Контрольная работа по "Аналитической геометрии"

При необходимости более  детального просмотра увеличьте  масштаб документа!

www.otlichka.ru

Задача 1. Написать разложение вектора по векторам

 

 

Задача 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

 

векторы и коллинеарны.

 

Задача 3. Найти косинус угла между векторами и .

 

 

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

 

 

 

Задача 5. Компланарны ли векторы , и .

 

 

векторы , и не компланарны.

 

Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .

 

 

 

 

Задача 7. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

 

   

 

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

 

 

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

 

 

 

Т.к. вектор искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали, следовательно

 

 

 

Задача 9. Найти угол между плоскостями.

 

 

Задача 10. Найти координаты точки , равноудаленной от точек и .

 

 по условию

Отсюда,

 

Задача 11. Пусть -коэффициент гомотетии с центром в начале координат. Верно ли, что точка принадлежит образу плоскости ?

 

При преобразовании подобия с центром  в начале координат плоскость  переходит в плоскость .

                                        

Таким образом, точка  не принадлежит образу плоскости .

 

Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.

 

 

Найдем координаты одной из точек, через которые проходит прямая .

Зададим координате значение .

 

Итак, получается точка  с координатами

Уравнение прямой

 

 

 

Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

 

 

Подставим в уравнение  плоскости

 

Таким образом, координаты искомой точки

 

Задача 14. Найти точку , симметричную точке относительно прямой.

 

 

 

Найдем точку пересечения  прямой и плоскости.

- координаты точки пересечения.

Отсюда,

Следовательно, - искомая точка.