Формирование рискового международного инвестиционного портфеля (по Г. Марковицу)

Формирование  рискового международного инвестиционного  портфеля (по Г. Марковицу)

Задачу о нахождении эффективного портфеля при заданной желаемой доходности можно свести к следующей задаче квадратичной оптимизации:

при ограничениях

,

где – это доля -ого актива в портфеле, – это ожидаемая доходность -ого актива, – это желаемая доходность, – это ковариация доходностей -ого и -ого активов. Целевой функционал представляет собой дисперсию портфеля (мера риска), первое ограничение показывает, что сумма весов всех активов в портфеле должна быть равна единице, а второе ограничение показывает, что ожидаемая доходность портфеля должна равняться заданной желаемой доходности.

Приведём данную задачу к  матрично-векторной форме, тогда получим:

при ограничениях

где , ,

Решим данную задачу методом  неопределённых множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет следующий  вид:

Выпишем условие первого  порядка:

Выражая , получим следующее равенство:

Подставляя это равенство  в ограничения, получаем систему  из 2-х уравнений, относительно и :

Решая данную систему методом  Крамера, получаем следующие значения множителей Лагранжа:

где 

Подставляя значения множителей Лагранжка в выражения для , получаем следующее значение :

Теперь, для того чтобы  определить веса активов в портфеле с заданной желаемой доходностью, необходимо подставить в эту формулу все  известные нам значения (согласно варианту), а именно: величину желаемой доходности, матрицу ковариаций, и  вектор доходностей активов А, Б и В, а также единичный вектор .

Для того чтобы нам определить величину риска портфеля, нужно просто подставить найденное значение в целевую функцию и взять корень, так как риск принято оценивать через среднеквадратическое отклонение: