Все основные свойства функции

Функция

Основные свойства

График

Функция  
прямой пропорциональности

   График прямой  пропорциональности представляет  собой прямую, проходящую через начало координат.

 Прямая пропорциональность  является частным случаем линейной  функции.

   Свойства функции y = kx:

1. Область определения  функции - множество всех действительных  чисел.

2. Это нечетная функция.

3. Переменные изменяются  прямо пропорционально на всей  числовой прямой: при возрастании  аргумента функция пропорционально  возрастает, при убывании аргумента  функция пропорционально убывает.

Линейная функция

       Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

      Графиком линейной функции является прямая.

      Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b.

     Если k > 0, то угол наклона прямой y = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой.  
       Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются. А если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

    График функции y = kx + b, где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой y = kx.

Функция  
обратной пропорциональности

Обратной пропорциональностью  называется функция, которую можно  задать формулой:

         k

  y = —

         x

где x – независимая переменная, 
а k – не равное нулю число.

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой.

Для кривой, которая является графиком этой функции, оси x и y выступают в роли асимптот.  
Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

                                          k

 Свойства функции y = —:

                                          x

1. Область определения  функции - множество всех действительных  чисел, кроме нуля.

2. Это нечетная функция.

3. При возрастании аргумента  функция пропорционально убывает,  при убывании аргумента функция  пропорционально возрастает.

Квадратичная функция

График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через  начало координат.  
   Это функция: y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a  0. 
 
Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной  параболы. Координаты вершины параболы:  
 
Прямая         является осью симметрии графика квадратичной функции. 
При  ветви     параболы направлены вниз, при    — вверх.

 
  Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

   - область определения  функции: -  < x < +   ( т.e.  x  R ), а область

 значений;

    - функция в  целом не монотонна, но справа или слева от вершины  ведёт себя, как монотонная;

  - функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при   b = c = 0,  и непериодическая;

  - при D < 0 не имеет нулей.

Показательная функция

Функция   y = ax, где a -  положительное постоянное число,  называется показательной функцией.  Аргумент  x  принимает любые действительные значения;  в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию.  
Так, функция  y = 81x имеет  
при  x = 1/4 четыре различных значения:  y = 3, 
  y =  -3, 
  y = 3 i  и y =  -3 i  
Рассматриваем в качестве значения функции только  y = 3.  
Графики показательной функции  
для  a = 2  и a = 1/2   
представлены на рис.. 
Они проходят через точку ( 0, 1 ). 
При a = 1 мы имеем график прямой  линии,  параллельной оси Х, 
т.e.  функция превращается в постоянную величину, равную 1. 
При a > 1  показательная функция возрастает,  a при   0 <  a < 1 – убывает.

 
Основные характеристики и свойства показательной функции:

      - область  определения функции: -  < x < +   ( т.e. x  R ); область значений:  y > 0 ;

   - функция монотонна:  возрастает при  a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

   - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

    -  нулей функция  не имеет.