Паранепротиворечивая логика

ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ логика (греч. παρά – возле, вне) – класс логических исчислений, в которых логический принцип «из противоречия следует все, что угодно», не имеет места. Термин «паранепротиворечивая логика» введен в 1976 перуанским философом Ф.Миро-Квисада.

Строгое определение паранепротиворечивой логики связано с характеристикой отношения логического следования (см. Следование логическое). Его можно назвать черезмерным (explosive), если оно удовлетворяет условию, что для любых формул A и B, из A и не-A следует произвольная формула B (символически: {A, ¬A} |– B). Классическая логика (см. Логика высказываний, Логика предикатов), интуиционистская логика, многозначные логики Лукасевича и большинство других стандартных логик являются черезмерными. Логика называется паранепротиворечивой логикой тогда и только тогда (т. т. т.), когда ее отношение логического следования не является черезмерным.

Стимулом для появления паранепротиворечивой логики была потребность в разработке противоречивых, но нетривиальных теорий. Теория называется тривиальной, если множество ее теорем совпадает со множеством ее формул; в противном случае теория называется нетривиальной. Стандартные системы логики не отделяют понятия противоречивости от понятия тривиальности, т.е. противоречие в теории ведет к ее тривиальности. Отсюда еще одно определение паранепротиворечивой логики несколько менее общее, чем предыдущее: логика называется паранепротиворечивой, если она может быть положена в основу противоречивых, но нетривиальных теорий. Именно такое определение впервые в литературе дано польским логиком С.Яськовским (1948) и независимо бразильским логиком Н.С.А. да Костой (1963). Иногда используется еще один критерий паранепротиворечивости (критерий Яськовского) для логических исчислений с правилом вывода modus ponens: в таких системах не должен иметь места закон Дунса Скотта A ⊃ (¬A ⊃ B). Т.о., паранепротиворечивая логика позволяет «локализовать» действие противоречия в том смысле, что наличие в теории противоречия не ведет последнюю к разрушению, что в известном смысле является реализацией тезиса о неуниверсальности непротиворечия закона.

Вопрос о том, противоречив наш мир или нет, является весьма непростым, тем не менее на протяжении всей истории западной философии находились мыслители, которые настаивали на положительном ответе, начиная уже с досократиков, включая Гераклита. Конечно, наиболее яркой фигурой в этом отношении являетсяГ.Гегель. В последнее время все большее внимание привлекает онтология А.Мейнонга (1908), где утверждается существование противоречивых объектов, и все чаще приводится высказывание Л.Витгенштейна (1930), что наступит время, когда начнутся математические исследования исчислений, содержащих противоречия, и люди будут гордиться тем, что освободились от непротиворечивости. Признание того, что существуют истинные противоречия, т.е. имеются утверждения A такие, что вместе A и ¬A истинны, получило название концепции «диалетизма» (dialetheism). Термин введен в 1981 Г.Пристом и Р.Роутли, и сама концепция в последнее время усиленно развивается Пристом.

Наличие противоречивых, но нетривиальных теорий и концепция диалетизма являются философской основой для изучения паранепротиворечивости. Примерами таких теорий является наивная теория множеств с парадоксом Рассела, классическая теория истинности, порождающая семантические парадоксы типа «Лжец». Примеры противоречивых, но нетривиальных теорий можно найти в истории науки: аристотелевская теория движения, первоначальное исчисление бесконечно малых, теория атома Бора и т.д. Интересные примеры имеются в юриспруденции, в частности различные билли о правах и тексты конституций. Противоречивой является теология (парадокс всемогущества). Также неоспоримым фактом является то, что большинство людей, не осознавая этого, имеют противоречивые убеждения (верования). Вообще, по-видимому, имеет веские основания тезис, что любая достаточно сложная и интересная философия будет противоречивой. Подробно о философском значении паранепротиворечивости и обширнейшую литературу по этой теме можно найти в фундаментальном труде «Паранепротиворечивая логика. Эссе о противоречивости» (Paraconsistent logic: Essays on the inconsistent. Münch., 1989). Концепция диалетизма требует применения паранепротиворечивой логики для рассуждения о противоречивой, но истинной теории.

На возможность построения логик без закона непротиворечия впервые одновременно (1910) и независимо друг от друга указали русский логик Н.А.Васильев и польский логик Ян Лукасевич. Первый из них предложил модифицировать аристотелевскую силлогистику за счет новой формы: S есть P и не-P; Лукасевич же подверг серьезной критике все формулировки закона непротиворечия у Аристотеля.

Существуют различные способы опровержения и ограничения принципа «из противоречия следует все, что угодно». Отсюда и большое разнообразие самих паранепротиворечивых логик, которых на самом деле бесконечно много. Вот, к примеру, четыре основных подхода к конструированию пропозициональных паранепротиворечивых логик (предикатные их варианты являются их непосредственным расширением).

1. Дискуссивные (дискурсивные) паранепротиворечивые логики. Дискуссивная логика является исторически первой. Ее построил С.Яськовский (1948), обозначив посредством D2. Как следует из названия, эта логика предназначена для выявления логики дискуссии, в которой участники могут иметь противоречивые мнения. Яськовский определяет эту логику посредством подходящей интерпретации в модальной логике Люиса S5 (см. Модальные логики). Дискуссивная логика является паранепротиворечивой, поскольку мы можем подобрать такую интерпретацию в S5, что ◊A и ◊¬A имеют место, но не ◊B. Для того чтобы проходило правило modus ponens, Яськовский определяет дискуссивную интерпретацию импликации ⊃d : A ⊃d B = ◊А ⊃ B. Примечательной особенностью такой логики является то, что в ней не имеет места правило введения конъюнкции {A, B} |– A & B.Поэтому зачастую такие логики называются не-адъюнктивными (non-adjunctive). Дискуссивным логикам посвящена большая литература, и есть различные обобщения данного подхода. Более того, в 1984 было показано, что дискуссивную логику в духе Яськовского можно построить во всякой нормальной модальной логике.

2. Релевантные логики. По своей мотивации и развитию релевантные логики являются одним из классов паранепротиворечивой логики. Уже в силу критерия релевантности, сформулированного А.Белнапом в 1960, следует, что в релевантной пропозициональной логике доказуема не каждая формула, главный знак которой – релевантная импликация →, а антецедент противоречив, т.е., напр., недоказуема формула (A & ¬A) → B.Существуют различные семантические подходы, показывающие паранепротиворечивость релевантных логик. Наиболее известной семантикой для релевантных является возможных миров семантика с тернарным отношением, развитая Р.Раутли и Р.Мейером в 1973 г. Конъюнкция и дизъюнкция (см. Логические связки) для таких логик ведут себя обычным образом. Однако наиболее важным с точки зрения паранепротиворечивой логики является рассмотрение отрицания. С каждым миром w ассоциируется мир w*, так что w** = w*. Истинностные условия для – A следующие: – A истинно в w т. т. т., когда A ложно не в w, a в w*. T.о., если A истинно в w, но ложно в w*, (A & ¬A) истинно в w. Ясно, что отрицание здесь является интенсиональным оператором. Тернарное отношение требуется при определении истинностных условий для релевантной импликации. Однако уже имеются различные упрощения первоначальной тернарной семантики возможных миров, данные Г.Пристом, Р.Силваном и Г.Ресталлом посредством разделения множества возможных миров на нормальные и ненормальные. Как и в случае с модальными логиками, различные ограничения на отношение достижимости между мирами дают различные релевантные, а следовательно, паранепротиворечивые логики.

3. Многозначные логики. Наиболее простой и наглядный  способ конструирования паранепротиворечивости является тот, когда к двум классическим истинностным значениям 1 (истина) и 0 (ложь) добавляется третье истинностное значение S, интерпретируемое разными авторами как «антиномично», «парадоксально», «противоречиво». Приняв в качестве выделенных истинностных значений 1 и S и взяв S в качестве неподвижной точки, что позволяет определить отрицание как ¬(S) = S, имеем случай, когда (р & ¬р) принимает выделенное значение. Очевидно, что эти логики, как и классическая, являются истинностно-функциональными. Не представляет труда сконструировать такие трехзначные логические матрицы, в которых правило modus ponens имеет место, а закон Дунса Скотта нет.

4. Не-истинностно-функциональный подход. Опишем класс паранепротиворечивых логик, который наиболее широко известен и интенсивно исследуется со времени их появления. Основная идея здесь состоит в том, что берется полный позитивный фрагмент интуиционистской или классической логики и не-истинностно-функциональным образом определяется отрицание. В 1963 Н. да Коста построил бесконечную последовательность паранепротиворечивых логик, наименьшей из которых является Cw. К позитивному фрагменту интуиционистской логики добавляются следующие истинностные условия для отрицания:

(I) если v (A) = 0, то v (¬A) = 1

(II) если v (A) = 1, то v (¬¬A) = 1,

где v есть функция оценки формул на множестве классических истинностных значений {0, 1}. Тогда для аксиоматизации Cw нужно к полной системе позитивной интуиционистской логики с единственным правилом вывода modus ponens добавить следующие две аксиомные схемы: A ∨ ¬A и ¬¬A ⊃ A.Добавляя другие истинностные условия, можно получить иерархию систем да Косты Cn (1 ≼ n ≼ w). Каждая логика Cn обладает следующими свойствами:

1) закон непротиворечия ¬(A & ¬A) не является тавтологией.

2) из A и ¬A нельзя  в общем случае дедуцировать  произвольную формулу B.

3) каждая Cn является бесконечнозначной логикой (см. Многозначные логики).

В свою очередь Д.Батенс (1980) берет позитивный фрагмент классической пропозициональной логики и определяет отрицание условием (i). Тогда аксиоматизация получается посредством добавления к данному фрагменту только схемы аксиом Α ∨ ¬А. Заметим, что конверсия условия (i) дает нам классическую логику.

Основная проблема, как видим, заключается в определении операции отрицания. Как да Коста (и его школа, в особенности в последующих работах), так и Батенс пытаются определить отрицание максимально приближенно к классическому, но в то же время, чтобы оно было паранепротиворечивым. Дело в том, что истинность A и ¬A ставит вопрос о том, чем на самом деле является паранепротиворечивое отрицание? Эта проблема активно обсуждается в последнее время, что ставит вопрос о философском и логическом статусе отрицания вообще и более того – о статусе самой паранепротиворечивой логики, поскольку для некоторых из них (в определенном выше смысле) имеют место следующие выводимости: {A, ¬A} |– ¬B или {¬A, ¬¬A} |– B.

Возросший интерес в последние годы к паранепротиворечивым логикам (в 1997 в Бельгии прошел посвященный им 1-й Международный конгресс) объясняется многочисленными применениями и приложениями последних. Наиболее важным применением является исследование возможно противоречивых теорий. В первую очередь это относится к формальной семантике и теории множеств. Уже построен целый ряд паранепротиворечивых теорий множеств, в которых расселовское множество существует. Более того, если формализованную арифметику строить на основе паранепротиворечивой логики, то истинное Гёделево предложение может быть доказуемо вопреки результату Гёделя (первая теорема о неполноте). Паранепротиворечивая логика имеет применение в естественных и социальных науках, в квантовой механике, в вероятностных и индуктивных рассуждениях, в теории нечетких понятий, в деонтической логике (моральные дилеммы), в доксатической логике (системы полагания). Особенно важно применение паранепротиворечивой логики в компьютерных науках, где возникает задача логической обработки противоречивой информации, напр. поступающей из различных источников.