Контрольная работа по "Алгебре и геометрии"

1.Решить систему линейных  уравнений………………………………………………2

1.1Методом гаусса……………………………………………………………………...-

1.2Методом Крамера…………………………………………………………………...3

1.3Матричным методом ……………………………………………………………….4

2. Найти длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S……………………...6

2.1 Найти величину угла В треугольника АВС. ……………………………………..7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Решить систему линейных алгебраических уравнений решить тремя способами:

1.1Решим систему методом Гаусса;

 

Решение:

1. Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных (решим им в матричном виде):

Ответ:( -1,-1,3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2Решим систему методом Крамера

 

Запишем систему в  виде:

 

B^T = (-9,5,5)

Главный определитель:

∆ = 4 • (0 • 1-(-3 • 2))-1 • (2 • 1-(-3 • (-1)))+1 • (2 • 2-0 • (-1)) = 29 = 29

Заменим 1-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = -9 • (0 • 1-(-3 • 2))-5 • (2 • 1-(-3 • (-1)))+5 • (2 • 2-0 • (-1)) = -29

 

Заменим 2-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = 4 • (5 • 1-5 • 2)-1 • (-9 • 1-5 • (-1))+1 • (-9 • 2-5 • (-1)) = -29

 

Заменим 3-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = 4 • (0 • 5-(-3 • 5))-1 • (2 • 5-(-3 • (-9)))+1 • (2 • 5-0 • (-9)) = 87

 

Выпишем отдельно найденные переменные Х

 

 

 

Проверка.

4•-1+2•-1+-1•3 = -9

1•-1+0•-1+2•3 = 5

1•-1+-3•-1+1•3 = 5

1.3Матричный метод:  

 

Обозначим через А  — матрицу коэффициентов при  неизвестных; X — матрицу-столбец  неизвестных; B - матрицу-столбец свободных  членов:

 

Вектор B:

B^T=(-9,5,5)

С учетом этих обозначений  данная система уравнений принимает  следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А —  невырожденная (ее определитель отличен  от нуля, то она имеет обратную матрицу  А^-1. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: А^-1*А*Х = А^-1*B, А^-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы  линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Система будет иметь  решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=4•(0•1-(-3•2))-1•(2•1-(-3•(-1)))+1•(2•2-0•(-1))=29

Итак, определитель 29 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для  этого найдем обратную матрицу через  алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу  А:

 

Тогда:

 

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)^i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица

 

Вычисляем алгебраические дополнения.

 

∆_1,1=(0•1-2•(-3))=6

 

∆_1,2=-(2•1-(-1•(-3)))=1

 

∆_1,3=(2•2-(-1•0))=4

 

∆_2,1=-(1•1-2•1)=1

 

∆_2,2=(4•1-(-1•1))=5

 

∆_2,3=-(4•2-(-1•1))=-9

 

∆_3,1=(1•(-3)-0•1)=-3

 

∆_3,2=-(4•(-3)-2•1)=14

 

∆_3,3=(4•0-2•1)=-2

Обратная матрица

 

Вектор результатов X

X=A^-1 • B

 

 

 

X^T=(-1,-1,3)

x₁=^-29 / ₂₉=-1

x₂=^-29 / ₂₉=-1

x₃=⁸⁷ / ₂₉=3

 

 

 

 

 

2.1Даны координаты пирамиды: S(0,1,0), A(3,7,-9), B(1,-2,2), C(-6,1,3)

 Координаты векторов

Координаты векторов находим по формуле:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i

здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;

Например, для вектора AB

X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁

X = 3-0; Y = 7-1; Z = -9-0

SA(3;6;-9)

SB(1;-3;2)

SC(-6;0;3)

AB(-2;-9;11)

AC(-9;-6;12)

BC(-7;3;1)

 Объем пирамиды

Объем пирамиды, построенный  на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

 

 

Находим определитель матрицы

∆ = 3 • ((-3) • 3-0 • 2)-1 • (6 • 3-0 • (-9))+(-6) • (6 • 2-(-3) • (-9)) = 45

Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A 
Расстояние d от точки S₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + S = 0 равно абсолютному значению величины: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1Угол между ребрами

Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:

 

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂

Найдем угол между  ребрами BD и BC

 

γ = arccos(0.79) = 142.19⁰