Физико-математический пакет “Граф ”

Ещё один пример. Количество частиц N прошедших цилиндрический образец длинной l задаётся формулой N=N_oexp(-μl). Заносим в форму данные: зависимость числа регистрируемых частиц (y) от длины образца (x). Записываем преобразование y=ln(y) и по наклону прямой находим коэффициент ослабления μ для данного материала.

begin stat points  -9.1 -4.7  -8.5 -3.1  -7.3 -2.1  -6.1 -1.7  -5.9 -0.1  -4.1 0.2  -3.7 1.5  -2.7 2.4  -2.1 4.7  -0.8 4.7  0.4 5.1  1.8 6.4  2.2 7.7  3.7 8.2  4.9 9.6  5.3 10.1  7.0 11.9  7.8 12.3  8.7 13.0  9.9 14.4  end

Построение прямой y = a + bx методом наименьших квадратов xmin=-9.1, xmax=9.9, fmin=-4.7, fmax=14.4 a = 4.96 ± 0.13  b = 0.97 ± 0.02    Dx=<x2>-<x>2; Dy=<y2>-<y>2  b=(<xy>-<x><y>)/Dx; a=<y>-b<x>  σb2=(Dy/Dx-b2)/N; σa2= σb2Dx Выпадающие точки (отклонение более 3σ): (-2.1,4.7)

1.13. Функции двух переменных

 

Построение прямой y = a + bx методом наименьших квадратов

xmin=-9.1, xmax=9.9, fmin=-4.7, fmax=14.4

Dx=<x²>-<x>²; Dy=<y²>-<y>²                                                              a = 4.96 ± 0.13      
b=(<xy>-<x><y>)/Dx; a=<y>-b<x>                                b = 0.97 ± 0.02 
σ_b²=(Dy/Dx-b²)/N; σ_a²= σ_b²Dx

 

Выпадающие точки (отклонение более 3σ): (-2.1,4.7)

begin stat points 
-9.1 -4.7 
-8.5 -3.1 
-7.3 -2.1 
-6.1 -1.7 
-5.9 -0.1 
-4.1 0.2 
-3.7 1.5 
-2.7 2.4 
-2.1 4.7 
-0.8 4.7 
0.4 5.1 
1.8 6.4 
2.2 7.7 
3.7 8.2 
4.9 9.6 
5.3 10.1 
7.0 11.9 
7.8 12.3 
8.7 13.0 
9.9 14.4 
end            

Суть цветовой схемы следующая. Строится график функции двух переменных f(x,y). Красным отмечены области, где f>0, и синим, где f<0. Чем интенсивнее цвет, тем ближе к нулю. Поэтому граница между синим и красным показывает решение уравнения f(x,y)=0. Зелёным заполняются остальные области (можно убрать, положив bitmap=3). Предусмотрены также другие цветовые схемы bitmap=1...9 (рис.12)

xmin=-8; xmax=8 
ymin=-5; ymax=5 
height=200; width=320 
a=6; b=8 
f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2*(b^2)*(a^2-y^2)-a^4+b^4 
 Овалы Кассини.  
 

 

                                        Рис. 12 Овалы Кассини.

 

 

 

 

 

 

               

Раздел 2. Примеры построения графиков при помощи "Граф"

2.1. Пример (RLC-фильтр).

Рекурсивный расчёт АЧХ  фильтра, изображённого на схеме  ниже.(рис.13) 
 
xmax=35; roots=0; 
L=1; C=0.005; U0=1;  
Rc=-i/(w*C) 
R=1+i*w*L 
R3=Rc*(R+Rc)/(R+2*Rc) 
R2=Rc*(R+R3)/(Rc+R+R3) 
R1=Rc*(R+R2)/(Rc+R+R2) 
U1=U0*R1/(R+R1) 
U2=U1*R2/(R+R2) 
U3=U2*R3/(R+R3) 
Uout(w)=abs(U3*Rc/(R+Rc))

 

U=abs(U3*Rc/(R+Rc));  
xmin=0.1, xmax=35, fmin=0, fmax=40

 

    

                     Рис. 13 Рекурсивный расчёт АЧХ фильтра

 

Uo   >-R--L--|--R--L--|--R--L--|--R--L--|--->Uout(w)             

 |        |        |        |              

C        C        C        C               

|        |        |        |  

Земля o--------------------------------------o

2.2. Пример (эллиптическая орбита с эксцентриситетом 0.8).

Орбита задана параметрически в комплексном виде.(рис.14) 
 
xmax=2*pi;  
ratio=1 
0.1/(1.0+0.8*cos(x))*exp(i*x)

 

f=0.1/(1.0+0.8*cos(x))*exp(i*x); xmin=0, xmax=6.28318530717959 
fmin=(-0.5 + i*-0.184875510962468),  
fmax=(0.0555555555555556 + i*0.184875510962468) 

             Рис. 14 Эллиптическая орбита с эксцентриситетом 0.8

2.3. Пример (фигуры Лиссажу).

 

Для построения зависимости Y(X) функция X(t) остаётся действительной, а Y(t) домножается на мнимую единицу  и откладывается по мнимой оси. (рис.15) 
 
k=3 
fi=2 
a1=sin(t) 
a2=sin(k*t+fi)  
XY(t)=a1+i*a2

Для отображения двух функций параметра t на плоскости можно использовать или функцию cplx, или просто записать XY(t)=a1+i*a2

XY=a1+i*a2; xmin=0, xmax=6.28318530717959 
fmin=(-1 - i), fmax=(1 + i) 

                                                Рис. 15 Фигуры Лиссажу

2.4. Пример (AM и FM гармонические сигналы).

 

Амплитудомодулированные колебания (АМ) (рис.16) : 
f=(1+b*cos(a*t))*cos(w0*t); xmin=0, xmax=314.159265358979; fmin=-1.1984229402629, fmax=1.2 

                    Рис. 16 Амплитудомодулированные колебания 
 
Фазомодулированные колебания (FM) (рис.17):  
f=cos(w0*t+b*sin(a*t)); xmin=0, xmax=314.159265358979; fmin=-1, fmax=1 

            Рис. 17 Фазомодулированные колебания

 

xmax=100*pi 
roots=0; width=800; points=800; fbox=0 
a=0.04; b=0.2; w0=1 
f(t)=(1+b*cos(a*t))*cos(w0*t) %%АМ

xmax=100*pi 
roots=0; width=800; points=800; fbox=0 
a=0.04; b=15; w0=1 
f(t)=cos(w0*t+b*sin(a*t)) %%ФМ

2.5. Пример (резонанс тока в последовательном колебательном контуре).

Резонансная кривая последовательного  колебательного контура I(w) (рис.18):

xmin=1 
L=1; C=0.1; R=1; U=1   - Параметры контура  
rL=i*w*L                        -  Импеданс индуктивности 
rC= -i/(w*C)                    - Импеданс ёмкости 
I(w)=abs(U/(R+rL+rC))  - Ток в колебательном контуре

 

I=abs(U/(R+rL+rC)); xmin=1, xmax=6.28318530717959 
fmin=0.110431526074847, fmax=0.999970724714332

                                                     Рис. 18 Резонансная кривая последовательного колебательного контура I(w)

Фазочастотная характеристика последовательного колебательного контура Fi(w) (рис.19):

xmin=1 
L=1; C=0.1; R=1; U=1 
rL=i*w*L      
rC= -i/(w*C) 
I=U/(R+rL+rC) 
a=Im(I); b=Re(I)      - Мнимая и действительная часть тока 
Fi(w)=atan(a/b)        - Сдвиг по углу между током и напряжением

Fi=atan(a/b); xmin=1, xmax=6.28318530717959 
fmin=-1.36079362306812, fmax=1.460139105621 

                           Рис. 19 Фазочастотная характеристика последовательного колебательного контура Fi(w) 
Корни: 3.16227766016838

 

Сдвиг между током  и напряжением в последовательном колебательном контуре. Т.е. то, что  увидим на осциллографе, если на ось X подадим  напряжение на контуре, на на ось Y - напряжение на сопротивлении R (которое совпадает  по фазе с током в контуре).(рис.20)

xmax=1; roots=0; ratio=0 
w=2*pi           w-угловая частота 
L=1; C=0.1; R=1 
U=exp(i*w*t)     t-время 
rL=i*w*L            
rC= -i/(w*C)

 

XY=cplx(Re(U),Re(I)); xmin=0, xmax=1 
fmin=(-1 + i*-0.208414333099974),  
fmax=(1 + i*0.208414333099974) 

    Рис. 20 Сдвиг  между током и напряжением  в последовательном колебательном контуре

2.6. Пример (Интерферометр Фабри-Перо)

Интерферометр Фабри-Перо на отражение.(рис.21)

 

Нижняя кривая - стеклянная пластинка. Отражение света на поверхности стекла - 4%. Суммарное отражение пластинки в резонансе ~55%.

nmax=5; animated(100,1) 
points=200; width=400 
xmin=-10; xmax=10; fmin=0 
I0=1; R=0.04+0.2*n; r=sqrt(R) 
Id(fi)=I0*4*r*(sin(fi/2))**2/((1-r)**2+4*r*(sin(fi/2))**2)

Id=I0*4*r*(sin(fi/2))**2/((1-r)**2+4*r*(sin(fi/2))**2);  
xmin=-10, xmax=10, fmin=0 , fmax=0.998

      Рис. 21 Интерферометр Фабри-Перо на отражение.

 

Интерферометр Фабри-Перо на пропускание.(рис.22)

nmax=5; animated(100,1) 
points=200; width=400 
xmin=-10; xmax=10; fmin=0 
I0=1; R=0.04+0.2*n; r=sqrt(R) 
Id(fi)=I0*(1-r)**2/((1-r)**2+4*r*(sin(fi/2))**2)

Id=I0*(1-r)**2/((1-r)**2+4*r*(sin(fi/2))**2);  
xmin=-10, xmax=10, fmin=0 , fmax=1

                                                                                      Рис. 22 Интерферометр Фабри-Перо на пропускание.

2.7. Распределение Планка

Следующий пример демонстрирует  построения графиков, отличающихся параметром. Дано распределение Планка энергии  излучения абсолютно чёрного  тела в зависимости от длины волны  в диапазоне от 1 до 30 мкм. На каждом графике приведены несколько кривых для разных температур. Для этого задано максимальное количество графиков на одном поле (nmax=5). При этом переменная n меняется от 0 до nmax-1.(рис.23)

Распределение Планка плотности  излучения абсолютно чёрного  тела в зависимости от частоты. Максимальная частота соответствует 3 мкм. Температура, которая изменяется от 60 до 300 К, задана через параметр n.  
 
roots=0;nmax=5 
h=6.62e-27 
c=2.99e+10 
T=300*(n+1)/nmax 
k=1.38e-16 
lambda=3 
xmin=1;xmax=2*pi*c*1000/lambda 
ro(nu)=8*pi*h*nu^3/(c^3*(exp((h*nu)/(k*T))-1))

ro=8*pi*h*nu**3/(c**3*(exp((h*nu)/(k*T))-1));  
xmin=1, xmax=62622413561556.5fmin=7.7843245989949e-45, fmax=2.16380177359225e-18 
                                                                                                                                                  Рис. 23 Распределение Планка плотности излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от частоты.

Распределение Планка плотности  излучения абсолютно чёрного  тела в зависимости от длины волны  в диапазоне от 1 до 30 мкм.(рис.24)

roots=0; nmax=5 
xmin=1; xmax=30 
h=6.62e-27 
c=2.99e+10 
l=x*1e-4 
T=300*(n+1)/nmax 
k=1.38e-16 
f=(8*pi*h*c/(l^5))*(1/(exp(h*c/(k*T*l))-1))

 

f=(8*pi*h*c/(l**5))*(1/(exp(h*c/(k*T*l))-1));  
xmin=1, xmax=30 
fmin=7.52073682130108e-99, fmax=0.0422118485930753 

                         Рис. 24 Распределение Планка плотности излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от длины волны

2.8. Пример (Бруоновское движение частицы)

Положение точки на плоскости  может быть анимировано. В данном случае для этого использовался  генератор случайных чисел в  диапазоне от 0 до 0.1 -  rand(0.1). Положение частицы запоминается в переменных a и b.(рис.25-25.1)

 

nmax=200; animated(10,0) 
xmax=1; xmin=-1; ymax=1; ymin=-1 
begin points 
0 0 
end 
x=a+rand(0.1)-0.05 
y=b+rand(0.1)-0.05 
a=x 
b=y

xmin=-1, xmax=1, fmin=-1, fmax=1 

                                                 Рис. 25 Бруоновское движение частицы(1)

                                                            Рис. 25.1. Бруоновское движение частицы(2)

2.9. Пример (Вращение сферы).

Вращение сферы на рис. (26. – 26.1)

nmax=20; animated(10,0) 
xmin=-12; xmax=12 
ymin=-12; ymax=12 
width=200 
... точки сферы (см. свойства рисунка)  
fi=pi*n/(6*nmax) 
(x,y,z)=z_rotate(x,y,z,fi) 
(x,y,z)=x_rotate(x,y,z,pi/4) 
Наличие inv в коде делает задние точки (z<0) неотображаемыми.

xmin=-12, xmax=12, fmin=-12, fmax=12

  

                            Рис. 26 фаза 1            Рис. 26.1. фаза 2

Заключение

 

Физико-математический пакет  «Граф» - является мощным математическим информационным средством для построения графиков. Обладающий множеством функций,он сделает вашу работу проще и быстрее. Пакет продолжает обновляться и пополняться. Исходя из комментариев разработчиков, вполне возможен выпуск данного пакета, как отдельной программы для построения графиков уже в ближайшем будущем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Интернет-ресурс: http://physics.nad.ru (дата обращения 5.05.12)

 

2. Интернет-ресурс: http://ru.wikipedia.org (дата обращения 5.05.12)
3. Интернет-ресурс: http://elementy.ru (дата обращения 4.05.12)
4. Интернет-ресурс: http://physics-animations.com (дата обращения 6.05.12)