Контрольная работа по "Финансовой математики"

ФИНАНСОВЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Г.КАЛУГА

 

Учетно-статистический факультет

Кафедра Экономико-математические методы и модели

 

 

Контрольная работа по дисциплине «Финансовая математика».

Вариант № 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель: Самонина М.С.

Специальность: Финансы  и кредит

Группа:4 курс. День

Личное дело:№10ФФД40945

Руководитель: к.э.н. доц. Семененко Г.М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Калуга 2012 г.

Содержание:

 

1. Задача №1……………………………………………………стр3-7
2. Задача №2……………………………………………………стр7-13
3. Задача №3……………………………………………………стр13-17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

В таблице приведены  поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)

Таблица 1

T	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y	35	44	52	34	37	48	59	36	41	52	62	38	46	56	67	41

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α(a)=0,3; α(b)=0,3; α(F)=0,6.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r₁ = 0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

Решение:

1.Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса имеет следующий вид: Y_p(t+k)=(a(t) + k*b(t)) * F( t+k-L),

коэффициенты модели a(t), b(t)  и F(t) рассчитываются по формулам:

a(t)= α(a) *Y(t) / F(t-L) + (1- α(a) )*(a(t-1)+b(t-1));

b(t)= α(b) * (a(t)-a(t-1))+(1- α(b))*b(t-1);

F(t)= α(F) * Y(t)/a(t) + (1- α(F))*F(t-L).

Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо знать  начальные оценки а(0),b(0) коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности F(-3),  F(-2), F(-1), F(0) за весь предыдущий год.

Построим вспомогательную  линейную модель (t)=a+b*t. Коэффициенты этой модели получим, построив регрессию (Анализ данных/Регрессия). Уравнение вспомогательной модели имеет вид:

=39,21+0,87t

Примем а(0)=39,21 и b(0)=0,87. Для оценки коэффициентов сезонности F(-3),  F(-2), F(-1), F(0) найдем с помощью вспомогательной модели расчетные значения (t) для t=1÷8 и сопоставим их с фактическими:

t	Y(t)	Y лин
1	35	40,08
2	44	40,95
3	52	41,82
4	34	42,69
5	37	43,56
6	48	44,43
7	59	45,30
8	36	46,17

_{Таблица 3}

 

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной  модели Хольта-Уинтерса. Согласно условию задачи α(a)=0,3; α(b)=0,3; α(F)=0,6 и L=4. Рассчитаем коэффициенты модели а, b и F по приведенным выше формулам и построим модель.

Модель Хольта-Уинтерса Таблица 4

t	a	b	F	Yp
-3			0,86
-2			1,08
-1			1,27
0	39,21	0,87	0,79
1	40,25	0,92	0,87	34,52
2	41,07	0,89	1,07	44,35
3	41,63	0,79	1,26	53,41
4	42,63	0,85	0,79	33,43
5	43,26	0,78	0,86	37,67
6	44,24	0,84	1,08	47,29
7	45,62	1,01	1,28	56,75
8	46,24	0,89	0,78	37,009
9	47,30	0,94	0,86	40,52
10	48,21	0,93	1,08	52,13
11	48,93	0,87	1,27	62,87
12	49,39	0,75	0,78	39,07
13	51,07	1,03	0,89	43,32
14	52,03	1,01	1,08	56,23
15	52,93	0,97	1,27	67,46
16	53,59	0,88	0,77	41,80

 

1. Оценим точность модели, для этого дополним таблицу столбцами E(t)=Y(t)-Yp(t) и Еотн(t)=|E(t)/Y(t)|*100.

Таблица 4

t	Y(t)	Yp(t)	E(t)	Еотн(t)
1	35	34,52	0,48	1,36
2	44	44,35	-0,35	0,81
3	52	53,41	-1,41	2,71
4	34	33,43	0,57	1,68
5	37	37,67	-0,67	1,82
6	48	47,29	0,71	1,48
7	59	56,75	2,25	3,82
8	36	37,01	-1,01	2,80
9	41	40,52	0,48	1,16
10	52	52,13	-0,13	0,25
11	62	62,87	-0,87	1,40
12	38	39,07	-1,07	2,83
13	46	43,32	2,68	5,83
14	56	56,23	-0,23	0,41
15	67	67,46	-0,46	0,69
16	41	41,80	-0,80	1,94

Вычислим среднюю величину относительных погрешностей (функция СРЗНАЧ). Она составит 1,94%, значит, условие точности выполнено, т.к. средняя величина относительных погрешностей не превышает 5%.

3. Проверим адекватность построенной модели:

а) проверка случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

Построим график остатков Е(t), выделим поворотные точки (рис. 1).

Рис. 1. График остатков

Количество поворотных точек равно р=8. Вычислим при n=16:

Условие случайности уровней ряда остатков выполнено, т.к. количество поворотных точек р = 8> = 6.

б) проверка независимости  уровней ряда остатков:

• по d- критерию Критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,10 и d₂=1,37):

=48,16 (функция СУММКВРАЗН); =19,97 (функция СУММКВ);Так как d>2, найдем :

Так как d₂< =1,59 <2, следовательно, критерий Дарбина-Уотсона выполняется, уровни ряда остатков независимы.

• _{по первому коэффициенту автокорреляции r(1):}

=-4,54 (функция СУММКВПРОИЗВ)

Критический уровень r_кр = 0,32, сравнение показывает, что < r_кр = 0,32, следовательно, уровни ряда остатков независимы.

в) проверка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию:

E_max – E_min = 2,68 – (-1,41) = 4,09

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению  т.к. полученное значение R/S=3,55 попадает в заданный интервал (3,00<3,55<4,21).

Таким образом, все условия  адекватности и точности выполнены, следовательно, можно сделать вывод  о целесообразности применения данной модели для прогнозирования.

4. Произведем точечный  прогноз на 4 шага вперед:

Определим прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) для:  t = 17÷ 20.

5. Отразим на графике  фактические, расчетные и прогнозные  данные.

Рис. 2. Сопоставление расчетных и фактических данных

Задача 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней (таблица 5). Интервал сглаживания принять  равным 5 дням.

Таблица 5

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	718	660	675
2	685	601	646
3	629	570	575
4	585	501	570
5	598	515	523
6	535	501	506
7	555	500	553
8	580	540	570
9	580	545	564
10	603	550	603

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной  силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

Для определения начального значения   используем формулу простой скользящей средней:

Дальнейшие расчеты  выполним по формуле:  , где k = 2 /(n + 1)=1/3 (n=5).

Момент вычислим по формуле:

Скорость изменения  цен вычислим по формуле:

Результаты вычислений представлены в таблице 6:

Таблица 6

Дни	Цены  закр	ЕМАt	МОМt	ROCt
1	675
2	646
3	575
4	570
5	523	597,8
6	506	567,2	-169	74,963
7	553	562,467	-93	85,604
8	570	564,978	-5	99,13
9	564	564,652	-6	98,947
10	603	577,435	80	115,3