Основні поняття стереометрії. Аксіоми стереометрії

Тема уроку.  Основні поняття стереометрії. Аксіоми стереометрії.

Мета уроку:  узагальнення відомостей про просторові фігури. Вивчення аксіом стереометрії.

Обладнання:   стереометричний набір, моделі многогранників, схема «Аксіоми стереометрії» (с. 16).

Хід уроку

І. Узагальнення та систематизація знань учнів

Просторові  геометричні фігури

В 7—9 класах ви познайомилися з планіметрією. Планіметрія — це розділ геометрії, в якому вивчають властивості плоских геометричних фігур: трикутників, паралелограмів, кіл тощо.

Але крім плоских фігур  існують і просторові фігури: прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда, циліндр, конус, куля. Багато оточуючих нас предметів мають форму прямокутного паралелепіпеда: класна кімната, цегла, сірникова коробка тощо. Популярна в усьому світі іграшка — кубик Рубика — має форму куба. Добре відомі піраміди Стародавнього Єгипту дають нам уявлення про широкий клас геометричних тіл, які називаються піралодами.

У курсі креслення  і математики 5—6 класів ви вчились  будувати зображення цих просторових фігур. На рис. 1 зображено прямокутний паралелепіпед.

Прямокутний паралелепіпед — це просторова геометрична фігура, обмежена шістьма прямокутниками, які називаються гранями. Сторони прямокутників називаються ребрами прямокутного паралелепіпеда, а вершини прямокутників — вершинами прямокутного паралелепіпеда.

Завдання.

Назвіть вершини, ребра, грані прямокутного паралелепіпеда, зображеного на рис. 1.

Куб — це прямокутний паралелепіпед, у якого всі шість граней квадрати (рис. 2).

Завдання.

Назвіть передню, задню, ліву, праву, верхню, нижню грані куба, зображеного на рис. 2.

Верхню і нижню грані  прямокутного паралелепіпеда називають основами, а ребра цих граней — ребрами основи, інші ребра називають бічними ребрами, а інші грані — бічними гранями.

Завдання.

Назвіть бічні ребра  прямокутного паралелепіпеда (див. рис. 1) та куба (див. рис. 2).

п-кутною пірамідою називається геометричне тіло, обмежене п-кутником (який називається основою піраміди) і п трикутниками (бічними гранями) із спільною вершиною (яка називається вершиною піраміди). На рис. З зображено трикутну піраміду, яку ще називають тетраедром, на рис. 4 — чотирикутну піраміду.

Завдання.

Назвіть основи, бічні  грані, бічні ребра, ребра основи, вершини пірамід, зображених на рис. З і 4.

Паралелепіпеди і піраміди — це представники великого класу геометричних фігур, які називаються многогранниками. Крім многогранників у геометрії розглядають і інші просторові фігури: циліндри, конуси, кулі тощо.

Розділ геометрії, в  якому вивчаються властивості просторових фігур, називається стереометрією.

В 10 та 11 класах ми будемо вивчати властивості просторових  фігур.

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Основні поняття  стереометрії

Основними фігурами в  просторі є точка, пряма і площина.

Уявлення про точки і прямі ви маєте з курсу планіметрії. Нагадаємо, що точки позначаються великими латинськими буквами, наприклад, точки А, В, С...; прямі позначаються малими латинськими буквами, наприклад, прямі а, Ь, с,.,, або двома великими буквами, наприклад, прямі АВ, ВС, СВ... Матеріальними моделями частини площини є, наприклад, поверхня стола, поверхня віконного скла, поверхня мармурової плити тощо. У геометрії площину мислять необмеженою, ідеально рівною і гладенькою.

Зображають площини  у вигляді паралелограма (рис. 5) або у вигляді довільної області (рис. 6).

Позначають площини  грецькими буквами, наприклад, площини а , Р , У... На рис. 5 зображено площину а , на рис. 6 — площину р . Грані многогранників —г це частини площин.

Як і будь-яка геометрична  фігура, площина складається з точок. Якщо точка А лежить у площині а , говорять, що площина а проходить через точку А, і записують: А є а. Якщо точка А не лежить у площині а , говорять, що площина а не проходить через точку А, і записують: А £ <х.

Якщо кожна точка прямої а лежить у площині а , говорять, що пряма а лежить у площині а , або площина а проходить через пряму а, і записують: аса. Запис а <х а означає, що пряма а не лежить у площині а .

Завдання.

Побудуйте та запишіть за допомогою символів:

а) площину а і точку А, що лежить у ній;

б) площину а і точку В, яка не лежить у ній;

в) площину р , яка проходить через пряму а;

г) площину у та пряму а, яка не лежить у площині у;

д) дві площини а і Р , які проходять через пряму с;

Аксіоми стереометрії

Як і в планіметрії, властивості основних фігур у стереометрії виражаються аксіомами.

Нагадаємо, що в планіметрії  властивість прямих і точок виражалася аксіомою:

Яка б не була пряма, існують точки, які належать їй, і точки, які їй не належать.

Наприклад, на рис. З (див. с. 13) точки А і В належать прямій АВ, а точки 8 і С ЇЙ не належать.

Взявши яку-небудь площину (наприклад, площину підлоги класної  кімнати), ми можемо вказати точки, які  належать цій площині, і точки, які  їй не належать. Тому однією із властивостей площини є аксіома С^ : Яка б не була площина, існують точки, які належать цій площині, і точки, які не належать їй.

Завдання.

Користуючись зображенням  куба на рис. 2 (див. с. 13), вкажіть точки, які:

а)  не належать передній грані;    б)   належать верхній  грані; 
в)  належать грані АВСО; г)   не належать грані А,В₁ВА .

Розглянемо другу аксіому  стереометрії С₂ :

Якщо дві  різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Наочною ілюстрацією  цієї аксіоми є перетин двох стін, стіни і підлоги класної кімнати. Завдання. Користуючись рис. 1 (див. с. 12), вкажіть:

а) спільні точки верхньої і передньої граней;

б) пряму перетину площин задньої і нижньої граней;

в) спільні точки площин граней АВВ₁А₁ і А₁В₁С₁О₁;

г) пряму перетину площин граней А₁В₁С₁О₁ і ВВ^С .

Ніяких інструментів, якими можна було б проводити  у просторі площини, немає. Тому вираз  «можна провести площину» вживається у розумінні «існує площина». Третя аксіома стереометрії С₃ стверджує:

Якщо дві  різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Завдання.

1. Користуючись рис. 1 (див. с. 12), вкажіть, яку площину визначають прямі:

а) АВ і АВ; б) ВС і ССІ;        в) ДС і СС,; г) А& і В,А .

2. Користуючись зображенням куба на рис. 2 (див. с. 13), доведіть, що можна провести площину через прямі:

а) АС і СС, ;         б) АВ і £>С,.

3. Щоб поверхня розпилу чотирикутної балки (рис. 7) була плоскою, столяр зробив так: позначив  на  ребрі  балки  точку А і провів від неї в потрібному напрямі два відрізки АВ і АС. У суміжних гранях балки, потім направив пилку по намічених відрізках. Поясніть, чому повинна утворитися плоска поверхня розпилу.

 

 

 

 

 

 

 

зв'язання задачі № З

Нехай дві різні площини  а і Р мають спільні точки: ... (рис. 10). ЗгідІ з аксіомою ... площини ... перетинаються по ..., яка містить точки А, В, (ОЇж^е', точки ... лежать на ... перетину даних ..., тобто на ... прямій

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Теоремапроіснуванняплощини.якапроходитьчерезданупрямуідануточку

Один спосіб визначення площини в просторі відомий (аксіома  С₃ ): д: прямі, які перетинаються, визначають у просторі площину, і до того тільки одну.

Другий спосіб задання  площини дає теорема:

Через пряму і точку, яка не належить їй, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Нехай АВ — дана пряма  і С — точка, яка їй не належить (рис. 11 Доведення (існування площини)

Доведення (єдиність площини)

Доведемо від супротивного. Припустимо, що існує дві площини  І і р , які проходять через  пряму АВ і точку С. За аксіомою С₂ площин а і Р перетинаються по прямій, якій належать А, В, С, що суперечна умові. Отже, площина, яка проходить через пряму і точку, що не нал< жить прямій, єдина.

Завдання.

1. Вкажіть пряму і точку, за допомогою яких можна задати площину основи куба (див. рис. 2, с. 13), тетраедра (див. рис. З, с. 13).
2. Дано зображення куба АВСОА^С^. Якій площині належить.:
3. а)  пряма АВ і точка В;     

б) пряма ВВ₁ і точка С, ;

в)  пряма АС і точка  С[ ?

III. Закріплення та осмислення знань учнів

Виконання вправ

1. Доведіть, що через пряму і точку, яка лежить на прямій, можна провести площину.
2. Задача № 7 із підручника (с. 9).
3. Пряма а лежить в площині а . Доведіть, що через пряму а можна провести площину р , відмінну від а.
4. Дано десять точок, які не лежать в одній площині. Чи можуть дев'ять із них лежати на прямій? Відповідь обґрунтуйте.
5. Чи можна через точку О перетину двох даних прямих а і Ь провести третю пряму с, яка не лежить з прямими а і Ь в одній площині? Відповідь обґрунтуйте.
6. Задача № 4 із підручника (с. 9).

IV. Домашнє завдання

§ 1, п. 2; контрольне запитання  № 3; задача № 6 (с. 9).

V. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1. Скільки площин можна провести через пряму а і точку В, яка не належить прямій а?
2. Скільки площин можна провести через пряму а і точку А, яка лежить на прямій а?
3. Через пряму а і точку В можна провести дві різні площини. Як розташовані пряма а і точка В?

УРОК № З

Тема уроку.       Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників.

Мета уроку: ознайомлення учнів із взаємним розташуванням прямої і площини у просторі. Вивчення теореми про належність прямої до площини. Формування поняття перерізу многогранника.

Обладнання: моделі многогранників, схема «Взаємне розміщення прямої і площини» (с. 21), стереометричний набір.

Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальне опитування.

1. Скільки площин визначають дві прямі, які перетинаються?
2. Скільки площин визначають пряма і точка?
3. Скільки площин можна провести через три прямі, які мають спільну точку?
4. Скільки площин можна провести через пряму і дві точки, які не належать їй?

2. Перевірка правильності виконання задачі № 6.

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Теорема про  належність площині прямої, дві точки  якої належать площині

Теорема.

Дано: Вє а, Сє а (рис. 12). Довести: ВС с а .

Доведення

Візьмемо точку А, яка не лежить на прямій ВС (згідно з аксіомою І) Через пряму ВС і точку А проведемо площину а' .

 

Якщо площини а і  а'  збігаються, то площина а містить  пряму ВС (рис. 13).

 

Якщо площини а і  а' різні, то вони перетинаються по прямій а, якії містить точки В і С (рис. 14). За аксіомою І прямі а і ВС збігаються^ отже, пряма ВС лежить в площині а..

Виконання вправ

 

1. Доведіть, якщо вершини трикутника АВС належать деякій площині а , то трикутник АВС лежить в цій площині.

 

2. Доведіть, що чотирикутник АВСВ лежить в одній площині, якщо його діагоналі АВ і ВО перетинаються.

 

3. Доведіть, що чотирикутник АВСО — плоский, якщо продовження двох протилежних сторін АВ і СО перетинаються.
4. Як перевірити якість виготовлення лінійки за допомогою добре

відшліфованої плити?

5. Задача № 9 із підручника (с. 9).
6. Задача № 11 із підручника (с. 10).

Взаємне розміщення прямої і площини

Із доведеної теореми  випливає, що площина і пряма, яка  не лежить у площині, або перетинаються, або не перетинаються.

Отже, можливі такі випадки взаємного розміщення прямої .і площини (схема «Взаємне розміщення прямої і площини»):

а) площина а не має з прямою а спільних точок;

б) пряма а  має з прямою а одну спільну точку;

в) пряма а лежить у площині а .

Завдання.

На предметах оточуючого простору покажіть різні випадки взаємного розміщення прямої і площини.

Поняття перерізу многогранника

У стереометрії розглядають  перерізи многогранників.

Перерізом многогранника називається многокутник, який утворюється при перетині многогранника з площиною. Вершини цього многокутника є точками перетину січної площини з ребрами многогранника, а сторони — частинами прямих перетину січної площини з його гранями.

Для побудови простих  перерізів необхідно вміти розв'язувати  дві опорні задачі:

1. будувати лінію перетину двох площин;
2. будувати точку перетину прямої і площини.

Для побудови лінії перетину двох площин — січної площини і  грані многогранника — знаходять  дві точки шуканої прямої і  через них проводять пряму.

МНМІ1

Виконання вправ

1. Дано зображення трикутної піраміди (рис. 15). Побудуйте перері; 
   піраміди площиною, яка проходить через пряму АВ і точку С.
2. Дано зображення куба (рис. 16). Побудуйте переріз куба шющи 
   ною, яка проходить через пряму АВ і точку С.
3. У трикутній піраміді 8АВС всі ребра дорівнюють 10 см. Побудуй 
   те переріз піраміди площиною, яка проходить через ребро А5 
   і точку М — середину ребра ВС. Знайдіть периметр побудовано 
   го перерізу.