ПроЕктирование устройств фильтрации

 

2 МЕТОД ПРОЕКТИРОВАНИЕ  УСТРОЙСТВ ФИЛЬТРАЦИИ ПО РАБОЧИМ  ПАРАМЕТРАМ

 

2.1  Общие сведения

 

Под электрическим фильтром понимается устройство, пропускающее электрические колебания одних  частот и задерживающее колебания  других частот. Область частот, пропускаемых электрическим фильтром, называется полосой пропускания. Область частот, задерживаемых (не пропускаемых) фильтром, называется полосой задерживания. Между  полосой пропускания и полосой  задерживания лежит переходная область. В пределах полос пропускания  и задерживания модуль комплексной передаточной функции не должен выходить за пределы заданной неравномерности и гарантированного затухания соответственно. В переходной области модуль  изменяется от значения, допустимого в полосе пропускания, до значения, требуемого в полосе задерживания. На рисунке 2.1 приведены характеристики рабочего затухания для ФНЧ и ФВЧ соответственно:

 

                              а)       б)

Рисунок 2.1 - Общий вид характеристики рабочего затухания:

а)ФНЧ;  б)ФВЧ

 

ХРЗ реального ФНЧ имеет  три области: I – полоса пропускания (0-ω_D); II – переходная область (ω_D-ω_S); III – полоса задерживания (ω_S-∞). Здесь: ω_D – граничная частота полосы пропускания (частота среза) ФНЧ; ω_S – граничная частота полосы задерживания (частота гарантированного затухания в полосе задерживания); a_D – неравномерность ХРЗ в полосе пропускания; a_S – гарантированное затухание в полосе задерживания.

ХРЗ реального ФВЧ имеет  три области: I – полоса задерживания (0-ω_S); II – переходная область (ω_S-ω_D); III – полоса пропускания (ω_D-∞). Здесь: ω_D – граничная частота полосы пропускания (частота среза) ФВЧ; ω_S – граничная частота полосы задерживания (частота гарантированного затухания); a_D – неравномерность ХРЗ в полосе пропускания; a_S – гарантированное затухание в полосе задерживания.

 

2.2 Методика расчета фильтра  по рабочим параметрам

 

Одним из способов проектирования фильтров является каскадный способ. Его преимуществом является простота реализации, возможность индивидуальной настройки отдельных звеньев и хорошее согласование по входу и выходу за счет применения ОУ. Проектирования фильтра на основе способа каскадной реализации независимо от типа фильтра содержит ряд этапов:

- расчет структурной схемы  устройства;

- выбор аппроксимации;

- определение порядка  фильтра; 

- выбор структуры фильтра; 

- схемная реализация;

- расчет и выбор элементов  схемы;

- связь фильтра с источником  сигнала (ИС) и нагрузкой;

- схемотехническое моделирование  устройства и его оптимизация.

По результатам моделирования  может быть принято решение о  возврате на один из ранних этапов проектирования, т.е. данная процедура носит итерационный характер.

На рисунке 2.2 показан фильтр, с коэффициентом передачи К(p).

 

 

 

 

 

 

 

 

K(p) определяется следующим образом:

                                        ,                                               (2.1)

                                    ,                                       (2.2)

                                         .                                     (2.3)

Если в K(p) заменить   и преобразовать:  , то можно получить зависимости для частотных и временных характеристик фильтра:

• выражение под знаком модуля - АЧХ,
• выражение  - ФЧХ
• импульсную характеристику (ИХ)
• переходную характеристику (ПХ)
• характеристику рабочего затухания (ХРЗ)
• характеристику группового времени задержки (ХГВЗ).

Представим коэффициент  передачи фильтра с помощью полиномов:

 

  , ,                 (2.4)

где порядком фильтра называют наибольшую степень в знаменателе;

-полином  степени , корни которого могут лежать, где угодно на комплексной плоскости;

- полином  Гурвица, степени  с вещественными коэффициентами. Его корни могут лежать только в левой полуплоскости мнимой оси.

Фильтр  физически реализуем, если выполнены  следующие условия:

1. полюсы должны иметь отрицательные действительные части,
2. степень полинома в числителе должна быть равна или меньше степени полинома в знаменателе.

При проектировании фильтров следует иметь ввиду, что идеальные  АЧХ физически не реализуемы. Можно  лишь стремиться к наилучшему приближению (или аппроксимации), совместимому с  требованиями, предъявляемыми к фильтру. Из рисунка 2.3 следует, что реальная АЧХ лишь приближенно представляет (аппроксимирует) идеальную АЧХ.

 

Рисунок 2.3 - АЧХ фильтра

 

Фильтрующие свойства часто оцениваются  величиной  относительного затухания, определяемой в децибелах как , если она равна , то , если , то на выходе фильтра ничего нет.

Примерный вид реальных характеристик затухания для ФНЧ приведен на  рисунке 2.4.

 

Рисунок 2.4 - Характеристика затухания фильтра НЧ

 

Область частот пропускаемых колебаний, для которых АЧХ изменяется незначительно, называется полосой пропускания и находится в диапазоне частот от 0 до . Область частот задерживаемых колебаний ( до ∞), для которых АЧХ не превосходит некоторого малого заданного значения, называется полосой задерживания. Условная граница между этими полосами называется частотой среза и находится в пределах переходной полосы. - максимальное затухание в полосе пропускания; - минимальное  затухание в полосе задерживания.

Аппроксимация АЧХ практически сводится к выбору таких коэффициентов полиномов, которые обеспечивают не только аппроксимацию АЧХ, но и физическую реализуемость фильтра. Это означает выполнение следующих условий.

Известно довольно много аппроксимаций, отвечающих вышеуказанному условию, однако наибольшее распространение получили четыре из них: Баттерворта, Чебышева и Золотарёва-Кауэра.

 

2.3 Вывод общего вида  нормированного и денормированного  коэффициентов операторной передаточной  функции для фильтра 

 

Поскольку в задании по курсовому проекту даны коэффициенты С, α_i, β_i, в нормированном виде, то необходимо осуществить денормирование.

Коэффициент передачи ФНЧ  в нормированном виде можно записать следующим образом:   

                                              (2.5)

 

где  .

Используя подстановку  , находим формулу для определения передаточной характеристики фильтра верхних частот.

              .                                 (2.6)

Для фильтра верхних частот коэффициенты α,β и С  будут  иметь иные значения, они будут  выражены через коэффициенты K(p) фильтра прототипа нижних частот:                              

, , , ,

где

 

-коэффициенты ФВЧ- прототипа:

 

После получения передаточной функции фильтра высоких частот в нормированном виде ее необходимо денормировать. Для этого нужно  произвести замену переменной , где – частота среза.

Денормированная передаточная функция для фильтра верхних  частот будет иметь следующий  вид:

 

                .                             (2.7)

 

Проведем денормировку коэффициентов.

 

_.                                                 (2.8)

                                                   (2.9)

_.                                               (2.10)

_.                                              (2.11)

 

Пользуясь приведенными в  данном разделе формулами, проводим расчёт по заданным коэффициентам, получаем данные для последующих расчетов.