Есептің экономикалық және математикалық қойылымы

КІРІСПЕ

 

Қазырғы кезеңдегi ғылымдардың  даму ерекшелiктерiнiнiң бiрi-олардың  әр түрлi салаларын зерттеуде математикалық  әдiстер кең қолданылуда. Осы курстың  негізгі түсінігі болып математикалық  модель саналады. Қазіргі уақытта  бір-бірінен анықтамасы бойынша айырмашылығы көп "модель" түсінігі көптеп кезігеді. Жалпы жағдайда модель сөзі – бұл нақты объектінің бейнесі. Мұндай бейне ретінде сызбаны, фотографины және т.б. алуға болады.

Сонымен, модель-зерттеуге  тиімді болу үшін алынған объектінің шартты образы. Математикалық модельдеу дегеніміз-зерттегелі отырған  эономикалық процесстерді  немесе құбылысты  белгілі бір математикалық өрнектер түрінде бейнелеу немесе сипаттау. Бұл модель экономикалық процесс заңдылықтарын математикалық қатынастардың көмегімен абстрактілі түрде өрнектеу. Экономикалық-математикалық модельдеу процесі-экономикалық математикалық моделдеу (ЭММ) деп аталады.

Әрине, экономикалық объектіні  моделдеу және математикалық моделін  құру өндірістік процесстердің экономикалық талдауын математикалық анализге әкеліп, және тиімді шешім қабылдауға мүмкіндік береді.

Модельдер екiге бөлiнедi:

• Ақыл-ой моделi: үй схемасы, масштабы т.б.

• Физикалық модель: самолет  макеті, үй макеті және т.б.

Экономикалық модельді құру.

1.  Зерттеудің мақсаты мен заты талданады.

2.  Қарастырылып отырған экономикалық жүйеде берілген мақсатқа сәйкес келетін құрылымдық немесе функционалдық элементтер бөлініп, осы элементтердің өте қажет сапалы мінездемелері айқындалады.

3. Модель элементтерінің арасындағы өзара байланыс сөзбен, сапалы түрде сипатталады.

4. Экономикалық объекттердiң алынған мінездемелеріне символдық белгілеулер енгізіп,   олардың арасында өзара байланыстың қаншалықты болуын пішіндеу. Осылайша математикалық модель құру.

5. Математикалық модель бойынша есептеулер мен алынған шешімнің талдауы жүргізіледі.

Өндірісті талдау мен  жоспарлауда қолданылатын барлық экономика-математикалық  модельдерді екi топқа бөлуге болады. Бiрiншi топты мазмұны жеке шаруашылықтағы экономикалық талдау мен жоспарлаудан тұратын микроэкономикалық модельдер құрайды, ал екінші топты экономикалық талдаудың мәселелерін шешіп, қарастырудан тұратын макроэкономикалық модельдер құрайды.

Экономико-математикалық  моделдерді сонымен қатар уақыт  факторының есебіне байланысты  былай бөледі: статистикалық (барлық тәуелділіктер бір уақыт мезетіне жатқызылады) және динамикалықе (дамудағы экономикалық жүйені сипаттайды); нақты және жуық; математикалық аппарат түріне байланысты: матрицалық, сызықтық, сызықтық емес, корреляция-регрессиялық және т.б.

Симплекс әдісінің жалпы ережесі босмүшелері теріс таңбалы емес, ал шектеулері канондық және бірлік базистік түрге келтірілген есептерге ғана қолданылады.

Тәжірибеде  шектеулері канондық түрге және оң таңбалы бірлік базиске келтірілген, бірақ бос мүшелері теріс таңбалы  есептер «М» - әдісімен, жасанды базистер енгізу арқылы шығарылуы мүмкін. Бірақ есептің өлшемі өскен сайын «М» -әдісінің тиімділігі азаяды, есептеу жұмыстары қиындай бастайды.Сондақтан, симплекс алгоритмін жеңіл  орындауға бағытталған басқа алгоритмдер, оның ішінде қарапайым симплекс алгоритмінің негізінде жасалған модификациаланған алгоритмдер көңіл аударуғе тұрарлық және маңызды.

ЖАЛПЫ БӨЛІМ

1.1 Пәндік аумақты сипаттау

Cызықтық бағдарламалау  есептерін симплекс әдісімен  шығару үшін оны

канондық түрге  келтіріп алғашқы таяныш шешімін анықтау қажет. Содан соң

симплекс әдісінің алгоритмі мен есептің оптималды  шешімін немесе шешімі

болмайтындығын  табады.

Cызықтық бағдарламалау  есептері ӛзінің оптималды шешімін кӛпбұрыштың

бұрыштық нүктесінде қабылдайды. Бұрыштық нүктенің координаталары – есептің

базистік шешімі деп аталады. Базистік шешімдерді шектеулерді  қарапайым

түрлендірулер арқылы немесе басқа әдістермен анықтауға  болады.

Cызықтық бағдарламалау  есебінің канондық түрінде жазылған (2.3) шектеулерін

қарастырайық. Бұл шектеулер n белгісізі бар m сызықтық теңдеулерден тұрады.

Айталық m < n болсын, бірақ тәжірибеде кӛбінесе m > n және m = n болып келеді.

(2.3) есебінің шектеулеріндегі айнымалыларды екі топқа бӛлуге болады. Бірінші топ

– негізгі (тәуелді) айнымалылар, олардың саны m сызықтық тәуелсіз теңдеулердің

санына тең, ал екіншісі – негізгі емес (тәуелсіз) айнымалылар, олардың саны n -m.

(2.3) есебінің шектеулері жүйелі қарапайым түрлендірулерден кейін мына түрге келтірілсін:

(2.8)

мұндағы b (i m) i ¢ ³ 0 =1, .

(2.8) жүйесіндегі m x , x , ... , x 1 2 белгісіздерінің коэффициенттері бірлік векторларын

құрайды.

E , E , ..., Em 1 2 бірлік векторлары m ӛлшемді кеңістіктің базисін құрайды, ал

m x , x , ..., x 1 2 айнымалылары базистік деп аталады. Егер айнымалы теңдеулер

жүйесіндегі бір  теңдеуге ғана бірге тең коэффициентпен енсе, онда ол базистік

болып табылады.

Қалған айнымалылар  базистік емес деп аталады.

Базистік емес (тәуелсіз) айнымалыларды нӛльге теңеп базистік (тәуелді)

айнымалылардың  мәнін табатын жеке шешім таяныш шешім деп аталады. Сонымен,

егер 0, , ..., 0 1 2 = = m+ m+ n x x x болса, онда m m x = b¢, x = b¢ , ..., x = b¢ 1 2 2 .

Осылайша алынған  бірінші шешім алғашқы таяныш шешім деп аталады.

Cызықтық бағдарламалау  есептерінде үш түрлі « £ », « ³ », « = » шектеулер

кездеседі. (2.4) жеке есебін канондық түрге келтіргеннен кейін (2.5) әрбір теңдеуінде

n n n m x x x + + + , , ..., 1 2 айнымалылары пайда болады.

Базистік емес айнымалылардан нольге теңей отырып: 0, 0, ..., 0 1 2 = = = n x x x , мүмкін

болатын базистік шешімін аламыз:

n n n m m x = b x = b x = b + + + , , ... , 1 1 2 2

Шектеулері  «³ », (2.6) есебін (2.7) канондық түрге келтірген кезде n n n m x x x + + + , , ..., 1 2

айнымалылары  базистік бола алмайды, себебі олар (-1) коэффициенттерімен енеді.

Сондықтан базистік айнымалыларды, яғни мүмкін болатын базистік шешімдерін

табу үшін жасанды  базис әдісі қолданылады. (2.7) есебінің әрбір шектеуіне жасанды

теріс емес n m n m n m m x x x + + + + + + , , ..., 1 2 айнымалыларын енгізіп, яғни алған базистік шешім

коэффициенті бірге тең жасанды айнымалының кӛмегімен құрылады. Жасанды

айнымалы мақсат функциясына « М » коэффициенті арқылы енгізіледі. Есеп

максимумға шығарылғанда М-нің мәні ӛле үлкен теріс сан деп, ал минимумға

шығарылғанда ӛте үлкен оң сан деп алынады. Мақсатты функцияға жасанды

айнымалылар (-М ) коэффициентімен енеді, мұндағы М – есептің шартындағы

сандардан үлкен сан. Жасанды  айнымалыларды енгізгеннен соң (2.7) есебі

тӛмендегідей жазылады:

 

Жасанды белгісіздер алғашқы  базистік шешім алынуы үшін ғана енгізіледі.

Жасанды айнымалылар базистік болып тұрғанда, олардың мәні оң болады (егер

оларға сәйкес > 0 i b болса) және максималды мәнімен салыстырғында мақсатты

функцияның  мәнін азайтады. Бұл айнымалылардың коэффициенттері абсолюттік

Егер бірлік векторлар саны шектеулер санына тең болмаса, яғни шектеулер

санынан аз, ондай болса  симплекс әдісін қолдана алмаймыз. Бұл жағдайда есепті

жасанды базис әдісімен шығарады, яғни кеңейтілген есепке кӛшеміз. Ол үшін

канондық теңдеуге бірлік векторлардың саны шектеулер санына тең болатындай

қосымша бірлік векторлар  енгізеді және оларды жасанды векторлар немесе

жасанды айнымалылар деп атайды. Бұл есептің алғашқы тіреуіш жоспары бар,

олай болса оны симплекс әдісімен шығаруға болады.

Симплекс-кестенің алғашқы m жолы есептің берілгенімен анықталады, ал мына

екі, яғни (m+1)-і және (m+ 2 )-і жолдарына жазады, себебі жасанды айнымалы

мақсатты функцияға (-М) коэффициентімен  енгізіледі (М-қандай да бір жеткілікті

үлкен сан), әдетте оның нақты  мәні берілмейді.

Нақты есептеулерде F және j D екі қосылғыштан тұрады, оның біреуінде М

бар, ал екіншісінде  –жоқ. Итерациялық процесті ыңғайлы  түрде жүргізу үшін М-нің

жанында тұрған санды (m+ 2 )-і жолға, ал қосылғышында М жоқ санды -(m+1)-і

жолға жазады да есепті симплекс әдісімен шығаруды жалғастырады.

Есептің жасанды  базисы деп атайды. Осы әрекеттердін кейін есепті шешуге симплекс әдісін қодануға болады. Әрі қарай есепті шығару үшін мынадай жұмыстар жасалынады:

1. М- есебін қысқартылған немесе кеңетілген кестеге жазады.
2. Симплекс кестенің бірінші жолына мақсат функцияның коэффициенттерін жазады. Егер мақсат функцияның босмүшесі болса, онда оны кері таңбамен бос мүшелер бағанасына жазу керек.   
3. Бірінші бағанаға базистік белгісіздерің жолына солардың мақсат функциядағы коэффициенттері, ал базистік белгісіздерің белгілері екінші бағанаға жазылады.
4. Екінші жолға негізгі белгісіздердің (егер кеңейтілген симплекс кесте құрылса қосымша белгісіздердің де) белгілері жазылады.
5. Симплекс кестенің элементтері қарапайым симплекс әдісінің ережесібойынша толтырылады.
6. Соңғы индекс жолының бағалары мыны формула арқылы есептелінеді:

7. Оптималдық шартты тексеру. Шешім оптималды егер Z->mах,

онда ақырғы индекс жолдағы барлық негізгі белгісіздердің бағанасында жатқан элементтер оң сандар болса, ал кері жағдайда, яғни Z-> mіn, онда осы элементтер оң сандар болса, ал кері жағдайда орындалмаса , екінші базисқа көшу үшін (келесі кестеге) жоғарыдағы

- бағыттаушы  бағананың орынды тұратын жаңа  элементтер:

- Жана кестенің  қалған элементтері

Бұдан кейін 7- пунктке  көшеміз, яғни m+1 жолдың элементтерін тексереміз. Егер m+1 жолдың элементтері не оң сандар, не нөл болса, онда есеп шешілген.

Жоғарыдағы  баяндалған алгоритмді мына мысалда қарастырайық.

Мына шектеуші шарттарды қанағаттандыратын:

Төмендегі мақсат функциясының максималды мәнін анықтайық:

Бірінші және үшінші теңдеулерде базистік белгілісіздер  жоқ, сондықтан оларға жасанды базистік белгісіздер енгіземіз.

М- есебін алдық.

Соңғы индекстік  жолда барлық негізгі белгісіздердің бағанасында тұрған элементтер оң сандар және олар нелге тең, яғни оптималды  шартты алдық.Енді есептің шешімін векторлық түрде, базистік жолда тұрған белгісіздердің мәнін индекстерінің  өсу тәртібі бойынша, бос мүшелер бағанасынан соларға сәйкес жолда тұрған сандарды мына тәртіпте жазамыз:

Х  (0; 7; 1; 0; 0; 0; 0); Z = 15.

Сөйтіп, оптималдық жоспардан көріп отырмыз: Х1=0; Х2=7; Х3=1; Х4=0;

Х5=0; У1=0; У2=0. Жасанды  белгісіздердің мәндері (У1=0; У2=0) нөлге  тең болу себепті оларды оптималдық жоспардан алып тастап, негізгі есептің  оптималды жоспарын былай көрсетуге  болады:

Х (0; 7; 1; 0; 0); Z = 15.

Егер қойылған есептің шарты бойынша барлық шектеулер «кем емес», яғни (>) түрде  болатын болса, онда міндетті түрде  мақсат функцияның минималды (Z ---mіn) мәні ізделінеді. Мұндай жағдайда есепті М – коэффицентінсіз шығаруға болады және есептеу әрекеттері біраз жеңілденеді.

 

1.2Бағдарламалау  тілінің элементтерінің көрсетілуі

Әрбір бағдарламалаушының жүйелік, практикалық жұмысқа кіріскенде ең бірінші бағдарламалау  ортасымен  танысады.

Құрастырушы –  бағдарламаны бүтін бірлік ретінде  машина тіліне аударады, жеке операторлардың дұрыстығын тексере ғана қоймай және олардың бір – бірімен бірігуін тексереді.

Delphi бағдарламалау  ортасының ішкі құрылымы басқа  бағдарламалау тілінен артықшылығы  бар. Мысалы: Borland Pascal for Windows 7.0, Borland C++ 4.0, Word for Windows,  Program Manager – барлығы MDI қосымшалары болып табылады және Delphi  қосымшаларынан басқа түрлері бойынша ерекшеленеді. MDI (Multiple Document Interface) – үлкен терезедегі бірнеше терезелердің бірігуі болып табылады.

Delphi ортасы Single Document Interface (SDI) қосымшаларынан тұрады және  бірнеше жеке терезелерден тұрады.

Борланд фирмасында өңделген Delphi бағдарламасының  өзгешелілігі – оның объекті  хабарландырылған бағдарламадағы мүмкіншіліктері болып  табылады, оның ойы таптарды өңделген таптармен прцедураларын біріктіріп, объект қылдыруға ұмтылу , нәтижесінде, талаптар мен процедуралар көбінесе дербес мәнін жоғалтады.

Төменде Delphi ортасының  негізгі бөліктері келтірілген:

Форма дизайнері (Form Designer)