Контрольная работа по "Финансовой математике"

                               λmax=1,06 ИС=-0,14  ОС=-0,11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этап 3. Определение вектора приоритетов.

В качестве вектора приоритетов для каждого уровня иерархии принят нормализованный главный собственный вектор матрицы попарных сравнений. Для расчета этих векторов используется приближенный метод 4 из [1] оценки через средние геометрические.

Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов. Чем больше i-я компонента СВ, тем больше влияние i-го элемента в комплексе всех элементов анализируемого уровня иерархии на выделенный элемент С вышестоящего уровня.

Для нижнего уровня альтернатив (дома А,Б,В) алгоритм расчета собственного вектора, относящийся к матрице парных сравнений из таблицы 1, показан в таблице 8.  В таблице 1 показан также результат расчета – нормализованный собственный вектор W1=(3,63;0,87;0,31).

Аналогично рассчитывается нормализованные собственные векторы для матриц парных сравнений Ас.2, Ас.3, Ас.4, Ас.5 , Ас.6, из таблиц 2,3, 4,5 и 6.

Для второго уровня иерархии, включающего критерии К1, К2, К3, К5, К7, К8,  оценка нормализованного собственного вектора, характеризующие приоритеты этого уровня по влиянию на единственный элемент верхнего (первого) уровня, т.е. цель выбора, производится по описанному выше алгоритму. Для матрицы парных сравнений Ас.7 из таблицы 7, получены данные расчета:W7=(1,96;0,18;1,54;0,086;1,85;11,89).

Таким образом, все векторы приоритетов для второго и третьего уровней иерархии получены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этап 4. Определение максимальных собственных значений и степени согласованности матриц парных сравнений.

Прежде чем перейти к синтезу оптимальной альтернативы с учетом всех элементов второго и третьего уровней иерархии, нужно убедиться в достаточном уровне согласованности всех матриц суждений Ас.1,Ас.2, Ас.3, Ас.4, Ас.5 , Ас.6, Ас.7. Для этого нужно вычислить максимальные собственные значения  этих матриц. В теории МАИ приводится следующий алгоритм [1] расчета . Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются:

 

   ,                                         (7)

 

где k – номер матрицы парных сравнений (суждений);  – вектор-строка столбцовых сумм матрицы суждений с номером k;  – нормализованный собственный главный вектор матрицы суждений Ас.k, принадлежащий наибольшему собственному значению . 

 

Таблица 8

Матрица парных сравнений альтернатив по первому критерию К1

 

К1	А1	А2	А3	Компоненты собственного вектора	Компоненты нормализованного вектора приоритетов
А1
А2
А3
Сумма по столбцам

В () умножение производится по правилу скалярного произведения векторов.

Например, для матрицы суждений Ас.1 из таблицы 1 получим:

 

λ1maх=s1*w11+s2*w12+s3*w13=1,29*0,17+7,25*0,04+13*0,01=0,639

 

Максимальные собственные значения всех матриц суждения приведены соответственно в таблицах 1,2,3,4,5,6 и 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этап 5. Определение индексов согласованности и отношений согласованности для матриц суждений.

В общем случае под согласованностью понимается то, что при наличии основного (базового) массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Или другими словами, отношения элементов всей матрицы А не должны быть противоречивыми.

Из теории МАИ известно, что согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию

.

Заметим, что  всегда верно, поэтому 

.

Тогда степень согласованности матрицы суждений можно оценить мерой, называемой индексом согласованности (ИС)

.

Знаменатель  – это число всех возможных парных сравнений данного элемента  в фиксированной строке i для квадратной матрицы n-го порядка.

Следовательно, ИС имеет смысл отклонения от абсолютной согласованности, приходящегося на одно парное сравнение.

Вводится критерий, называемый отношением согласованности (ОС):

 

,                                                  (8)

 

где СС – индекс случайной согласованности.

СС определяется путем задания оценок по шкале отношений для случайно выбранных суждений  при парных сравнениях и соответствующих им обратных величин для матрицы А Значения СС в теории МАИ заранее вычислены и представлены в таблице 9.

 

Таблица 9

Случайная согласованность для случайных матриц

 

Порядок матрицы n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Случайная согласованность СС	0	0	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

 

Приемлемая величина ОС – порядка 10% или менее. Если ОС выходит из этих пределов, то ЛПР должно провести более глубокие исследования задачи и проверить свои суждения, т.е. назначение величин  в матрице парных сравнений.

В качестве примера приведем оценки для матрицы суждений Ас.1 из таблицы 1:

 

ИС1= (λmax-n)n-1=(0,639-3)/3-1=-1,18

ОС1=ИС1/СС=-1,18/0,58=-2,03

.

Величины значения индекса согласованности и отношений согласованности для матриц суждений Ас.1, Ас.2, Ас.3, Ас.4, Ас.5, Ас.6, Ас.7  показаны соответственно в таблицах 1,2,3,4,5,6 и 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этап 6. Синтез приоритетов уровней.

В математической теории иерархий разработан метод оценки воздействия уровня на соседний вышестоящий уровень путем композиции соответствующего вклада (приоритетов) элементов данного уровня по отношении к каждому элементу соседнего верхнего уровня. Композиция распространяется снизу-вверх. В принципе, можно рассматривать также распространение композиции сверху-вниз.

Математически «композиция» отображается оператором умножения. Как известно [3] в математической логике операция умножения отображает совместное действие сомножителей.

Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты (приоритеты альтернатив А,Б,В по каждому критерию) перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии критериями на которые воздействует этот элемент. Процедура продолжается до самого нижнего уровня. В формализованном виде процедура синтеза приоритетов имеет следующий вид.

Общий вектор приоритетов взаимного влияния уровня 3 альтернатив (А,Б,В) и уровня 2 критериев (К1, К2, К3, К5,К7,К8) на общую цель (уровень 1) равен:

   ,                                                         (9)

где В – матрица компонент нормированных векторов приоритетов альтернатив первого уровня; – нормированный вектор приоритета критериев второго уровня (таблица 7).

В (9) умножение производится по правилам умножения матрицы на вектор:

.        (10)

 

Для нашего примера:

 

Ws; =	0.17 0.48 0.17 0.17 0.63 0.07   0.04 0.012 0.01 0.03 0.126 0.64 0.01 0.15 0.04 0.06 0.126 0.29	·	0.025   0.002 0.02 0.001 0.024 0.156	=

 

 

=		0.03482
		0.104118
		0.049674

 

 

 

 

Этап 7. Выбор оптимально альтернативы.

Алгоритм оптимального выбора прост:.

Попт:mах(Ws1; Ws2; Ws3)=(0,034;0,104;0,049)=0,104

Таким образом, алгоритм оптимального многокритериального выбора приводит к выбору дома Б для покупки, так как ему соответствует наибольшее значение компоненты вектора общего приоритета Ws1=0,104

Достоинством метода анализа иерархий является направленность на сравнение реальных альтернатив. Метод может применятся в тех случаях, когда эксперты не могут дать абсолютной оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми  сравнительными измерениями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cписок литературы:

 

а) основная:

 

1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1993. – 320 с.

2. Анфилатов В. С. Емельянов А. А. Кукушкин А. А. Системный анализ в управлении. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 368 с.

3. Волкова В. Н., Денисов А. А. Теория систем: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2014. – 511 с.

4. Исмагилова Л. А., Орлова Е. В. Стратегия и принятие решений. – Уфа: УГАТУ, 2005. – …………..

 

б) дополнительная:

 

5. Многокритериальный выбор решений на основе метода анализа иерархий: Методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Системный анализ в управлении и экономике» Сост. Исмагилова Л. А., Орлова Е. В. – Уфа: УГАТУ, 2012. – 22 с.

6. Дрогобыцкий И. Н. Системный анализ в экономике: Учебник. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – 423 с.

7. Системный анализ и принятие решений: Словарь-справочник: Учебное пособие для вузов / Под ред. В. Н. Волковой, В. Н. Козлова. – М.: Высшая школа, 2004. – 616 с.

8. Моисеев Н. И. Математические задачи системного анализа: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука. Физмалит, 1981. – 48 с.

9. Беллман Р. Введение в теорию матриц: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука. Физмалит, 1976. – 352 с.

10. Справочник по математике для экономистов. – М.: Высшая школа, 1997.