Аксіоматика шкільного курсу геометрії

ІІ.  Аксіоми множення вектора на число.

III.   Аксіоми розмірності: 

III1. Існує  n  лінійно  незалежних  векторів   (існує   базис  n- вимірного простору).     

ІІI2.  Будь-які   n+ 1  векторів   лінійно  залежні   (будь - який  вектор  є  лінійною  комбінацією  базисних ) .  

4. Аксіоми відкладання вектора. 
5. Метричні аксіоми (аксіоми скалярного добутку).  

 

 За  Г. Шоке:  векторний  шлях  вивчення елементарної геометрії – це королівський шлях в математиці. При цьому виявляється, що n-вимірний евклідів простір при n=3 являє собою звичайну стереометрію, при  n=2  –   планіметрію,  при  n=1  –  геометрію  прямої  (лонгиметрію).  

 Таким чином, аксіоматика Вейля за своїми можливостями перевершує як аксіоматику Гілберта, так і всі інші відомі аксіоматики евклідової геометрії.

За  Вейлем  основними  геометричними  образами виступають точки і вектори.  Всі  інші  геометричні образи означаються через них за допомогою теоретико множинних понять з істотнім застосуванням теорії дійсних  чисел.  Крім  цього,  

Аксіоматика Вейля евклідової геометрії дає можливість природнім способом пов'язати різні розділи геометрії один з другим. Вона дає можливість вивчати всі питання евклідової і неевклідової геометрії  (n-вимірна евклідова геометрія, сферична, гіперболічна  та  еліптична  геометрії),  а також проективну геометрію, керуючись при цьому загальною точко-векторною аксіоматикою.  До останнього часу (60-і роки  ХХ ст.) викладання геометрії в середній школі у нашій країні базувалось на 

традиційній системі Евкліда і здійснювалося за відомими підручниками П.Кисельова [8], написаним ще в  ХІХ ст. Бурхливий розвиток математики і її застосувань привели до необхідності реформування математичної освіти, необхідності посилення математичної підготовки школярів, зокрема, до більш строгого викладу курсу геометрії в школах. Природнім був би шлях перебудови ШКГ на базі аксіом Гілберта, але такий шлях заслуговує серйозної критики. З однієї сторін, аксіоматика Гілберта для школярів досить складна, з іншої – вона практично не має виходу в інші області сучасної геометрії.   До того ж характерним для цієї аксіоматики є фактична відсутність теоретико-множинних понять, зокрема, нескінченної множини. Це приводить до того, що в геометрію слабо проникають аналітичні методи досліджень та векторна алгебра. Не дивлячись на те, що побудова шкільного курсу геометрії на основі аксіоматики Вейля в наш час зближувала б шкільний курс геометрії з сучасним науковим рівнем математики,  більшість  педагогів-математиків вважають таку реформу шкільного  курсу  геометрії  передчасною, або й взагалі недоцільною. О. В. Погорєлов найціннішим у геометрії вважав доведення.

Шкільний курс геометрії сьогодні пропонують будувати так, щоб усі його поняття, означення, твердження та їх доведення, задачі подавалися відповідно до вимог логіки. В  останні  роки  наші  школи  поступово  переходять  на  нові  підручники  геометрії,  розроблені  різними авторськими колективами, в яких намагаються реалізувати вказані вище вимоги. Ці підручники будується не на аксіоматичній основі, а на досвідно-дидуктивному рівні.

1.2. Логічні основи геометрії

Логічні основи геометрії – це фундамент геометрії, який має відповідати вимогам логіки. А логіка (від давньогрецького λογος – слово, розум,  міркування) – наука, яка досліджує впорядкованість людського мислення, його закони, форми і прийоми. Основними законами логіки називають закони тотожності, суперечності, виключення третього і достатньої підстави, оскільки вони виражають базові риси логічно правильного мислення. А саме: визначеність, послідовність, несуперечливість і обґрунтованість думки. Основними категоріями логіки є: поняття (їх види і означення), судження, закони логіки, твердження (їх види і доведення), задачі (їх види і розв’язання) тощо. Отже, будувати шкільний курс геометрії на логічних основах – це означає всі його поняття, означення, класифікації, твердження, їх доведення, задачі тощо подавати відповідно до вимог логіки. Усі складові частини підручника геометрії мають бути коректно викладені з погляду логіки. Досягти цього не легко, але треба.

Вичерпну систематизацію логічних напрямів побудови курсу геометрії було створено Міжнародною комісією з викладання математики на Міланській конференції в 1914 році. Вона містить чотири напрями:

_ А – формально-логічний;

_ В – досвідно-дедуктивний  (рівень В_ , В_ , В_ );

_ С – інтуїтивно-дедуктивний;

_ D – інтуїтивно-експериментальний.

Напрям А – характеризується повним відмовленням від інтуїції. Основні поняття (точка, пряма тощо) означаються неявно через аксіоми.

Особливістю напряму  В є те, що основні поняття і  відношення запозичуються з досвіду. Всі інші міркування та етапи побудови здійснюються дедуктивно. В межах цього напряму розрізняють три рівні:

- В_ – формулюються всі необхідні аксіоми;

- В_ – явно подається тільки частина аксіом;

- В_ – формулюються тільки ті аксіоми, зміст яких не здається очевидним.

Напрям С – інтуїтивно-дедуктивний. В побудові курсу одночасно використовується інтуїція і строгі доведення, які не відокремлюються одна від одного.

Напрям D – інтуїтивно-експериментальний. В побудові курсу геометрії такого рівня основні поняття і відношення запозичуються з досвіду, геометричні факти встановлюють за допомогою експерименту.

 

 

Розділ ІI. НАУКОВО-ПЕДАГОГІЧНІ ОСНОВИ АКСІОМАТИЧНОГО МЕТОДУ

  2.1. Психолого-педагогічні аспекти вивчення аксіоматичного матеріалу в шкільному курсі геометрії.

Логічні основи побудови шкільної геометрії традиційно пов’язували з аксіоматичним методом, «Началами» Евкліда та підручниками «Геометрії» академіків А.М.Колмогорова і О.В.Погорєлова. Майже 30 років логічну будову шкільної геометрії ототожнювали зі створенням аксіоматичних навчальних курсів. З тих пір у багатьох учителів і методистів утвердилась думка, що логічно коректним можна вважати тільки аксіоматичний курс геометрії. Зробимо невеличку ретроспективу у таке трактування логічних основ геометрії.

До ХХ століття у всіх країнах геометрію викладали за Евклідом. Це було або майже точне наслідування «Начал» (як в Англії), або вільне трактування, подібно до робіт Лежандра (у Франції). Вітчизняні підручники і посібники з геометрії в різні часи будувалися за напрямами В, С, D – від досвідно-дедуктивного до інтуїтивно-експериментального. До середини ХХ століття усі вітчизняні школи дотримувалися рівня В_, тобто розповідали учням про можливість аксіоматичної побудови геометрії, але формулювали тільки частину аксіом; важливіші і доступніші для учнів теореми доводили, але й використовували знання, отримані з досвіду. Згодом академіки А.М.Колмогоров [1] і О.В.Погорєлов [2] запропонували для загальноосвітніх шкіл курси геометрії, орієнтовані на рівень В_ – відразу формулювали всі аксіоми, потрібні для викладу перших розділів. Мрією академіка А.М.Коломогорова було привести логічні основи сучасної математики до такого стану, щоб їх можна було викладати в школі підліткам. Навіть у навчальному посібнику для учнів він умістив пункт «Про логічну будову геометрії» [1, с. 372], який починався такими словами. «Логічно строгий курс геометрії будують так:

1. Перераховують основні  геометричні поняття, які вводяться  без означень.

2. За їх допомогою  означаються усі інші геометричні  поняття.

3. Формулюються аксіоми.

4. На основі аксіом  і означень доводять усі інші  геометричні твердження».

А.М.Колмогоров, говорячи про логічні основи шкільного  курсу геометрії, основну увагу звертав на поняття і твердження. О.В.Погорєлов найціннішим у геометрії вважав доведення: "Головне завдання викладання геометрії в школі – навчити учня логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. Дуже небагато з тих, хто закінчить школу, стане математиками, а тим більше геометрами. Будуть і такі, які в своїй практичній діяльності жодного разу не скористаються теоремою Піфагора. Проте навряд чи знайдеться хоча б один, кому б не довелося міркувати, аналізувати, доводити». Поняттям і означенням він не надавав великого значення. Це відмічали навіть його коментатори: «Але означенням в побудові систематичного курсу геометрії відводиться як би другорядна роль. Автор навчального посібника вважає, що нечітке відтворення учнями означення не повинно заважати йому правильно доводити теорему» [3, с. 14]. Так дивилися на шкільну геометрію впродовж двох останніх десятиліть. А оскільки доведення становлять тільки незначну частину логіки, тоді питання про логічну основу шкільної геометрії піднімалось і обговорювалось рідко.

Знання про можливість побудови геометрії на аксіоматичній  основі потрібне філософам і математикам. Саме розуміння цього дозволило вченим відкрити неевклідові геометрії, істотно змінити погляди на сутність науки. Ніякої іншої ролі в навчанні геометрії аксіоматика не виконує – ні стосовно кращого осмислення означень понять і доведень теорем, ні щодо умінь розв’язувати задачі. Адаптований для школи аксіоматичний курс геометрії не тільки малозрозумілий через надмірну абстрактність, а й надто бідний змістом. У ньому основна увага звертається на найперші теми, на очевидні твердження, а на вивчення найцікавіших питань (коло Ейлера, трикутники Наполеона, задачі на розрізання фігур тощо) не вистачає часу. Він виявляється недостатнім для моделювання об’єктів і процесів реального світу.

Все ж, ще й тепер немало учителів і методистів дотримуються традиційної думки про те, що основне в шкільній геометрії – аксіоми і теореми, що аксіоматичний курс геометрії цікавіший від інших, що він - мов цікава гра, збуджує інтерес учнів. Геометрію вивчають в школі не тому, що вона – «гра», а тому, що вона потрібна багатьом людям. Потрібна так само, як фізика, хімія, географія, астрономія, біологія та інші навчальні дисципліни. Для майбутніх науковців та інженерів вона потрібна як засіб, «знаряддя, таке саме, як штангель, зубило, ручник, терпуг для слюсаря» (О.М.Крилов), для всіх інших – як чудовий матеріал для розвитку логічного мислення учнів, адже «геометрія – правителька всіх розумових пошуків» (М.В.Ломоносов). 

2.2. Аксіоматика В. Погорєлова шкільного курсу геометрії

Обмежимося розгляданням лише аксіом планіметрії. База структури евклідової площини Е2 складається з трьох множин:  Е, F і ℝ елементи множини Е називаються точками, F – прямими і  ℝ- множина дійсних чисел. Основними відношеннями є : а) належність точки і прямої; б) лежати між для трьох точок прямої; в) довжина відрізка; г) градусна міра кута.

Система аксіом Погорєлова Σ_р містить дев’ять аксіом, які розбиті на шість груп.

І. АКСІОМИ НАЛЕЖНОСТІ.

І_1.  Які б не були дві точки, існує пряма, яка проходить через ці точки, і притому тільки одна.

І_2. На кожній прямій лежать принаймні дві точки. Існують три точки, які не лежать на одній прямій.

ІІ. АКСІОМИ ПОРЯДКУ.

ІІ₁. З трьох точок на одній прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

На основі цієї аксіоми  вводиться поняття відрізка.

Означення 2.1. Відрізком АВ називається множина точок, які лежать між точками А і В.

ІІ₂. Пряма розбиває множину точок площини, які не лежать на цій прямій, на дві підмножини (напівплощини) так, що відрізок, який з’єднує точки однієї на півплощини, не перетинається з прямою, а відрізок, який з’єднує точки різних на півплощин, перетинається з прямою.

Далі вводиться поняття  променя і трикутника.

Означення 2.2.  Променем АВ з початком А називається множина точок, яка містить точку В і довільну точку М прямої АВ таку, що точка А не лежить між точками В і М.

Означення 2.3. Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що їх попарно з’єднують.

Виходячи з аксіоми  ІІ2 в теорії ℐ (Σ_р) можна довести аксіому Паша аксіоматики Σн як теорему.

ІІІ. АКСІОМИ МІРИ ДЛЯ  ВІДРІЗКІВ І КУТІВ.

Нехай L є множина всіх відрізків,  ℝ ₊ - множина всіх додатних дійсних чисел.

ІІІ₁. Якщо вибраний деякий відрізок ЕF, то існує відображення l: L→ ℝ₊ таке, що виконуються дві умови: а) якщо точка С лежить між точками А і В, то виконується рівність l(AC)+l(CB)=l(AB); б) l(EF)=1.

Означення 2.4. Число l(АВ) називається довжиною відрізка АВ, а відрізок ЕF – одиничним відрізком.

Означення 2.5. Кутом називається фігура, яка складається з двох різних променів зі спільним посатком. Кут називається розгорнутим, якщо ці промені лежать на одній прямій.

Нехай Ω є множина  всіх кутів.

ІІІ_2. Існує відображення φ: Ω → ℝ₊ таке, що виконуються дві умови: а) якщо промінь l проходить між сторонами кута hk, то φ(hl)+φ(lk) = φ(hk); б) якщо hk – розгорнутий кут, то φ( hk) = 180.

Означення 2.6. Число φ( hk) називається градусною мірою кута  hk. 

IV. АКСІОМА ІСНУВАННЯ  ТРИКУТНИКА, РІВНОГО ДАНОМУ.

Означення 2.7. Два відрізки називаються рівними, якщо при довільному виборі одиничного відрізка їх довжини рівні.

Означення 2.8. Два кути називаються рівними, якщо вони мають одну і ту ж градусну міру.

Означення 2.9. Трикутники АВС і А₁В₁С₁  називаються рівними, якщо виконуються рівності: <А=< А_1, <В=< В_1, <С=< С_1, АВ= А₁В₁, ВС= В₁С_1, АС= А₁С_1.

IV. Нехай АВС – трикутник і h – промінь. Тоді існує трикутник А₁В₁С₁, рівний трикутнику АВС, у якого вершина А₁ співпадає з початком променя h, вершина В₁ лежить на промені h, а вершина С₁ лежить в заданій на півплощині відносно прямої, яка містить промінь h.

  Користуючись цією аксіомою, легко довести такі твердження:

На даному промені можна відкласти відрізок, рівний даному відрізку, і притому тільки один.

Від даного променя в  задану на півплощину з межею, яка  містить даний промінь, можна відкласти кут, рівний даному куту, і притому тільки один.

V. АКСІОМА ПАРАЛЕЛЬНИХ.

Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

VI. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, яка паралельна даній.

    2. 2. Аксіоматика планіметрії Л. С.  Атанасяна шкільного курсу геометрії