Осевая симметрия

МКОУ СОШ №2

Реферат

По теме «Осевая симметрия»

 

 

Выполнила: Смецкая Екатерина

                     Ученица 11а класса

 

Проверила: Басарыгина А.А.

 

 

п. Локомотивный                 2013г

 
Содержание

 

Введение……………………………………………………………………3 стр.

Раздел I. Симметрия в математике, физике …..…………………………4 стр.

Раздел II. Осевая симметрия………………………………………………5 стр.

Раздел III. Симметрия растений…………………………..………….……6 стр.

Раздел IV. Симметрия животных………………………………….….…..7 стр.

Раздел V. Симметрия в архитектуре…………………………….…..……8 стр.

Заключение………………………………………………………….………9 стр.

Список литературы………………………………………………….……...10 стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Тема  моего реферата была выбрана после  изучения курса «Геометрия 10-11 класса»,  раздела «Осевая и центральная симметрия». Остановилась я именно на этой теме не случайно, мне хотелось узнать принципы симметрии, её виды,  разнообразие её в живой и неживой природе.

Как говорил  академик А.В. Шубников, посвятивший  изучению симметрии всю свою долгую жизнь: «Изучение археологических  памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело  представление о симметрии и  осуществляло её в рисунке и в  предметах быта. Надо полагать, что  применение симметрии в первобытном  производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной  мере и уверенностью человека в большей  пригодности для практики правильных форм».

Под симметрией (от греч. symmetria — соразмерность) в широком смысле понимают правильность в строении тела и фигуры. Учение о симметрии представляет собой большую и важную ветвь тесно связанную с науками разных отраслей. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например, зубчатые колеса.

Замечу  также, что симметрия широко используется в искусстве, особенно в европейском. Но в некоторых восточных культурах, например в японской, также широко используется асимметрия. Такая, подчеркнуто асимметричная структура, свойственна, в частности, канону дзэнского сада камней. Аналогичный принцип относится у японцев и к построению изображения на картине, которое должно быть сдвинуто к краю и занимает сравнительно небольшую площадь, уравновешиваясь более значительным свободным полем, символизирующим беспредельность мира.

Мне это  было интересно, потому что данная тема затрагивает не только математику, хотя она и лежит в её основе, но и другие области науки, техники, природы. Симметрия, как мне кажется, является фундаментом природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений людей.

Я обратила внимание на то, что во многих вещах, в основе красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды — от простейших до самых сложных. Можно говорить о симметрии, как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», регулярности и упорядоченности.

 

 

 

 

 

 

Раздел  I. Симметрия в математике, физике

 

По справедливому замечанию  Германа Вейля (известный математик прошлого столетия), у истоков симметрии лежит математика. Замечательные слова, сказанные им: «Симметрия… есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». Понятие симметрии раскрывается в учебнике «Геометрия 10-11», и для осознания этого понятия в школе данной формулировки я считаю достаточно.

Но вместе с тем симметрия воспринимается нами как элемент красоты вообще и красоты природы в частности. Математики вкладывают в понятие симметрия точный математический смысл, рассматривают специальные виды симметрии. И в результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать трудные задачи.

Итак, геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными. И если говорить о геометрических объектах, то симметрию можно будет называть геометрической, если о физических явлениях, то – физическая симметрия.

Симметрия – одно из фундаментальных понятий  в современной физике, играющее важнейшую  роль в формулировке современных  физических теорий. Симметрии, учитываемые  в физике, довольно разнообразны, начиная  с симметрий обычного трехмерного «физического пространства» (такими, например, как зеркальная симметрия), кончая более абстрактными и менее наглядными. Некоторые симметрии в современной физике считаются точными, другие – лишь приближёнными. Исторически использование симметрии в физике прослеживается с древности, но наиболее революционным для физики в целом, по-видимому, стало применение такого принципа симметрии, как принцип относительности (как у Галилея, так и у Пуанкаре-Лоренца-Эйнштейна), ставшего затем как бы образцом для введения и использования в теоретической физике других принципов симметрии, которые привели к общей теории относительности Энштейна.

В теоретической  физике поведение физической системы описывается обычно некоторыми уравнениями. Если эти уравнения обладают какими-либо симметриями, то часто удаётся упростить их решение путём нахождения сохраняющихся величин. Например, следует, что инвариантность (неизменность) уравнений движения тела с течением времени приводит к закону сохранения энергии; инвариантность относительно сдвигов в пространстве – к закону сохранения импульса; инвариантность относительно вращений – к закону сохранения моментов импульса.

 

 

 

 

Раздел  III. Осевая симметрия

 

Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: «Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры». Тогда говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

В более  узком смысле осью симметрии называют ось симметрии второго порядка  и говорят об «осевой симметрии», которую можно определить так: фигура (или тело) обладает осевой симметрией относительно некоторой оси, если каждой её точке Е соответствует такая принадлежащая этой же фигуре точка F, что отрезок EF перпендикулярен к оси, пересекает её и в точке пересечения делится пополам.

Приведу примеры фигур, обладающих осевой симметрией.  У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник— три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат— четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной  оси симметрии. К таким фигурам  относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел  IV. Симметрия растений

 

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Среди цветов наблюдаются поворотные симметрии разных порядков. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой. Такой цветок обладает осью симметрии. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называется элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120^º, для колокольчика – 72^º, для нарцисса – 60^º. Поворотную ось можно характеризовать и с помощью другой величины, называемой порядком оси и показывающей, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360^º. Те же цветы ириса, колокольчика и нарцисса обладают осями третьего, пятого и шестого порядков соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка. Это такие полевые цветы как колокольчик, незабудка, зверобой, лапчатка гусиная и др.; цветы плодовых деревьев – вишня, яблоня, груша, мандарин и др., цветы плодово-ягодных растений – земляника, ежевика, малина, шиповник; садовые цветы – настурция, флокс и др.

В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т. е. совмещающиеся со своим первоначальным положением   после   поворота   на угол   вокруг  оси,   дополненного сдвигом вдоль той же оси.

Винтовая  симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса, что буквально означает строение листа. Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.

Билатеральной симметрией обладают также органы растений, например, многие стебли с двурядно расположенными листьями или боковыми побегами, стебли многих кактусов и т.п. Билатеральными называются также листья, у которых верхняя и нижняя поверхности различны по строению.

В ботанике часто встречаются радиально симметрично построенные цветы: 3 плоскости симметрии имеет водокрас лягушачий, 4 – лапчатка прямая, 5 – колокольчик, 6 – безвременник.

 

 

Раздел V. Симметрия животных

 

Внимательное  наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды – от простейших до самых сложных. Симметрия в строение животных – почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила.

Под симметрией у животных понимают соответствие в  размерах, форме и очертаниях, а  также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных  сторонах разделяющей линии. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симметрии, такие как радиальную (лучевая) или билатеральную (двусторонняя), которые являются основными типами симметрии. Кстати, склонность к регенерации (восстановление) зависит от типа симметрии животного.

В биологии о радиальной симметрии идёт речь, когда через трёхмерное существо проходят две или более плоскости симметрии. Эти плоскости пересекаются в прямой. Если животное будет вращаться вокруг этой оси на определённый градус, то оно будет отображаться само на себе. В двухмерной проекции радиальная симметрия может сохраняться, если ось симметрии направлена перпендикулярно к проекционной плоскости. Иными словами, сохранение радиальной симметрии зависит от угла наблюдения.

При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Среди них встречается так называемая пентасимметрия, базирующаяся на пяти плоскостях симметрии.

Радиальная  симметрия характерна для многих стрекающих, а также для большинства иглокожих, кишечнополостных. Взрослые формы иглокожих приближаются к радиальной симметрии, в то время как их личинки билатерально симметричны.

Лучевую симметрию мы также видим у медуз, кораллов, актиний, морских звёзд. Если вращать их вокруг собственной оси, они несколько раз «совместятся сами с собой». Если отрезать у морской звезды любое из пяти щупалец, оно сумеет восстановить всю звезду. От радиальной симметрии различаются двулучевая радиальная симметрия (две плоскости симметрии, к примеру, гребневики), а также билатеральная симметрия (одна плоскость симметрии, к примеру, двусторонне-симметричные).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Радел VI. Симметрия в архитектуре

 

Принцип симметрии играет важную роль и в архитектуре. «Архитектура – по словам Н.В. Гоголя – это летопись мира». Она несет в себе уникальную информацию о жизни людей в давно прошедшие исторические эпохи.

Термин  «симметрия» в разные исторические эпохи использовался для обозначения разных понятий. Для греков симметрия означала соразмерность. Считалось, что две величины являются соразмерными, если существует третья величина, на которую эти две величины делятся без остатка. Здание (или статуя) считалось симметричным, если оно имело какую-то легко различимую часть, такую, что размеры всех остальных частей получались умножением этой части на целые числа, и таким образом исходная часть служила видимым и понятным модулем. Ещё в Древности греки строили пирамиды строго симметрично. Те же развалины Парфенона на Акрополе служат доказательством этого.

Симметрия в Средневековье присутствовала в романском стиле (сооружения в  форме креста), в готике (архитектурные  конструкции имели прямоугольный  или крестообразный вид). На смену  готике пришёл стиль «барокко», который  использовал асимметрию. Но смену  этому стилю приходит «классицизм» – самый симметричный из всех известных  стилей. Практически поворот на 180 градусов произошел при смене  классицизма модерном. Стиль «модерн» использует асимметрию – волнообразное  построение архитектурных композиций. В настоящее время каких-либо стилей нет, каждый архитектор работает в своей манере.

Композиция  в русской традиционной архитектуре в значительной степени основывалась на специфическом применении симметрии, широко применялись как классическая, так и неклассические симметрии. Применение симметрии основывалось на особенностях зрительного восприятия сооружений в натуре. Поэтому на чертежах и планах симметрия может отсутствовать.