Физико-математический пакет “Граф ”

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра программного обеспечения  и администрирования 
информационных систем

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине

"Пакеты прикладных программ"

на тему «Физико-математический пакет “Граф ”»

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент 42 группы ФМФ 

Даянов Вагиф

Проверила:

 Ураева Е.Е.

 

 

Итоговая оценка ____________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курск 2012

 

 

Содержание

Введение ………………………………………………………………………………..3

Раздел 1. Физико-математический пакет «Граф»

1.1. Базовые функции………………………………………………………………..4

1.2. Дополнительные функции………………………………………………….......6

1.3. Работа с комплексными числами…………………………………………..…..7

1.4. Графики функций……………………………………………………………….8

1.5. Параметры……………………………………………………………………….9

1.6. Функции комплексного переменного………………………………………..14

1.7. Несколько графиков, отличающихся параметром, на одном поле………...15

1.8. Анимация………………………………………………………………………16

1.9. Преобразование 3D координат……………………………………………….17

1.10. Несколько разных функций на одном поле………………………………...19

1.11. Построение кривых и фигур по точкам…………………………………….19

1.12. Построение прямой y=a+bx методом наименьших квадратов……………21

1.13. Функции двух переменных………………………………………………….22

Раздел 2. Примеры построения графиков при помощи "Граф"

2.1. RLC-фильтр……………………………………………………………………24

2.2. Эллиптическая орбита с эксцентриситетом 0.8……………………………..24

2.3. Фигуры Лиссажу………………………………………………………………25

2.4. АМ и FM гармонические сигналы …………………………………………...25

2.5. Резонанс тока в последовательном колебательном контуре………………..26

2.6. Интерферометр Фабри-Перо……………………………………………….…28

2.7. Распределение Планка………………………………………………………...29

2.8. Пример (Бруоновское движение частицы)…………………………………..30

2.9. Пример (Вращение сферы)…………………………………………………....31

Заключение……………………………………………………………………………32

Список литературы…………………………………………………………………..33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

 Современное человечество переживает период становления информационного общества, характеризующийся тем, что одними из основных видов деятельности становятся производство и использование информации, а компьютеризация является частью этого процесса. Информация становится главным ресурсом научно-технического и социально-экономического развития мирового сообщества и существенно влияет на ускоренное развитие науки, техники и различных отраслей хозяйства, играет значительную роль в процессах воспитания и образования, культурного общения между людьми, а также в других социальных областях. Очевидно, что информатизация образования является ключевым условием развития общества, она накладывает свой отпечаток не только на организацию знания в современной картине мира, но и на способы и приемы мышления. Одним из таких средств информатизации и является разработанный математический пакет "Граф" позволяет чрезвычайно просто проводить вычисления и строить графики без инсталляции и скачивания каких-либо программ. Просто наберите формулу в адресной строке и получите результат в браузере. Формула задаётся в конце адреса cgi-скрипта http://physics.nad.ru/cgi-bin/gra.pl после вопросительного знака. При этом все дополнительные параметры указываются через ";". Например:

http://physics.nad.ru/cgi-bin/gra.pl?sin(x)

Если набрать эту  ссылку в адресной строке (или просто нажать на ссылку выше), то появится окно с графиком функции, который можно сохранить к себе на компьютер как PNG-рисунок. Рисунок имеет прозрачный фон, т.ч. можно накладывать несколько графиков друг на друга.

Если вы хотите вставить этот график на интернет страницу, то это  можно сделать, как для обычного рисунка:

<img src="http://physics.nad.ru/cgi-bin/gra.pl?sin(x)">

Или, предположим, нужно  получить значение exp(3)*sin(5)+ln(4). Пишем  в адресной строке http://physics.nad.ru/cgi-bin/gra.pl?exp(3)*sin(5)+ln(4) и получаем ответ в текстовом виде: -17.8742145641675

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 1. Физико-математический пакет «Граф»

1. Базовые функции

 

 

Если формулы неудобно набирать в адресной строке, то можно  написать формулу в окошке ввода  текста сообщения форума, выделить формулу курсором и нажимать кнопку F(x) из панели инструментов внизу окна ввода. В результате формула оказывается заключённой в теги gra, которые активируют конвертор. Итак, в окне ввода текста набрана строка:

<gra>sin(x)</gra>

Нажимаем "Просмотр" и получаем график функции sin(x), а также корни этой функции на интервале от 0 до 2π, заданных по умолчанию.(рис.1)

Теперь вместо sin(x) наберём sin(5) и заключим его в теги gra: 
<gra>sin(5)</gra>.  
 Нажимаем "Просмотр" (всегда перед нажатием "Отправить" стоит посмотреть, как выглядит набранный текст). В результате вышеприведенный код заменяется на  
-0.958924274663138 (значением синуса 5).

f=sin(x); xmin=0, xmax=6.28318530717959 
fmin=-0.998026728428272, fmax=0.998026728428272 
 
                                 Рис. 1 График функции sin(x)

Корни: 0, 3.14159265358979, 6.28318530717959

Также для удобства ввода  формул и просмотра результатов  можно использовать http://physics.nad.ru/cgi-bin/graph.pl 

В появившееся окошко формулы вводятся без тегов <gra>. В дальнейшем тексте мы будем их также опускать, хотя для ввода формул через форум они необходимы.

Постоянный адрес обновляемого описания пакета "ГРАФ" здесь: http://physics.nad.ru/graph.html.  Это описание можно также вызвать из окна ввода текста сообщений командой <gra>help</gra>.Пожалуйста, тестируйте и присылайте свои дополнения к этому пакету в виде подпрограмм, написанных на Perl (или также на C или PHP).

Основные функции пакета граф показаны в таблице 1.

Таблица 1. Основные функции пакета «Граф»

Функция	Описание	Пример
+	Сложение	2+1=3
-	Вычитание	3-2=1
/	Деление	6/3=2
*	Умножение	3*2=6
**	Возведение в степень (можно также ^)	3**2=9,   3^2 = 9
abs(x)	Вычисление абсолютного  значения выражения x.	abs(-5) = 5
cos(x)	Вычисление функции cos, выражение x в радианах.	cos(pi) = -1
sin(x)	Вычисление функции sin, выражение x в радианах.	sin(pi/2) = 1
atan2(x,y)	Вычисление arctg(x/y).	atan2(1/1) = 0.785398163397448
exp(x)	Вычисление значения экспоненциальной функции x.	exp(1) = 2.71828182845905
log(x)	Вычисляет натуральный  логарифм числа x (по основанию e).	log(2.71828182845905) = 1
sqrt(x)	Вычисляет квадратный корень числа x.	sqrt(9) = 3, sqrt(-1) = i
rand(x)	Возвращает случайное  дробное число в интервале 0 до значения параметра x.	rand(10) =  6.18115656349016
hex(x)	Интерпретирует строковое  выражение x как шестнадцатиричное  число и вычисляет его десятичный эквивалент	hex(FF) = 255
oct(x)	Интерпретирует строковое  выражение x как восьмеричное число и вычисляет его десятичный эквивалент. Если строка начинается с символов "0x", то ее содержимое интерпретируется как шестнадцатиричное число.	oct(11) = 9
int(x):	Вычисление целой части  числа (отбрасывается дробная часть).	int(3.1415926535) = 3

 

1.2. Дополнительные функции

Все дополнительные и  вспомогательные функции пакета граф приведены в таблице 2.

 

Таблица 2. Дополнительные функции пакета «Граф»

Дополнительные  функции	Пояснения
tan	tan(z) = sin(z) / cos(z)
csc, cosec, sec, sec, cot, cotan	csc(z) = 1 / sin(z)          sec(z) = 1 / cos(z)          cot(z) = 1 / tan(z)
asin, acos, atan	asin(z) = -i * log(i*z + sqrt(1-z*z))          acos(z) = -i * log(z + i*sqrt(1-z*z))          atan(z) = i/2 * log((i+z) / (i-z))          asin(1) = 1.5707963267949
atan2(z1,z2)	atan2(z1,z2) = atan(z1/z2)
acsc, acosec, asec, acot, acotan	acsc(z) = asin(1 / z)          asec(z) = acos(1 / z)          acot(z) = atan(1 / z)
sinh, cosh, tanh	sinh(z) = 1/2 (exp(z) - exp(-z))          cosh(z) = 1/2 (exp(z) + exp(-z))          tanh(z) = sinh(z) / cosh(z)
csch, cosech, sech, coth, cotanh	csch(z) = 1 / sinh(z)          sech(z) = 1 / cosh(z)          coth(z) = 1 / tanh(z)
asinh, acosh, atanh	asinh(z) = log(z + sqrt(z*z+1))          acosh(z) = log(z + sqrt(z*z-1))          atanh(z) = 1/2 * log((1+z) / (1-z))
acsch, acosech, asech, acoth, acotanh	acsch(z) = asinh(1 / z)          asech(z) = acosh(1 / z)          acoth(z) = atanh(1 / z) = 1/2 * log((1+z) / (z-1))
pi	3.14159265358979
deg2rad(x)	Перевод градусов  в радианы (x - в градусах)
rad2deg(x)	Перевод радиан  в градусы (x - в радианах)
cbrt, log10, logn(z, n)	cbrt(z) = z ** (1/3)          log10(z) = log(z) / log(10)          logn(z, n) = log(z) / log(n)
ln	ln(exp(1)) = 1
Re(z), Im(z)	Мнимая и действительная  часть
abs(z), arg(z)	Полярные координаты z (r,j)

                           

1.3. Работа с комплексными числами

Комплексные числа можно  записать в полярных и декартовых координатах. В декартовых координатах  это a+b·i, а в полярных - r·exp(it). Соответственно некоторое комплексное число z можно перевести в декартовы координаты оператором z->{d}, а в полярные - оператором z->{p}. Модуль комплексного числа находится как abs(z), а угол в полярных координатах - как arg(z). Re(z), Im(z) - действительная и мнимая часть z. Ввести комплексное число можно или как a+bi, или cplx(a,b), или просто z=(a,b). В полярных координатах число вводится как cplxe(r,t) или просто как z=[r,t]. Результат в полярных координатах отображается как [r,t]. И ещё один ньюанс. Если zⁿ = [r,t], то, находя корень кубический из [r,t] угол может определяться неоднозначно. Например корень кубический из [8,pi] может быть и [2,pi/3], и [2,pi], и [2,5pi/3]. k-ое значение корня n-ой степени находится через функцию (root(z,n))[k]. cbrt(z) находит только одно (первое) решение кубического корня.

Комплексные числа можно складывать, делить, подвергать их действию различных функций:

Пусть z1 = a + bi = r1 * exp(i * t1) и z2 = c + di = r2 * exp(i * t2)  
Тогда z1 + z2 = (a + c) + i(b + d)  
z1 - z2 = (a - c) + i(b - d) 
z1 * z2 = (r1 * r2) * exp(i * (t1 + t2))  
z1 / z2 = (r1 / r2) * exp(i * (t1 - t2))  
z1 ** z2 = exp(z2 * log z1) 
abs(z) = r1 = sqrt(a*a + b*b) sqrt(z) = sqrt(r1) * exp(i * t/2) 
exp(z) = exp(a) * exp(i * b)  
log(z) = log(r1) + i*t  
sin(z) = 1/2i (exp(i * z1) - exp(-i * z))  
cos(z) = 1/2 (exp(i * z1) + exp(-i * z))

Все функции для работы с комплексными числами пакета граф приведены в таблице 3.

 

Таблица 3. Функции для  работы с комплексными числами

Функция	Пояснения
cplxe(r,t) или z=[r,t]	Ввод комплексного числа  в полярных координатах
cplx(a,b) или a+b*i  или z=(a,b)	Ввод комплексного числа в декартовых координатах
Re(z), Im(z), abs(z), arg(z)	Вещественная, мнимая часть  комплексного числа, а также его  абсолютная величина и угол в полярных координатах
z->{d},   z->{p}	Перевод комплексного числа  соответственно в декартовы и полярные координаты
cbrt(z)	Кубический корень из комплексного числа
(root(z,n))[k]	k-ый корень для z = [r,t] задаваемый:  (root(z, n))[k] = r**(1/n) * exp(i * (t + 2*k*pi)/n)
<gra>Код</gra>	Результат
a=i  a->{p}  a	[1,pi/2]
a=cplxe(1,pi/2)  a->{d}  a	6.12303176911189e-17 + i
(1+i)(2+i)/(3+i)(4+i)	1.6+3.8i
sqrt(-1)	i
abs(3+4i)	5
Re(3+4i)	3
Im(3+4i)	4
arg(1+i)	pi/4
a=exp(i*pi/2)  a->{d}  a	6.12303176911189e-17 + i
a=cplxe(1, 2*pi/3)  b=a**3  b	1 - 2.44921270764475e-16i

                                    

1.4.  Графики функций.

Уравнение функции, константы  и вспомогательные функции пишутся  на отдельных строчках или разделяются  символом точка-запятая ( ; ) Можно вообще написать, например, g(t)=sin(t) и тогда функция будет g, а аргумент - t. Комментарии отделяются символами %%.