Основные факты геометрии Лобачевского

L(EF)=1

1. E=F.

M N значит, (EF, MN) 1, знаменатель 0.

2. и числитель и знаменатель больше 0, т.к. (AB, uv) > 0, (AB, uv) 1.

(EF,MN)>0, 1.

l(AB)>0.

3. если поменять местами u и v или M и N, то l(AB) не меняется.

ln (AB, uv) = – ln (AB, uv).

Докажем выполнимость аксиомы 5(аксиома существования отрезка заданной).

При любом  выборе единичного отрезка для любого d>0 существует отрезок длины d.

 

 возьмем на прямой (u,v) точку А.

 

По свойствам  длины отрезка на прямой (u,v) , такая, что длина отрезка

(u, v) – проективная прямая.

 

Покажем выполнимость аксиомы Лобачевского на модели, т.е. мы должны показать, что  через точку не принадлежащую  данной прямой проходит не менее 2-х  прямых не пересекающих данную.

Пусть отрезок  ]u,v[ изображает данную прямую а в плоскости Лобачевского.   и пусть дана .

Рассмотрим  два отрезка ]v₁,v[ и ]u₁,u[. Эти отрезки изображают прямые Лобачевского, которые проходят через т.А и не пересекают данную прямую.

]v₁,v[ ]u,v[ =

]u₁,u [ ]u,v[ =

VI* выполняется.

Итак, мы построили модель плоскости Лобачевского на понятиях ЕГ.

Вывод: ГЛ непротиворечива, если непротиворечива ЕГ.

 

Взаимное расположение прямых на

Модели плоскости Лобачевского.

Дать  определение параллельных и расходящихся прямых в смысле геометрии Лобачевского.

Пусть дана прямая а и т. и пусть прямая а изображена отрезком ]u,v[.

 

 

Покажем, что  изображает прямую в плоскости Лобачевского проходящую через точку А и параллельная прямой а  в направлении ]u,v[.

1) проверим, что прямая ]u,v[

2) критерий  угла: для любой точки Р принадлежащей открытому отрезку ]u,v[ любой луч проходящий между сторонами угла PAV пересекает ]u,v[.

Действительно, по определению луча проходящего между сторонами угла, каждый указанный луч пересекает отрезок с концами на сторонах угла (отрезок PV), то есть с точки зрения ГЛ все эти лучи пересекают прямую а.

2 условие  выполнено.

Аналогично ][ изображает прямую плоскости Лобачевского, проходящий через А и ║ А в направлении uv.

Прямые , пересекаясь в точке А образуют 2 пары вертикальных углов.

Все прямые проходящие через точку А внутри одной пары вертикальных углов (содержащих точку Р) пересекают прямую а , а все прямые проходящие через точку А внутри другой пары вертикальных углов является расходящимся с прямой а.

Докажем, что эти прямые являются расходящимися.

 расходящиеся

1)

 не параллельны

Луч AQ пересекает проективную прямую (uv), т.е. прямую на расширенной плоскости в точке Q а, Q .

С точки  зрения ГЛ луч АМ не принадлежит  прямой а. это значит, что ) в данном направлении.

В противоположном  направлении они тоже  не параллельны.

Итак, мы доказали существование параллельных и расходящихся прямых на модели плоскости Лобачевского.

Вывод: на расширенной евклидовой плоскости  любые 2 проективные прямые пересекаются.

Эта точка  может принадлежать может принадлежать и может являться внешней относительно рассматриваемого круга.

В зависимости  от этого получим 3 различных случая взаимного расположения на плоскости:

1) (uv) (wz) = P

В этом случае прямые на плоскости Лобачевского пересекаются.

2) проективные  прямые

(uv) (wz) = v = z

3) (uv) (wz) = P, P

В этом случае прямые в плоскости Лобачевского являются расходящимися.

Замечание:

Поскольку система аксиом в геометрии Лобачевского полная (доказывается с помощью изоморфизма  любой модели, арифметической модели), то существование параллельных и  расходящихся прямых можно считать  доказанным  для любой модели.

Кроме рассматриваемой  модели существуют другие модели.

Под прямыми понимаются геодезические треугольники.

, что эквивалентно аксиоме  параллельности Лобачевского относительно  абсолютной геометрии.