Исследование кривых и поверхностей второго порядка

 

 

 

 

Курсовая работа

 

по линейной алгебре  и аналитической геометрии

 

на тему:

Исследование кривых и поверхностей

второго порядка

 

 

 

 

 

 

 

Руководители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

1. Цель, задачи, исходные  данные и метод решения курсовой  работы

Цель:

Целью курсовой работы является лучшее усвоение и углубление знаний по теме «Кривые и поверхности второго порядка».

Задачи:

При помощи инвариантов, параллельного переноса, поворота и  алгебраических преобразований исследовать  переход от алгебраической к канонической форме записи. Построить кривую в канонической и общей системах координат. Построить также сечение поверхности.

Исходные данные:

Кривая, поверхность второго  порядка.

Метод решения:

Для кривой:

1) С помощью инвариантов  определить тип кривой.

2) При l=0 привести уравнение к каноническому виду используя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

3) Строим кривые в  канонической и общей системах  координат.

 

Для поверхности:

1) Определяем тип поверхности  с помощью инвариантов.

2) Приводим уравнение поверхности к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

3) Исследуем форму  поверхности методом сечений  и строим полученные сечения.

4) Строим поверхность  в канонической системе координат.

 

2. Анализ кривой  второго порядка

1) С  помощью инвариантов определим  зависимость типа кривой от  параметра λ.

Рассмотрим каноническое уравнение кривой второго порядка.

.

Определим инварианты I₁, I₂, I₃.

Для этого, исходя из общего уравнения кривой второго порядка:

,

Известно, что инварианты I₁, I₂, I₃ выражаются через коэффициенты общего уравнения кривой следующим образом:

I₁=

, I₂= , I₃= ,

и являются величинами, которые не меняются при переносе начала и повороте осей системы координат.

Итак, для рассматриваемой  кривой имеем:

.

_{Проанализировав значения инвариантов  при различных  значениях параметра}  λ и сопоставив эти значения с таблицей зависимости кривой от значений инвариантов получим:

При λ=0; -3; -10	Пересекающиеся  прямые
При λ=-6	Парабола
При	Гипербола

 

2) Преобразования параллельного  переноса и поворота

Поворот:

Приведем коэффициент  при x’y’ к нулю:

Решив это уравнение получим:

Параллельный перенос:

Произведем поворот  в плоскости Oxy на

 – каноническое уравнение  пересекающихся прямых.

 

3.Построение кривой

Парабола в общей  системе координат.

 

Парабола в канонической системе координат.

Нарисую кривую при разных значениях l

 

                     
4. Анализ поверхности второго порядка

 

1) Определяем тип поверхности  с помощью инвариантов

Рассмотрим уравнение  поверхности второго порядка:

Определим тип этой поверхности.

Сначала найдем инварианты I₁, I₂, I₃, I₄ для этой поверхности по коэффициентам общего уравнения поверхности второго порядка:

.

Известно, что инварианты I₁, I₂, I₃, I₄ выражаются через коэффициенты общего уравнения следующим образом:

I₁=

, I₂= + + ,

I₃=

, I₄= ,

и являются величинами, которые  не меняются при переносе начала и  повороте осей системы координат.

Итак, для рассматриваемой поверхности имеем:

I₁=1, I₂=-36, I₃=-36, I₄=0,

что удовлетворяет условиям на инварианты для конуса.

 

2) Приводим уравнение поверхности  к каноническому виду, применяя  преобразования параллельного переноса  и поворота координатных осей

Поворот в плоскости Oxz:

Подставив в уравнение  и преобразовав получим:

 

Приведём коэффициент  при x’z’ к нулю:

Решив уравнение, получим:

Подставив эти значения, получим:

Поворот в плоскости Ox’y’:

Приравняем коэффициент  при x’y’ к нулю:

Подставив и преобразовав, получим:

Произведём поворот в плоскости Oy’’z’’ на :

Получаем: - Каноническое уравнение поверхности.

5.Построение поверхности

Сечение плоскостью X=const дает:

• Гипербола

• Две пересекающиеся прямые

Сечение плоскостью Y=const дает:

• Гипербола

• Две пересекающиеся прямые

 

Сечение плоскостью Z=const эллипс или точку:

 

6. Вывод

 

Итак, как следует из выполненного анализа и приведенных  рисунков, кривые и поверхности, изображенные в различных системах координат, имеют один и тот же вид. Сечения поверхностей различными плоскостями имеют вид, совпадающий с аналитическими уравнениями этих кривых.

 

Список изученной литературы

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.–М.: Наука–Физматлит, 1999.

2. Шипачев В.С. Высшая математика.–М.: Высшая школа, 1998.

3. Емельяненко Г.А. Курсовое проектирование по линейной алгебре и аналитической геометрии