Логистическая модель изменения численности популяции

 

Логистическая модель изменения численности популяции

Модель динамики численности популяции при ограниченных ресурсах предложил французский математик  П.Ф. Ферхюльст. Построение этой математической модели основано на следующих допущениях:  

• рост популяции ограничен количеством пищевых ресурсов и доступным пространством, пригодным для местообитания – т. е. биологической  ёмкостью среды; 
• Скорости процессов размножения, естественной гибели  и гибели в результате конкурентных конфликтов пропорциональны численности особей в данный момент времени.
• Физиологические и биохимические процессы не учитываются.
• Учитывается внутривидовая конкуренция за место обитания, за пищевые ресурсы, которая тем интенсивнее, чем выше плотность популяции.
• Популяция не взаимодействует с другими популяциями.

Кривая, описывающая замедление роста, определяемого биологической  ёмкостью среды, называется логистической кривой.

Введём обозначения:

N_{( )} – численность популяции в момент t;

N_min – минимальная численность, обеспечивающая воспроизводство.

Будем считать, что средняя удельная рождаемость выражается положительной постоянной b, не зависящей от  времени и размера популяции, а средняя удельная смертность в результате естественных причин выражается коэффициентом d, так же не зависящим от  времени и плотности популяции.

По мере увеличения плотности  популяции возрастает  число конкурентных конфликтов со смертельным исходом, вероятность которых  определяется величиной –d N², где d – коэффициент гибели за счёт конкурентных конфликтов.

Составим уравнение динамики численности популяции:

                                                        (1) 

 

где  r – биотический потенциал популяции (r = b–d).

Решаем нелинейное дифференциальное уравнение (1): 

 

                        (2) 

 

Отсюда следует уравнение  изменения численности в интегральной форме: 

 

,  при                (3) 

 

Поскольку численность  популяции в естественных условиях никогда не остаётся постоянной, а  испытывает колебания вблизи максимального  значения, характеристической величиной процесса принято считать T_0,9 – момент времени, когда численность  популяции составляет 90 % от стационарной (максимальной). Координаты точки перегиба графика N_(t)–T_k и N_k (4) – это критический момент развития, когда начинает проявляться межвидовая конкуренция:

.                                                                                                    (4)

Если известно наибольшее число особей при данной биологической ёмкости среды (N_max), уравнение для построения модели приобретает вид: 

 

                                                   (5)

 

Рис.1. Динамика численности популяции:

1 – кривая биологического потенциала;

2 – логистическая кривая.

Рис. 21. Типы динамики численности  популяций:

1) стабильный тип динамики численности – небольшие колебания хорошо адаптированных к среде популяций. Период колебаний 10-20 лет;

2) лабильный тип динамики численности – с периодом колебаний 5-11 лет;

3) эфемерный тип – резкие частые колебания за период 4-5 лет.

К стабильному типу динамики численности принадлежат крупные  и долгоживущие животные с небольшим  количеством потомков и низкой ежегодной  смертностью: киты и дельфины, человекообразные обезьяны, орлы, некоторые рептилии, крупные копытные и другие животные. Лабильный тип динамики характерен для животных, доживающих до 10 – 15 лет, с более высокой плодовитостью и смертностью: крупные грызуны, зайцеобразные, некоторые хищники, многие птицы, насекомые с длинным циклом развития. Эфемерный тип характерен для короткоживущих (до 3-х лет) плодовитых животных с высокой степенью гибели: мелкие грызуны, насекомые и другие.

Пример. Построить логистическую модель изменения численности популяции кролика.

1.  Построить логистическую модель изменения численности популяции.

2.   Интерпретировать модель, описав динамику популяции по следующим параметрам:    

N_max – численность популяции в стационарном состоянии;   

Т_0,9 – характеристическое время, когда численность популяции достигает 90 % от N_(max);   

N_крит и  Т_крит –  критическая численность и время, когда в популяции начинает проявляться внутривидовая конкуренция. 

3.   Сделать прогноз развития популяции.

Исходные данные

Вид животных	Nmin	b, ед./год	d, ед./год	d, ед./год
Кролик	8	4	0,5	0,005

 

 

1. Рассчитаем биотический потенциал популяции:

r = 4–0,5 = 3,5.

2. Используем уравнение изменения численности (3), рассчитаем с помощью N(t) для заданных параметров и построим график изменения численности (рис. 3): 

 

Сформируем таблицу значений для построения графика. 

 

t, год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N, ед.	190,5	646,5	698,2	699,9	700	700	700	700	700	700

 

 

 

Рис. 3. Изменение численности популяции кролика 

 

4.   Оценим характеристические величины процесса по (3), (4): 

 

Nmax = 3,5/0,005 = 700 особей	Nкрит = 1/2 Nmax = 700/2 = 350 особей
Т0,9 = » 3,5 года (по графику)	Т крит =» 3 года.

 

  Вывод: популяция кроликов обладает положительным биотическим потенциалом и способна увеличить свою численность в данных условиях до 700 особей за 4,5 года. Первые 3 года популяция находится в состоянии активного (экспоненциального) роста и по достижении численности в 350 особей основным фактором регуляции численности будет являться внутривидовая конкуренция за пищевые и пространственные ресурсы.