Плоскости и прямые в пространстве

 

Направляющий вектор прямой будет перпендикулярным нормалям плоскостей. Значит, направляющий вектор можно найти с помощью векторного произведения.

 

 

 

З а д а ч а: Записать канонические уравнения прямой

 

Решение:

1) Найдем  одно из решений системы. Так  как  , то этот минор можно выбрать в качестве базисного минора матрицы системы. Следовательно, переменные и можем выбрать в качестве базисных, а переменную – свободной. Так как нам не нужно все множество решений системы, то придадим переменной конкретное значение. Например, полагаем . Тогда переменные   и будут удовлетворять системе

Решаем эту систему  по формулам Крамера и получаем:

, , ;

  , .

Таким образом, – одно из решений системы, и точка – точка на рассматриваемой прямой.

2) Найдем  направляющий вектор    прямой.  Имеем:

,     ;

  .

Следовательно, в качестве направляющего  вектора прямой можем взять вектор  ,  и канонические уравнения рассматриваемой прямой будут иметь вид:

.

 

Ответ:

 

Аналитические условия скрещивающихся, пересекающихся, параллельных и совпадающих двух прямых в пространстве. Аналитическое условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

 

Пусть даны две прямые и с направляющими и соответственно и две точки и лежащие на прямых соответственно.

 

О п р е д е л е н и е: Две прямые в пространстве параллельны, если лежать на одной плоскости и не имеют общих точек.

 

Из определения направляющего  вектора прямой известно, что .

 

,

 

 

 

О п р е д е л е н и е: Две прямые в пространстве совпадают, если направляющие параллельны и вектор построенный из любых двух точек параллельна направляющим.

 

 

 

О п р е д е л е н и е: Две прямые в пространстве пересекаются, , если лежать на одной плоскости и не параллельны и не совпадают.

 

 

 

О п р е д е л е н и е: Две прямые в пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Иначе говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.

 

З а д а ч а: Выяснить взаимное расположение плоскостей

 

:       и     : 

 

Решение:

Векторы    и   параллельны. Следовательно прямые параллельны.

 

Ответ: параллельны.

 

З а д а ч а: Выяснить взаимное расположение плоскостей

 

:       и     : 

Решение:

Направляющие векторы  не параллельны и ( , ,) = 0

Ответ: пересекаются.

 

Определение и формула вычисления угла между двумя скрещивающимися  прямыми. Аналитическое условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

 

О п р е д е л е н и е: Углом между двумя скрещивающимися прямыми и называется угол между прямой и прямой , где произвольная прямая удовлетворяющая условиям и , лежат на одной плоскости.

 

Иначе говоря, угол между  скрещивающимися прямыми – это  угол между двумя пересекающимися  прямыми, параллельными данным

 

Пусть даны две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые:

 

 

 

 

 

Так как один из углов между прямыми равен углу между их направляющими векторами, а второй угол ,  то углы могут быть найдены по формуле

 

 

(12.1)

 

где знак плюс берется в  том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус –  когда надо найти величину тупого угла.

 

Две прямые параллельны если или . Это означает, что угол между прямыми равна 0, либо 180 градусам.

 

Две прямые перпендикулярны если . Это означает, что угол между прямыми равна 90 градусам.

 

З а д а ч а: Найти угол между прямыми:

 

 

 

 

 

Решение: Воспользуемся формулой (12.1) и найдем острый угол между прямыми.

 

 

 

 

Ответ:

 

Формула вычисления расстояния от точки  до прямой и между двумя параллельными прямыми в пространстве.

 

Пусть дана прямая

 

 

 

и – точка, не принадлежащая этой прямой. Обозначим – направляющий вектор прямой , – точка на прямой , – расстояние от точки до .

Рассмотрим параллелограмм, построенный  на векторах и . Тогда – высота этого параллелограмма, опущенная из вершины . Следовательно,

 

 

Для нахождения расстояния между двумя  параллельными прямыми достаточно найти расстояние от любой точки  одной прямой до другой прямой.

 

 

 

 

 

 

 

З а д а ч а: Найти расстояние от точки до прямой

 

 

Решение: Из условия задачи имеем , . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

Формула вычисления расстояния между  двумя скрещивающимися прямыми.

 

О п р е д е л е н и е: Расстоянием  между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

 

Пусть даны две скрещивающиеся прямые

 

 

 

 

 

и – расстояние между

 

 

и  – расстояние между    и . 

Построим  плоскость  , проходящую через прямую параллельно .  Тогда   – расстояние от прямой    до плоскости .  Найти это расстояние можно по формуле:

,

где  – общее уравнение плоскости  , 

 – любая точка на прямой  .