Алгебраически метод решения задач на построение

Алгебраический  метод

решения задач  на построение

 

Алгебраический  метод решения задач на построении – один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью  этого метода решаются вопросы, связанные  с разрешимостью задач тем  или иным набором инструментов.

Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которых обычными способами  затруднительно. Метод прекрасно  демонстрирует тесную взаимосвязь  алгебры и геометрии.

Но, к  сожалению, в школьном курсе геометрии  алгебраическому методу практически  не уделяется внимания, хотя с методической точки зрения изучение этого метода не представляет особых сложностей.

Суть метода состоит в следующем:

а) задача сводится к построению некоторого отрезка;

б) используя  известные геометрические соотношения  между искомыми и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее  искомые и данные;

в) решая  уравнение или систему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка  через длины данных;

г) по формуле  строится искомый отрезок (если это  возможно);

д) с помощью  найденного отрезка строится искомая  фигура.

Подготовительную  работу составляет изучение основных формул и способов построения, где  также отрабатываются некоторые  элементы схемы решения задач  алгебраическим методом, и усваивается  сама идея такого подхода к решению  задач на построение.

В школьном курсе геометрии обычно рассматривают  построения циркулем и линейкой отрезков, заданных следующими некоторыми простейшими  формулами [2]:

1) х = а + b (рис. 8).

2) х = а — b(а > b) (рис. 9).

 

 

 

Рис. 8    Рис.9

 

3) х = nа, где n — натуральное число. Сводится к построению 1). На рис. 10 построен отрезок х, такой, что х = 6а.

 

Рис. 10    Рис. 11

 

4) х = .

Строим  луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b, так что OB = nb (см. рис. 11). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а. Через точку В₁, определяемую условием 0В₁ = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку A₁, в которой она пересечет отрезок а.

5) х = а (n и m — данные натуральные числа).

Разделим  отрезок а на m равных частей и увеличим полученный отрезок в п раз.

6) х = (построение отрезка, четвертого пропорционального трем данным отрезкам).

Запишем условие в виде пропорции с : а = b : х. Пусть (рис. 12) ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящем из той же точки, откладываем известный член другого отношения ОB = b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку X ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х.

 

Рис. 12   Рис. 13   Рис. 14

 

7) x = .

Можно воспользоваться  построением 6), полагая b = а.

8) х = (построение среднего пропорционального двух данных отрезков).

Строим  отрезки АС = а, ВС = b, так что АВ = а + b. На АВ как на диаметре строим полуокружность (см. рис. 13). В точке С восставим перпендикуляр к АВ и отметим точку D его пересечения с окружностью. Тогда х = CD.

9) х = Отрезок x строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и b (см. рис. 14).

10) х = (a > b). Отрезок x строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом b.

К рассмотренным  построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами.

Желательно  постепенное изучение этих формул, когда каждая из них разбирается  при рассмотрении теории, необходимой  для осуществления соответствующего построения.

На этом месте целесообразно также введение простейших задач на алгебраический метод (например, задача о восстановлении отрезков по их сумме и разности) с тем, чтобы формулы рассматривались  во взаимосвязи. В дальнейшем, перед  серьезным изучением метода, формулы  следует повторить.

В Приложении 4 приведена задача на алгебраический метод: “Из вершин данного треугольника как из центров описать три  окружности, касающиеся попарно внешним  образом”.

Вывод. Описанные методы рекомендуется использовать для решения геометрических задач на построение. При этом необходимо обращать внимание в том числе и на развитие инициативы учащихся, привитие им вкуса и навыков к решению конструктивных задач.

Было бы неправильно думать, что методы решения задач на построение могут служить основой для классификации самих задач. Существенным, а не случайным следует признавать то обстоятельство, что целый ряд задач на построение может одинаково успешно решаться различными методами. С другой стороны, существуют задачи, которые решаются просто комбинацией основных построений без явного применения какого-либо метода.

С методической точки зрения наиболее приемлемым является применение при обучении решению задач на построение следующего принципа. Необходимо осуществлять последовательный подбор задач в соответствии с целями курса геометрии и постепенное ознакомление учащихся с методами решения задач на построение.

В свою очередь, необходимо ознакомить учащихся с самими методами и научить определять, каким из них можно решить предложенную задачу. Для этого, прежде всего, учащихся необходимо научить выделять наиболее характерные признаки задач, решаемых тем или иным методом. Эти признаки определяются самим содержанием метода.

Задача

Алгебраический метод

Пример. Из вершин данного треугольника как  из центров описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом.

Пусть ABC (рис. 8) — данный треугольник, а, b, с — его стороны, х, у и z — радиусы искомых окружностей.

 

 

 

 

 

Рис. 8

 

Выразим длины отрезков х, у, z через длины известных отрезков а, b, с. Тогда х+у=с, y+z=a, z+x=b. Поэтому 2х+2у+2z = a+b+c, x+y+z= (a+b+c), откуда .

Строим  теперь один из найденных отрезков, например х, по формуле и проводим окружность (A, х). Две другие окружности проводим из центров В и С радиусами соответственно с — х и b — х.

Для доказательства достаточно заметить теперь, что две  последние окружности касаются между  собой, так как сумма их радиусов (с — х) + (b — х) = с + b — 2х = (с + b) — (с + b — а) = а = ВС, то есть равна расстоянию между их центрами.

Задача  всегда однозначно разрешима, так как:

1) в треугольнике ABC b+c>a, и поэтому отрезок x может быть построен;

2) с>х, потому что с — х = (так как а+с>b);

3) b>х, потому что b – х = >0 [2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебраический метод.

 

1. Одним из важных методов,  применяемых в школь­ном курсе  геометрии, является алгебраический  метод ре­шения задач на построение. Уже в VI-VII классах уча­щиеся неоднократно применяли алгебру при решении задач вычислительного характера и задач на доказатель­ство с целью упрощения решения. Алгебра дает очень удобный и хороший способ решения геометрических вопросов аналитическим путем.

 

В VI классе целесообразно  рассказать, что некоторые сведения по алгебре были известны еще в  глубокой древ­ности, но вопросы алгебры не отделя­лись от вопросов арифметики и геоме­трии. Позже греческие ученые, такие, как Пифагор, Евклид, которые занима­лись преимущественно геометрией, по­лучили значительные результаты и в алгебре. Но многие алгебраические то­ждества доказывались ими геометри­чески. На доске в качестве примера ил­люстрируем доказательство тождества: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (рис. 56).

 

Рис. 56

 

Площадь квадрата, построенного на сумме отрезков а и b, равна  сумме площадей двух квадратов со сторо­нами а и b и площадей двух прямоугольников со сторо­нами а и b. В IX в. н. э. узбекский

 

ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб ал-джебр вал-мукабала», появление которой явилось как бы мо­ментом оформления науки алгебры. В дальнейшем ал­гебра получила свое самостоятельное развитие и начала оказывать большую помощь при решении различных за­дач других математических дисциплин, в том числе и ге­ометрии.

 

2. Алгебраический метод  решения задач на построе­ние рассматривается как дальнейшее расширение приме­нения алгебры к геометрии. Как известно, он состоит в следующем. Предположив задачу решенной: 1) Устанав­ливаем, какой или какие отрезки (в редких случаях углы или дуги) нужно определить, чтобы решить задачу, и обозначаем длины этих отрезков через х, y, z, ..., а длины данных отрезков – через а, b, с, …, то есть вводим обозначения. 2) Из условия задачи, пользуясь из­вестными геометрическими соотношениями между иско­мыми и данными отрезками, составляем уравнение или систему уравнений. 3) Решаем это уравне­ние или систему уравнений. 4) Исследуем получен­ные формулы для неизвестных отрезков по условию задачи. 5) Строим с помощью инструментов искомые отрезки, выраженные полученными формулами через данные отрезки. После того как неизвестные построены, выполняем построения, которые окончили бы решение, проводим доказательство и исследование.

 

Первые четыре этапа известны учащимся, так как при решении  геометрических задач на вычисление и алгеб­раических на составление уравнений всегда выделялись такие же этапы. Это говорит о том, что задачи на по­строение, решаемые таким методом, можно рассматри­вать как обобщение задач вычислительного характера, а с другой стороны, при применении алгебраического ме­тода всякая задача на построение заменяется вначале задачей на вычисление, так что каждая задача на постро­ение, решаемая этим методом, является, по существу, и задачей на вычисление.

 

4. Целесообразность рассмотрения  этого метода в средней школе  не определяется только тем,  что учащиеся ознакомятся с  еще одним видом задач, для  ре­шения которых применяется алгебра. Алгебраический метод решения отдельных, даже сложных задач на по­строение более доступен учащимся, ибо достаточно по­лучить соответствующую формулу для определения иско­мой величины, чтобы стало ясным все решение задачи.

 

Алгебраический метод  позволяет легко установить условия  возможности решения задачи, а  также наличие определенного  числа решений при тех или  иных значе­ниях и положениях данных.

 

5. Однако в средней школе  не следует чрезмер­но увлекаться этим методом за счет других важных раз­делов. Нужно решать доступные и интересные для учащихся задачи.