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

· более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

· более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

· обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

 

18. Эквивалентность простой учетной ставки и сложной эффективной ставки годовых процентов

19. Эквивалентность значений эффективной и номинальной годовых ставок

20. Потоки платежей. Финансовые ренты и их классификация

В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

· член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа;

· период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;

· срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;

· процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.

Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:

· В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют

o годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;

o срочную ренту, при которой период ренты может  быть как более, так и менее  года.

· По числу начислений процентов различают

o ренты с  начислением 1 раз в год;

o ренты с начислением m раз в год;

o непрерывное  начисление.

· По величине членов ренты могут быть

o постоянные  ренты, где величина каждого отдельного  платежа постоянна, т.е. рента с  равными членами;

o переменные  ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.

· По числу членов ренты они бывают

o с конечным  числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно  и заранее известно;

o с бесконечным  числом (вечные ренты), когда число  ее членов заранее не известно.

· По вероятности выплаты ренты делятся на

o верные ренты, которые подлежат безусловной  выплате, т.е. не зависят не от  каких условий, например, погашение  кредита;

o условные  ренты, которые зависят от наступления  некоторого случайного события.

· По методу выплаты платежей выделяют

o обычные ренты, которые на практике встречаются  чаще всего, – с выплатой платежа  в конце периода ренты (постнумерандо);

o ренты, с выплатой  в начале периода ренты (пренумерандо).

Под потоком платежей понимается некоторая последовательность платежей во времени (C ash Flow).

Потоки могут быть: