• Наличие объектов, у которых может возникнуть потребность в удовлетворении некоторых заявок (требований, вызовов). В данном случае это водители автомобилей, которым требуется заправить бензином свою машину.
• Наличие агрегатов (приборов, каналов), предназначенных для удовлетворения заявок на обслуживание. Очевидно, что здесь это раздаточные колонки.
• Специальная организация приема в систему заявок и их обслуживание. Здесь мы рассмотрим случай, где имеет место неограниченное время ожидания в очереди с правилом обслуживания FIFO(все клиенты равноправны и никто не имеет право на заправку вне очереди), и длина очереди ограничена площадью заправки.

      Т.к. данную систему можно описать  как систему массового обслуживания (далее СМО), в которых мы можем  количественно учесть действия  различных противоречивых факторов, то математическое моделирование становится возможным.

    Рассмотрим более детально процесс обслуживания клиентов на АЗС.

    Совокупность  обращений на заправку машины топливом отдельно взятого человека представляет собой независимый, стационарный и ординарный поток. Это действительно так в силу того, что:

    - визиты на АЗС каждый владелец  автомобиля будет совершать с  определенной периодичностью, зависящей  от потребности в заправке  автомобиля бензином, а это говорит  о том, что эти визиты будут  обладать свойством стационарности;

    - ординарность потока является следствием того, что человек просто не в состоянии два или более раз одновременно заправлять машину бензином;

    - рассматривая специфику данной  предметной области можно утверждать, что приезды одного клиента  на АЗС абсолютно не зависят от визитов другого клиента, а это как раз говорит о независимости потока визитов одного клиента от других потоков визитов клиентов.

      В рассматриваемой системе имеет  место наложение достаточно большого числа независимых, стационарных и  ординарных потоков (они представляют собой совокупность приездов на АЗС клиентов). Они имеют сравнимую между собой интенсивность, т.к. в принципе потребности в заправке автомобилей бензином у людей практически одинаковы, это и является доказательством того, что приезд клиентов на АЗС представляет собой простейший (пуассоновский) поток.

      Для дальнейшего процесса моделирования необходимо классифицировать данную систему массового обслуживания. Для этого определим структуру системы:

    1. функция распределения промежутков времени между соседними заявками на обслуживание имеет показательное распределение. Ориентиром для выбора этого закона распределения явилось то, что приезд клиентов на АЗС представляет собой простейший поток;

    2. исходя из практики можно сказать, что, как правило клиенты на заправке заливают 5, 10, 15 или 20 литров бензина(т.е. это дискретная величина). Время, которое уходит  на обслуживание клиента, прямо пропорционально объему заправляемого бензина ( это приблизительно 5, 9, 12 и 15 минут соответственно) и тоже является дискретной величиной. Поэтому функция распределения длительности обслуживания является произвольной.

    3. схему и дисциплину обслуживания. В данном случае мы имеем многоканальную систему (наличие более одной раздаточной колонки).

    Компактная запись математических моделей СМО в форме Кендалла-Башарина будет выглядеть следующим образом:

    M/G/n.

    Для систем данного вида не предусмотрены  аналитические методы (нет расчетных  формул), поэтому для описания этой системы необходимо применять имитационное моделирование, которое предполагает создание модели, имитирующей работу автозаправки.

    Факторы, которые определили выбор решения  интересующих нас вопросов с помощью  имитационного моделирования следующие:

1. Необходимо определиться с количеством раздаточных колонок, с учетом того, что при увеличении количества колонок растут издержки на оборудование и соответственно уменьшается прибыль. Кроме того, мы не можем купить колонок бесконечно много, так как мы ограничены рамками пространства,  которое мы арендуем под автозаправку.
2. Следует учесть, что мы не можем не акцентировать внимание на количестве раздаточных колонок и компенсировать издержки на оборудование за счет повышения стоимости оказываемых услуг, так как это приведет к уменьшению количества клиентов и снижению конкурентоспособности нашей фирмы.

 

Основные  понятия имитационного  моделирования в применении к данной модели

    Каждая  модель представляет собой некоторую  комбинацию таких составляющих, как  компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости, ограничения, целевые функции.

    Под компонентами понимают составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Иногда компонентами считают также элементы системы или ее подсистемы. Система определяется как группа или совокупность объектов, объединенных некоторой формой регулярного взаимодействия или взаимозависимости для выполнения заданной функции. Компонентом рассматриваемой системы можно считать заправку одной машины.

      Рассмотрим  приезд одной машины на автозаправку. Во время такого очередного приезда машины возможно два варианта исхода:

1. Имеются свободные раздаточные колонки, которыми может воспользоваться приехавший автомобилист.
2. Свободной колонки нет,  и клиент либо ожидает своей очереди, либо покидает АЗС.

    Параметрами являются величины, которые исследователь может выбирать произвольно.

    Параметрами модели АЗС будут:

• период времени, за который предприниматель хочет получить прибыль – T, месяцев;
• прибыль, которую хотел бы получить предприниматель за период времени T - ;
• количество реализаций – kol_rez, раз.

    Переменных  модели могут принимать только значения, определяемые видом данной функции. В модели системы можно различать переменные двух видов – экзогенные и эндогенные. Экзогенные переменные называются также входными. Это означает, что они порождаются вне системы или являются результатом взаимодействия внешних причин. Эндогенными переменными называются переменные, возникающие в системе в результате воздействия внутренних причин. В тех случаях, когда эндогенные переменные характеризуют состояние или условия, имеющие место в системе, назовем их переменными состояния. Когда же необходимо описать входы и выходы системы, мы имеем дело с входными и выходными переменными.

    К экзогенным переменным в данной системе можно отнести:

1. Среднее время между приездами двух клиентов – Тpok, секунд
2. Среднее время обслуживания одного клиента – Tob, секунд
3. Средняя сумма покупки – Spok, рублей
4. Надбавка на бензин–nad, %
5. Первоначальные затраты (например, покупку, на ремонт помещения, рекламу и т.д.) –Per, рублей
6. Затраты на установку одной раздаточной колонки –Zukol, рублей
7. Ежемесячные расходы (например, аренда помещения, коммунальные услуги и т.д.) –Er, рублей
8. Заработная плата сотрудника – Zps, рублей в месяц
9. Максимально допустимая длина очереди, которая зависит от площади АЗС– max_dlin, машин    

 

К эндогенным переменным относится:

 Выходные  переменные:

1. Оптимальное количество колонок – Nopt, штук
2. Вероятность получения прибыли не меньше заданной – P(Nopt)

     Переменные  состояния:

1. Количество колонок – Nk, штук
2. Доход при  Nk колонках – D_Nk, рублей
3. Общая сумма расходов при Nk колонках – R_Nk, рублей
4. Прибыль от Nk колонок – Pr_Nk, рублей
5. Случайная величина X, равномерно распределенная на отрезке [0,1]
6. Значения y_n дискретной случайной величины Y с соответствующими вероятностями :

                 

 

7. Сумма покупки i – го клиента – Spok_i, рублей
8. Интервал времени между визитами i и i+1 клиентов- Tmed_i, секунд
9. Количество реализаций, на которых прибыль больше заданной -

     Функциональные  зависимости описывают поведение переменных и параметров в пределах компоненты или же выражают соотношения между компонентами системы. Эти соотношения по своей природе являются либо детерминистскими, либо стохастическими. Оба типа соотношений обычно выражаются в виде алгоритмов, которые устанавливают зависимость между переменными состояния и экзогенными переменными.

1. Spok_i   - сумма  покупки, совершенной i-тым клиентом, является дискретной случайной величиной, которая принимает конечное количество значений с соответствующими вероятностями. Разделим интервал (0;1) на 4 отрезка, длины которых равны значениям вероятностей . Тогда , _{если случайная величина X попала на участок длины} .                                                                                          
2. Tmed_i = - Tpok* ln (X) – время между приездами клиентов. Это величина распределена экспоненциально, т.к. потоки клиентов являются независимыми.
3. - доход на текущей реализации, при количестве колонок равном Nk .
4. - затраты на текущей реализации в виде покупки раздаточных колонок и текущих выплат зарплат работникам за время работы, а также оплаты единовременных и текущих затрат, не связанных с количеством колонок.
5. Pr_{Nk =} D_{Nk -}  R_Nk    прибыль от Nk колонок рассчитывается как разница между доходами и расходами.
6.   - вероятность получения прибыли, не меньше заданной.

     Ограничения :

1. 0<Nk<Nmax – площадь ограничивает возможное количество колонок;   

2. 0<dlin<max_dlin – ограничение на длину очереди.
3. При имитации работы системы исследователь ограничивает количество реализаций:

1<=realiz<=kol_rez

4. Общее время обслуживания покупателей ограничивается периодом времени, за который предприниматель хочет получить прибыль:

0<time<=T 

    Целевая функция (функция критерия) представляет собой точное отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения. Выражение для целевой функции должно быть однозначным определением целей и задач, с которыми должны соизмеряться принимаемые решения.

    В рассматриваемой экономической  системе целевая функция выглядит следующим образом:

    

 max

    Показатели  и критерии эффективности

     Показатель  эффективности: минимальный результат, гарантируемый с заданной вероятностью. Т.е. для нашей модели показатель эффективности – вероятность  получения прибыли, не меньшей чем  заданная.

     В качестве критерия эффективности примем такое количество касс обслуживания, при котором вероятность получения прибыли, не меньше желаемой, максимальна.

Определение показателя эффективности:

    

 max.

Определение критерия эффективности: выберем такое значение Nopt, при котором выполнено следующее условие:

                                          =

                                  

Программное обеспечение

     Разработаем программу, производящую имитационное моделирование процесса обслуживания клиента на автозаправочной станции (рис.1). В ходе программирования был использован универсальный язык программирования – Pascal, среда программированния – Delphi.

 

Рис.1 Вид  программы после запуска