Контрольная работа по "Геометрии"

Вариант 7

1. Дан параллелограмм ABCD, три, вершины которого заданы A(4;2;-3) B(-5,6,-4) C(-2,-3,4) Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма.

Решение:

Найдем координаты вершин D(x,y,z). По свойству параллелограмма

отрезки AD и BC равны и параллельны. Отсюда следует что . 1. Найдем координаты векторов и .

У равных векторов соответствующие координаты равны так как , , то имеем систему уравнений

Следовательно

2. Вычислим в параллелограмме ABCD угол А.

A(4;2;-3) B(-5,6,-4) C(-2,-3,4)

Вычислим длинну векторов:

Вычисляем косинус угла А:

Ответ: Поскольку cosA<0, то угол А – тупой. Углы А и В параллелограмма ABCD являются внутренними односторонними при параллельных прямых AD и BC и секущей АВ.

 

2. Найти длину  высоты AD в треугольнике с вершинами  A , (-6;-4) B(3;-7), C(1;2) − и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB .

Решения:

Уравнение прямой проходящей через  точки С (x _c, y _c) и D (x _h, y _h) в общем виде:

Мы не знаем координаты точки D, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой CD.

Mы знаем, что прямая CD перпендикулярна прямой AB, следовательно, направляющий вектор прямой CD параллелен нормальному вектору прямой AB.

T.е. в качестве направляющего  вектора прямой CD можно принять нормальный вектор прямой AB.

Подставим координаты вектора D _AB = (-1, -3)

Подставим координаты точки C (1, 2).

-3 ( x - 1 ) = -1 ( y - 2 )

- 3 x + 3 = - y + 2

- 3 x + y + 1 = 0 - уравнение  высоты C D.

Как найти координаты точки D?

Точка D принадлежит прямой AB, следовательно, координаты точки D (x _h, y _h) должны удовлетворять уравнению прямой AB.

Точка D принадлежит прямой CD, следовательно, координаты точки D (x _h, y _h) должны удовлетворять уравнению прямой CD.

Составим систему из данных уравнений  и решим ее.

Получим координаты точки D (x _h, y _h).

Координаты точки D (-3/2, -11/2)

Рисунок 1

Найдем уравнение высоты CD проведенной из вершины С на сторону АВ и координаты точки V. 

Уравнение прямой проходящей через точки С (x _c, y _c) и D (x _h, y _h) в общем виде:

Мы не знаем координаты точки D, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой CD.

Mы знаем, что прямая CD перпендикулярна прямой AB, следовательно,  направляющий вектор прямой CD параллелен  нормальному вектору прямой AB.

T.е. в качестве направляющего  вектора прямой CD можно принять  нормальный вектор прямой AB.

Вектор _AB (-1, -3),

Подставим координаты вектора D _AB = (-1, -3)

Подставим координаты точки C (1, 2).

-3 ( x - 1 ) = -1 ( y - 2 )

- 3 x + 3 = - y + 2

- 3 x + y + 1 = 0 - уравнение  высоты CH.

Точка H принадлежит прямой AB, следовательно, координаты точки H (x _h, y _h) должны удовлетворять уравнению прямой AB.

Точка H принадлежит прямой CH, следовательно, координаты точки H (x _h, y _h) должны удовлетворять уравнению прямой CH.

Составим систему из данных уравнений и решим ее.

Получим координаты точки H (x _h, y _h).

Получим координаты точки D (x _h, y _h).

Координаты точки H (-3/2, -11/2).

 

Рисунок 2.

3 Найти угол  между плоскостью  и прямой, проходящей через начало координат и точку М (2,5,-3). Вычислить расстояние от точки М до плоскости

=

Решение:

Ответ: 1,069

 

4. Написать  уравнение перпендикуляра, опущенного  из точки М на прямую L 

  L 

Решение:

Из уравнения прямой получим

Тогда

Ответ: 4,352

5. Построить кривые по заданным уравнениям

Решение:

 

Рисунок 3.