Контрольная работа по дисциплине «Финансовая математика»

Министерство образования  и науки РФ

Федеральное агентство по образованию  ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант 9

 

 

 

 

 

                 Выполнил:                                                           

                                         Специальность  Ф и К

                         Группа 4Фкп3

                                              № зачетной книжки                  

    Прверил: Поддубная  М.Л.

                                                         

 

 

 

 

 

 

Барнаул – 2009

Задание 1.  В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство ( в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания а_a=0,3; а_b=0,3; а_f=0,6.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный  прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

t	Y(t)
1	41
2	52
3	62
4	40
5	44
6	56
7	68
8	41
9	47
10	60
11	71
12	44
13	52
14	64
15	77
16	47

 

 

Решение:

1. Построим модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания а_a=0,3; а_b=0,3; а_f=0,6.

Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Y_р(t+k) = (a(t) + k * b(t)) * F(t + k - L),

t – текущий момент времени (t=0, 1, …n);

где k — период упреждения (к=1, 2,..);

Y_p(t+k) — расчетное значение признака Y для (t+k)-гo периода;

a(t), b(t) и F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) - коэффициент сезонности;

L - период сезонности (для квартальных  данных 1=4, для месячных - L=12).

Уточнение коэффициентов модели производится с помощью формул:

a(t) = a_a * Y(t) / F(t - L) + (1 – a_a) * (a(t – 1) + b(t – 1));

b(t) = a_b * (a(t) – a(t – 1)) + (1 – a_b) * b(t – 1);

F(t) = a_f * Y(t) / a(t) + (1 – a_f) * F(t - L).

a_a, a_b, a_f – параметры сглаживания.

Расчеты выполняют для  моментов t = 1, 2, …, n, соответствующих количеству исходных данных.

На этапе предварительного расчета (t= -3, -2, -1, 0) определим величины коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года a(0), b(0) и коэффициенты сезонности F(-3), F(-2), F(-1), F(0) за весь предыдущий год.

Для оценки начальных  значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым восьми значениям Y(t) из таблицы. Линейная модель имеет вид:

Ỹ(t) = a(0) + b(0) * t

Примем а(0)=а=46,96, b(0)=b=0,79; занесем эти значения в нулевой уровень столбцов a(t) и b(t).

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения Y экономического показателя к значению Ỹ, рассчитанному по линейной модели («Предсказанное У» итогов Регрессии).

Найдем оценки коэффициентов сезонности для 1, 2, 3 и 4 кварталов:

F(-3) = 1/2*(Y(1)/Ỹ(1) + Y(5)/Ỹ(5)) = 0,86;

F(-2) = 1/2*(Y(2)/Ỹ(2) + Y(6)/Ỹ(6)) = 1,08;

F(-1) = 1/2*(Y(3)/Ỹ(3) + Y(7)/Ỹ(7)) = 1,28;

F(0) = 1/2*[Y(4)/Ỹ(4) + Y(8)/Ỹ(8)] = 0,78.

Заполним соответствующие  уровни столбца F(t) расчетной таблицы и перейдем к основному расчету.

Коэффициенты сглаживания а_a=0,3; а_b=0,3; а_f=0,6; период сезонности L=4.

Примем t = 0, к = 1, по основной формуле модели Хольта, рассчитаем

Y_р(1) = (a(0) +  b(0)) * F(-3) = 41,14

Перейдем к t = 1, уточним коэффициенты

a(1) = a_a * Y(1) / F(-3) + (1 – a_a) * (a(0) + b(0)) = 47,70;

b(1) = a_b * (a(1) – a(0)) + (1 – a_b) * b(0) = 0,77;

F(1) = a_f * Y(1) / a(1) + (1 – a_f) * F(-3) = 0,86.

При t = 0, к = 1 по основной формуле модели Хольта получим

Y_р(1 + 1) = Y_р(2) = (a(1) +  b(1)) * F(-2) = 52,23

И т.д. для t = 2, 3, …16. Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) и F(t), определяется количеством исходных данных n = 16.

Результаты вычислений приведем в таблице; модель Хольта-Уинтерса построена.

 

 

 

Модель Хольта-Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)
-3				0,86
-2				1,08
-1				1,28
0		46,96	0,79	0,78
1	41	47,70	0,77	0,86	41,14
2	52	48,41	0,75	1,08	52,23
3	62	48,98	0,70	1,27	62,76
4	40	50,08	0,82	0,79	38,96
5	44	50,97	0,84	0,86	43,79
6	56	51,89	0,86	1,08	55,72
7	68	52,99	0,93	1,28	67,00
8	41	53,26	0,74	0,78	42,75
9	47	54,15	0,78	0,87	46,55
10	60	55,16	0,85	1,08	59,20
11	71	55,87	0,81	1,27	71,57
12	44	56,62	0,79	0,78	44,15
13	52	58,21	1,03	0,88	49,69
14	64	59,18	1,01	1,08	64,20
15	77	60,27	1,04	1,28	76,67
16	47	61,04	0,96	0,77	47,69

 

2) Оценим точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

Для проверки точности дополним расчетную таблицу столбцами  остатков E(t) и относительных погрешностей E_отн(t). Получим:

E(t)	отн.погр.
-0,14	0,34
-0,23	0,44
-0,76	1,22
1,04	2,61
0,21	0,48
0,28	0,49
1,00	1,47
-1,75	4,28
0,45	0,96
0,80	1,33
-0,57	0,81
-0,15	0,35
2,31	4,44
-0,20	0,32
0,33	0,43
-0,69	1,47

Средняя относительная  погрешность аппроксимации составит E‾_отн = 1,34% < 5%. (функция СРЗНАЧ)

Следовательно условие точности выполнено, модель точная.

3) Оценим адекватность построенной модели на основе исследования случайности остаточной компоненты по критерию пиков; независимости уровней ряда остатков по d-критерию и по первому коэффициенту автокорреляции; нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию.

Для использования критерия поворотных точек построим график остатков E(t).

Количество поворотных точек р = 10.

Вычислим значение  q:

q = int[2(N – 2)/3 – 2 Ö(16* N – 29) / 90]

q = int[2(16 – 2)/3 – 2 Ö(16 * 16 – 29) / 90] = 6.

Сравним, р = 10 > q = 6, следовательно, условие случайности уровней ряда остатков выполняется.

Проведем проверку независимости  уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32.

Для проверки свойства независимости  остатков используем критерий Дарбина-Уотсона.

Вычислим d = Σ(E(t) – E(t-1))² / ΣE(t)²  (СУММКВРАЗН; СУММКВ)

d = 33,0742 / 13,0777 = 2,52905.

В данном случае полученное значение больше 2, значит имеет место  отрицательная автокорреляция. В  таком случае величину  d уточняют, вычитая полученное значение из 4.

d΄ = 4 – 2,529047 = 1,47095.

Уточненное значение d сравнивают с табличными значениями d1 и d2. Для нашего случая d1 = 1,10 и d2=1,37.

d2=1,37 < d = 1,47095 < 2, следовательно уровни ряда остатков являются независимыми. Условие выполняется.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения  проверим с помощью R/S – критерия

R/S = E_max – E_min / S_E.

E_max – максимальное значение уровней ряда остатков E(t)

E_min – минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

S_E - среднее квадратическое отклонение.

S_E = 0,92558.

R/S = (2,31 – (-1,75) / 0,92558 = 4,38806.

Сравним полученное значение с табличными. Для N и 5% уровня значимости значение R/S для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,01 до 4,21; R/S = 4,38806 не принадлежит интервалу (3,01; 4,21).

Свойство нормального  распределения остаточной компоненты не выполняется.

Вывод: Модель точная, но не является адекватной – для нее нарушается свойство нормального распределения остаточной компоненты.

Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20).

По основной формуле  модели Хольта-Уинтерса при фиксированном t=n и нарастающем значении периода упреждения к = 1, 2, 3,…

Y_p(t+k) = (a(t) + k*b(t))*F(t+k-L)

 

Для первого квартала будущего пятого года при t=16, к=1 найдем

Y_p(16 + 1) = Y_p(17) = (а(16) + 1*b(16)) * F(16 + 1 – 4) = 54,70

Для второго квартала будущего пятого года при t=16, к=2 найдем

Y_p(16 + 2) = Y_p(18) = (а(16) + 2*b(16)) * F(16 + 2 – 4) = 68,14

Для третьего квартала будущего пятого года при t=16, к=3 найдем

Y_p(16 + 3) = Y_p(19) = (а(16) + 3*b(16)) * F(16 + 3 – 4) = 81,55

Для четвертого квартала будущего пятого года при t=16, к=4 найдем

Y_p(16 + 4) = Y_p(20) = (а(16) + 4*b(16)) * F(16 + 4 – 4) = 50,15

 

5) Отразим на графике  фактические, расчетные и прогнозные  данные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать: